From fd78d0fd00e6b98ae8b9894db8be028575e205ac Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Sun, 16 Feb 2020 11:56:52 +0300
Subject: Init commit

---
 hw3.tex | 134 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 134 insertions(+)
 create mode 100644 hw3.tex

(limited to 'hw3.tex')

diff --git a/hw3.tex b/hw3.tex
new file mode 100644
index 0000000..2ec8de5
--- /dev/null
+++ b/hw3.tex
@@ -0,0 +1,134 @@
+\documentclass[10pt,a5paper]{article}
+\usepackage[svgnames, rgb]{xcolor}
+
+\input{intro}
+
+\lhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль 192}
+\rhead{\color{gray} \texttt{hw3}}
+\title{ИДЗ-3 по линейной алгебре}
+\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ-192}
+\date{билд: \today}
+
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}\thispagestyle{empty}
+
+\maketitle
+\clearpage
+\setcounter{page}{1}
+
+\dmquestion{1}
+
+    Проверим, что векторы из условия являются решением системы
+    \input{figures/fig_one_proof_v0.tex}
+    \input{figures/fig_one_proof_v0.tex}
+
+
+    Найдем ФСР системы:
+    \input{figures/fig_one_init_to_triang}
+
+    ФСР:
+    \begin{flalign*}
+        \lambda_2 = 1 \qquad& (4, 1, 0, 0, 0, 0)\\
+        \lambda_4 = 1 \qquad& (-1, 0, 1, 1, 0, 0)\\
+        \lambda_5 = 1 \qquad& (-1, 0, -2, 0, 2, 0)\\
+        \lambda_6 = 1 \qquad& (1, 0, -2, 0, 0, 1)
+    \end{flalign*}
+
+    Выразим векторы $v_1$ и $v_2$ (из условия) через ФСР (мы так можем, потому что ФСР - базис этого подпространства)
+
+    Для этого нужно решить две системы:
+    \input{figures/fig_one_convert_v1}
+    \[
+        u_1 = (1, -3, 3, -1)
+    \]
+    \input{figures/fig_one_convert_v2}
+    \[
+        u_2 = (2, 3, 1, -2)
+    \]
+
+    Теперь надо дополнить эту систему до базиса $\mathbb{R}^4$:
+    \input{figures/fig_one_solve_last}
+    
+    Дополнить до базиса можно векторами $(0, 0, 1, 0)$ и $(0, 0, 0, 1)$
+    
+    То есть последние два вектора из ФСР - дополнение до базиса подпространства.
+
+    \begin{flalign*}
+        (-1, 0, -2, 0, 2, 0)\\
+        (1, 0, -2, 0, 0, 1)
+    \end{flalign*}
+
+\dmquestion{2}
+
+    $\Image \varphi$ - линейная оболочка столбцов.
+    Найдем матрицу, задающую $\Image \varphi$ по алгоритму от Димы:
+
+    Найдем ФСР $A^Tx = 0$:
+    \input{figures/fig_two_fsr_A_T}
+
+    ФСР:
+    \[
+        (2, -1, 1, 0), \quad \br{ \frac{7}{5}, -\frac{4}{5}, 0, 1 } = (7, -4, 0, 5)
+    \]
+
+    Значит, $\Image \varphi = \left\{ x \ | \ Bx = 0\right\}$, где
+    \[
+        B = \begin{bmatrix}
+            2 & -1 & 1 & 0\\
+            7 & -4 & 0 & 5
+        \end{bmatrix}
+    \]
+
+    Тогда $\Image \varphi \cap \ker \varphi = \left\{x | Ax = 0, Bx = 0\right\}$
+
+    \input{figures/fig_two_AB_sol}
+
+    ФСР такой системы - $(-3, -4, 2, 1)$
+
+    Значит, $\Image \varphi \cap \ker \varphi = \langle(-3, -4, 2, 1)\rangle$
+
+    $\Image \varphi$ - линейная оболочка столбцов,
+    а $\ker \varphi$ - линейная оболочка ФСР $Ax = 0$.
+    Тогда $\Image \varphi + \ker \varphi$ - линейная оболочка всех этих векторов.
+    Надо только найти в них базис:
+
+    \input{figures/fig_two_ker_A}
+
+    $
+        \ker \varphi = \langle (-\frac{3}{2}, -3, 1, 0), (0, 2, 0, 1) \rangle
+        =
+        \ker \varphi = \langle (-3, -6, 2, 0), (0, 2, 0, 1) \rangle
+    $
+
+    Теперь надо найти базис из столбцов $A$ и базиса в $\ker \varphi$:
+
+    \input{figures/fig_two_imker}
+
+    Ненулевые строки - базис (возьмем векторы из левой матрицы).
+
+    Поэтому
+    $
+        \Image \varphi + \ker \varphi =
+        \langle
+            (-2, 14, 18, 14),
+            (-3, -9, -3, -3),
+            (-3, -6, 2, 0)
+        \rangle
+    $
+
+%\dmquestion{4}
+%    Найдем хар. многочлен $\varphi$:
+%    \[
+%        \mathrm{det} (\varphi - \lambda E)
+%        \overset{\texttt{four.py}}=
+%        \lambda^4 - \lambda^3 + \lambda^2 =
+%        \lambda^2(\lambda - 1)^2
+%    \]
+%
+%    $
+%        V^1 = \ker ((\varphi - E)^2)
+%    $, так как у каждого собственного значения степень 2
+%    \input{figures/fig_four_fsr_A_T}
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

