From 325d44c6428af3e70d0b4c5d78a1e1d117895f52 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: syn Date: Fri, 27 Dec 2019 10:33:43 +0300 Subject: Add stuff --- dm-11.tex | 130 +++++++++++++++ dz1.tex | 75 +++++++++ dz2.tex | 181 +++++++++++++++++++++ intro.tex | 80 ++++++++++ phw.tex | 511 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ phw2.tex | 379 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ sol0923.tex | 256 ++++++++++++++++++++++++++++++ sol0930.tex | 227 ++++++++++++++++++++++++++ sol1028.tex | 509 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ sol1111.tex | 462 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ sol1118.tex | 200 +++++++++++++++++++++++ sol1202.tex | 239 ++++++++++++++++++++++++++++ test_dot.tex | 14 ++ 13 files changed, 3263 insertions(+) create mode 100644 dm-11.tex create mode 100644 dz1.tex create mode 100644 dz2.tex create mode 100644 intro.tex create mode 100644 phw.tex create mode 100644 phw2.tex create mode 100644 sol0923.tex create mode 100644 sol0930.tex create mode 100644 sol1028.tex create mode 100644 sol1111.tex create mode 100644 sol1118.tex create mode 100644 sol1202.tex create mode 100644 test_dot.tex diff --git a/dm-11.tex b/dm-11.tex new file mode 100644 index 0000000..7e2b979 --- /dev/null +++ b/dm-11.tex @@ -0,0 +1,130 @@ +\documentclass[11pt]{article} +%\usepackage[T2A]{fontenc} +%\usepackage[utf8]{inputenc} +%\usepackage[russian]{babel} +\usepackage[x11names, svgnames, rgb]{xcolor} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{arrows,shapes} + +\usepackage{scrextend} + + +\input{intro} + +\lhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль 192} +\rhead{\color{gray} ДЗ-11 (\texttt{cw11\_plus})} + +\makeatletter +\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{% + \hskip -\arraycolsep + \let\@ifnextchar\new@ifnextchar + \array{#1}} +\makeatother + + +\DeclareMathOperator{\chr}{char} + +% -- Here bet dragons -- +\begin{document} +\begin{center} + \textbf{1} +\end{center} + + Пусть это не так и множество $S_i$ содержится в $S_1 \cup \ldots \cup S_l$ целиком. Тогда $|S_1 \cup \ldots \cup S_l| = |S_1 \cup \ldots \cup S_l \cup S_i| = l < l + 1$ и тогда такое множество не удовлетворяет условию теоремы Холла. + +\begin{center} + \textbf{2} +\end{center} + + Рассмотрим ребра из $M \cup M'$. Любые два из них: + + \begin{addmargin}[2em]{0pt} + \begin{enumerate}[noitemsep] + \item не пересекаются -- оставляем оба + \item совпадают -- берем любое + \item пересекаются по одной из вершин + \end{enumerate} + \end{addmargin} + + Выберем какую-то компоненту связности. Она -- путь или цикл четной по вершинам длины, потому что: + + \begin{addmargin}[2em]{0pt} + \begin{enumerate}[noitemsep] + \item степень каждой вершины в ней не больше 2 $\implies$ это путь или цикл + \item граф двудольный $\implies$ цикла нечетной длины быть не может + \item если бы был путь нечетной длины ($2k + 1$), то в одной из долей было бы $k$ вершин, поэтому любое паросочетание было бы не больше $k$ и не покрывало бы хотя бы одну вершину из второй доли. + \end{enumerate} + \end{addmargin} + + \doubleskip + \begin{minipage}{0.4\textwidth} + \begin{tikzpicture}[scale=0.8] + \draw[color=blue] (0,-2) circle [x radius=1, y radius=3]; + \draw[color=red] (3,-2) circle [x radius=1, y radius=3]; + + %\draw (0, 0) circle (2pt) node[below] {$v_12$}; + \node[shape=circle,draw=blue,dotted] (A) at (0,0) {$v_1$}; + \node[shape=circle,draw=red] (B) at (3,-1) {$v_2$}; + \node[shape=circle,draw=blue] (C) at (0,-2) {$v_3$}; + \node[shape=circle,draw=red] (D) at (3,-3) {$v_4$}; + \node[shape=circle,draw=blue] (E) at (0,-4) {$v_5$}; + + \path [-](A) edge[dotted] node[above] {} (B); + \path [-](B) edge node[below] {} (C); + \path [-](C) edge node[below] {} (D); + \path [-](D) edge node[below] {} (E); + \end{tikzpicture} + \end{minipage} + \begin{minipage}{0.4\textwidth} + \begin{tikzpicture}[scale=0.8] + \draw[color=blue] (0,-2) circle [x radius=1, y radius=3]; + \draw[color=red] (3,-2) circle [x radius=1, y radius=3]; + + %\draw (0, 0) circle (2pt) node[below] {$v_12$}; + %\node[shape=circle,draw=blue] (A) at (0,0) {$v_1$}; + \node[shape=circle,draw=red] (B) at (3,-1) {$v_2$}; + \node[shape=circle,draw=blue] (C) at (0,-2) {$v_3$}; + \node[shape=circle,draw=red] (D) at (3,-3) {$v_4$}; + \node[shape=circle,draw=blue] (E) at (0,-4) {$v_5$}; + + %\path [-](A) edge node[above] {} (B); + \path [-](B) edge node[below] {} (C); + \path [-](C) edge node[below] {} (D); + \path [-](D) edge node[below] {} (E); + \path [-](B) edge node[below] {} (E); + \end{tikzpicture} + \end{minipage} + + \medskip + \medskip + \medskip + Понятно, что в каждом случае надо просто взять каждое второе ребро и все вершины будут покрыты. \qed + + +\begin{center} + \textbf{3} +\end{center} + + Докажем, что любое вершинное покрытие в $G$ не меньше, чем $\frac{l}{d}$, тогда по теореме Кёнига можно будет утверждать, что существует паросочетание размера хотя бы $\frac{l}{d}$. + + Возьмем любое вершинное покрытие и начнем постепенно удалять вершины из него (вместе с их рёбрами). Тогда на каждом шаге мы удаляем из графа не более, чем $d$ рёбер, потому что степень каждой вершины не более, чем $d$. Всего нам надо удалить $l$ рёбер, поэтому вершин в покрытии было хотя бы $\frac{l}{d}$. + + +\begin{center} + \textbf{4} +\end{center} + + Построим двудольный граф $G(L, R, E)$: слева будут подмножества размера $k$, справа - размера $k + 1$. + Ребро между ними будет тогда, когда из левого подмножества можно получить правое, добавив какой-то элемент из $A$. Тогда $|E| = |L| \cdot (n - k)$ а максимальная степень вершины $d = \max(k + 1, n - k)$. + + \begin{align*} + k \leq \frac{n - 1}{2}\\ + 2k \leq n - 1\\ + k + 1 \leq n - k + \end{align*} + + Поэтому $d = n - k$. Тогда воспользуемся \textbf{3} задачей -- в G есть паросочетание размера $\frac{|L|(n - k)}{n - k} = |L| \implies $ это паросочетание содержит все вершины $L$, поэтому есть инъекция $L \hookrightarrow R$, что равносильно условию задачи. + + + +\end{document} diff --git a/dz1.tex b/dz1.tex new file mode 100644 index 0000000..75e76f6 --- /dev/null +++ b/dz1.tex @@ -0,0 +1,75 @@ +\documentclass[10pt,a5paper]{article} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian]{babel} + +\usepackage[a4paper, lmargin=0.1666\paperwidth, rmargin=0.1666\paperwidth, tmargin=0.1111\paperheight, bmargin=0.1111\paperheight]{geometry} +\begin{document} + +\begin{flalign*} +\textbf{\textit{Задание 26: }}\textit{Доказать, что } 1.(9) = 2.(0)&& +\end{flalign*} +Представим эти числа как $1.(9) = 1 + 0.(9)$ и $2.(0) = 1 + 1.(0)$\\ +Тогда пусть $x = 0.(9)$: +\begin{align*} +10x &= 9.(9)\\ + 9x &= 9\\ + x &= 1\\ +\end{align*} +Значит, $0.(9) = 1$ и $1.(9) = 2.(0)$, значит $1.(9) = 2.(0)$ + +\clearpage + +\begin{flalign*} +\textbf{\textit{Задание 20: }} +\textit{Доказать, что } +\underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \ldots + \sqrt{a}}}}_{n} \leq \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}& +\end{flalign*} +Обозначим левую часть за $A_n$ и докажем по индукции.\\ +База $(n = 1)$: +\begin{align*} +A_1 = \sqrt{a} &\overset{?}{\leq} \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}&&\\ + a &\overset{?}{\leq} \frac{1 + 2\sqrt{4a + 1} + 4a + 1}{4}&&\\ + 0 &\leq \frac{2 + 2\sqrt{4a + 1}}{4}&&\\ +\end{align*} +Переход: \\ +Пусть для $n$ - верно, тогда: +\begin{align*} +A_{n+1} = \sqrt{a + A_n} &\overset{?}{\leq} \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}&&\\ + \sqrt{a + \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}} &\overset{?}{\leq} \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}&&\\ + a + \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2} &\overset{?}{\leq} \frac{1 + 2\sqrt{4a + 1} + 4a + 1}{4}&&\\ + \frac{2a + 1 + \sqrt{4a + 1}}{2} &\overset{?}{\leq} \frac{2 + 2\sqrt{4a + 1} + 4a}{4}&&\\ + \frac{2a + 1 + \sqrt{4a + 1}}{2} &= \frac{1 + 1\sqrt{4a + 1} + 2a}{2}&&\\ +\end{align*} +Значит, для $n + 1$ - тоже верно + +\clearpage + +\textbf{\textit{Задание 5: }} +$X, Y \subset \mathbb{R}_+, Z = \{xy : x \in X, y \in Y\}.$ +\textit{Доказать, что } $$\inf{Z} = \inf{X}\inf{Y}, \quad \sup{Z} = \sup{X}\sup{Y}$$ + +\textbf{1.} Так как $\sup{X}$ - точная верхняя грань $X$, а $\sup{Y}$ - точная верхняя грань $Y$, то $\forall x \in X, y \in Y$ выполняется $xy \leq x\sup{Y} \leq \sup{X}\sup{Y}$, поэтому $S = \sup{X}\sup{Y}$ - верхняя грань $Z$.\\ + +\textbf{2.} Пусть $\sup{X}\sup{Y} = S_z$. Докажем, что $\forall{\Gamma > 0}\ \exists\ z \in Z$, такое, что $S_z - z < \Gamma$.\\ + +Из определения точной верхней грани $\forall{\delta > 0}\ \exists\ x \in X, y \in Y$ такие, что +$$x > \sup{X} - \delta,\ y > \sup{Y} - \delta,$$ +поэтому существует $z = xy$ и +$$xy > (\sup{X} - \delta)(\sup{Y} - \delta) = \sup{X}\sup{Y} - \delta(\sup{X} + \sup{Y} - \delta)$$\\ +Так как $\sup{X} + \sup{Y} = \text{const}$, то +$$\lim_{\delta \to 0} \delta(\sup{X} + \sup{Y} - \delta) = 0$$ +поэтому для любого $\Gamma$ найдется $\delta$ такой, что +$$S_z - z > S_z - (\sup{X} - \delta)(\sup{Y} - \delta) > \Gamma,$$ +что и требовалось доказать.\\ + +Из (\textbf{1}) и (\textbf{2}) следует, что $S_z = \sup{X}\sup{Y}$ - точная верхняя грань $Z$. +Аналогично, $\inf{Z} = \inf{X}\inf{Y}$ + +\clearpage + + + +\end{document} diff --git a/dz2.tex b/dz2.tex new file mode 100644 index 0000000..46d061c --- /dev/null +++ b/dz2.tex @@ -0,0 +1,181 @@ +\documentclass[10pt,a5paper]{article} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian]{babel} + +\usepackage[a4paper, lmargin=0.1666\paperwidth, rmargin=0.1666\paperwidth, tmargin=0.1111\paperheight, bmargin=0.1111\paperheight]{geometry} +\begin{document} + +\begin{titlepage} +\begin{center} +Семинар 0916 + +Шарафатдинов Камиль БПМИ192 +\end{center} +\end{titlepage} + +\newcommand{\limn}[1][]{\lim_{n\to\infty}{#1}} + +\begin{flalign*} +\textbf{\textit{9.k: }}&& +\end{flalign*} +\begin{align*} +& \limn{(\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[9]{3} \cdot \ldots \cdot \sqrt[3^n]{3})} = + \limn{(3^\frac{1}{3} \cdot 3^\frac{1}{9} \cdot \ldots \cdot 3^\frac{1}{3^n})} = + \limn{(3^{\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{3^n}})} = + 3^{\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}} = + \sqrt{3} +\end{align*} + +\begin{flalign*} +\textbf{\textit{10.b: }}&& +\end{flalign*} + +Пусть $b = \lfloor a \rfloor + 1, C = \frac{a^b}{b!}$ + +При $n > b:$ +\begin{align*} +\frac{a^n}{n!} = +\frac{a^b \cdot a^{n - b}}{b! \cdot \frac{n!}{b!}} = +\frac{a^b}{b!} \cdot \frac{a^{n - b}}{\frac{n!}{b!}} = +C \cdot {\prod_{k = b + 1}^{n}} \frac{a}{k} && +\end{align*} + +Так как $n > b:$ +\begin{align*} +0 < C \cdot {\prod_{k = b + 1}^{n}} \frac{a}{k} < C \cdot {\prod_{k = b + 1}^{n}} \frac{a}{b}&& +\end{align*} + +Так как $b < a:$ +\begin{align*} +\limn{\prod_{k = b + 1}^{n} \frac{a}{b}} = 0&& +\end{align*} + +Значит по теореме о двух полицейских ($0$ и $\displaystyle C \cdot {\prod_{k = b + 1}^{n}} \frac{a}{b}$) предел равен 0: +\begin{align*} +\limn{\frac{a^n}{n!}} = 0&& +\end{align*} + + +\begin{flalign*} +\textbf{\textit{10.c: }}&& +\end{flalign*} + +Докажем по определению, что $\forall \epsilon > 0 \ \exists \ N : \forall n > N \ \sqrt[n]{b} - 1 < \epsilon$: +\begin{align*} +\sqrt[n]{b} < \epsilon - 1&&\\ +\frac{1}{n}\log_{\epsilon + 1}{b} < 1&&\\ +\log_{\epsilon + 1}{b} < n&&\\ +\end{align*} + +Так как слева константа, а правая часть стремится к бесконечности, очевидно, начиная с некоторого $n$ неравенство начнет выполняться, следовательно, предел равен 1. + + +\begin{flalign*} +\textbf{\textit{10.e: }}&& +\end{flalign*} + +Пусть $n = b^k$ (для каждого $n$). Тогда, очевидно, $k\to\infty$, так же как и $n$. Тогда +$\frac{\log_b{n}}{n} = \frac{k}{b^k}$. +\begin{align*} +\text{Применяя номер \textit{10.a}:}\ \ +\lim_{k\to\infty}{\frac{k^1}{b^k}} = 0 \implies \limn{\frac{log_b{n}}{n}} = 0&&\\ +\end{align*} + +\clearpage + + +\begin{flalign*} +\textbf{\textit{14: }}&& +\end{flalign*} + +Нет. Например +\begin{align*} +x_n &= (-1)^n + 1&&&&&\\ +y_n &= (-1)^{n + 1} + 1 +\end{align*} + +Ни одна из последовательностей не сходится, а их произведение $x_n y_n = 0$ + +\begin{flalign*} +\textbf{\textit{16.1: }}&& +\end{flalign*} + +По теореме Тёплица: + +Пусть $P_{nk} = \frac{1}{n}$. Тогда по теореме: +\begin{align*} +&\limn{\sum_{k = 1}^{n} P_{nk}x_k} = a&&\\ +&\sum_{k = 1}^{n} P_{nk}x_k = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n}x_k = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} +\end{align*} + + +\begin{flalign*} +\textbf{\textit{16.2: }}&& +\end{flalign*} + +\textbf{Лемма: }$\displaystyle \limn{x_n} = a; x_n > 0 \implies \limn{\frac{1}{x_n}} = \frac{1}{a}$ + +Пусть $t = \inf\{x_n\}$. + +По условию: $\forall \epsilon > 0 \ \exists \ N: \forall n > N \ \ |a - x_n| < \epsilon$ +\begin{align*} +\left|\frac{1}{a} - \frac{1}{x_n}\right| = +\left|\frac{x_n - a}{a x_n}\right| < +\left|\frac{x_n - a}{a t}\right| = +\frac{\left|x_n - a\right|}{a t} +\end{align*} + +Поэтому для любого $\epsilon_1$ существует $\epsilon = at \cdot \epsilon_1$, для которого выполняется $\left| x_n - a \right| < \epsilon$, следовательно, выполняется $\left|\frac{1}{a} - \frac{1}{x_n}\right| < \epsilon_1$, что и требовалось. Лемма доказана.\\\\\\ + +Тогда пусть $\forall n : x_n' = \frac{1}{x_n}$ + +По лемме $\displaystyle \limn{x_n'} = \frac{1}{a} \overset{\text{по 16.1}}{\implies} +\limn{\frac{1}{n}\sum^n{x_n'}} = \frac{1}{a}$.\\ + +\begin{align*} +&\text{Т. к. }\ z_n = \frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n{x_i'}}\text{, то } +\frac{1}{z_n} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n{x_i'}\text{, поэтому }\ +\limn{\frac{1}{z_n}} = \limn{x_n'} = \frac{1}{a}.\\ +&\text{Еще раз применяя лемму, получаем } \limn{z_n} = \frac{1}{\frac{1}{a}} = a. +\end{align*} + +\begin{flalign*} +\textbf{\textit{16.3: }}&& +\end{flalign*} + +По неравенству о средних: $z_n \leq \xi_n \leq y_n$. + +По теореме о двух полицейских $\limn{z_n} = \limn{y_n} = a \implies \limn{\xi_n} = a$ + +\begin{flalign*} +\textbf{\textit{17: }}&& +\end{flalign*} + +Из 16.3: +\begin{align*} +\limn{\sqrt[n]{x_n}} = +\limn{\sqrt[n]{x_1\frac{x_2}{x_1}\frac{x_3}{x_2} \cdots \frac{x_n}{x_{n - 1}}}} = +\limn{\frac{x_n}{x_{n - 1}}} +\end{align*} + +\begin{flalign*} +\textbf{\textit{18: }}&& +\end{flalign*} + +Из 17: +\begin{align*} +& \limn{\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}} = + \limn{\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}} = + \limn{\frac{n^n}{n!} \cdot \frac{(n - 1)!}{(n - 1)^{n - 1}}} = + \limn{\frac{n^{n - 1}}{(n - 1)^{n - 1}}} =\\ += &\limn{\left(\frac{n}{n - 1}\right)^{n - 1}} = + \limn{\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n}} = + \limn{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} +\end{align*} + +Последнее является вторым замечательным пределом и $\displaystyle \limn{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} = e$ + +\end{document} diff --git a/intro.tex b/intro.tex new file mode 100644 index 0000000..ed8fba7 --- /dev/null +++ b/intro.tex @@ -0,0 +1,80 @@ +\usepackage[sfdefault,condensed,scaled=0.85]{roboto} +\usepackage{inconsolata} +\setmonofont[Scale=0.85]{Inconsolata} + +\setlength\headheight{13.6pt} + +\usepackage{ + amsmath, amsthm, amssymb, mathtools, + graphicx, subfig, float, + listings, xcolor, + fancyhdr, sectsty, hyperref, enumerate, framed, + comment +} +\usepackage[shortlabels]{enumitem} + +\flushbottom % Uncomment to make text fill the entire page +\usepackage[bottom]{footmisc} % Anchor footnotes to bottom of page +\renewcommand{\baselinestretch}{1.06} % Adjust line spacing +%\setlength\parindent{0pt} % Remove paragraph indentation +\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper, % Set page margins + left=0.7in, right=0.7in, + top=0.8in, bottom=0.9in, + headsep=.1in +} + + +\setlength\FrameSep{0.75em} +\setlength\OuterFrameSep{\partopsep} + +\newenvironment{cframed}[1][gray] + {\def\FrameCommand{\fboxsep=\FrameSep\fcolorbox{#1}{white}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}} + {\endMakeFramed} + +\newcommand{\question}[2]{ + \doubleskip\begin{cframed} + \noindent \textbf{#1} + #2 + \end{cframed} +} + + +% Increase line spacing in matrix +\makeatletter +\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{% + \hskip -\arraycolsep + \let\@ifnextchar\new@ifnextchar + \array{#1}} +\makeatother + + +\newcommand{\braced}[1]{\left( #1 \right)} + +\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil} +\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor} + +\DeclareMathOperator{\tg}{tg} +\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg} +\DeclareMathOperator{\chr}{char} + + +\newcommand{\sinx}{\sin x} +\newcommand{\cosx}{\cos x} +\newcommand{\tgx}{\tg x} + +\newcommand{\doubleskip}{\bigskip \bigskip} +\newcommand{\osmall}[1]{\overline{o}\left( #1 \right)} + +\DeclareRobustCommand{\rchi}{{\mathpalette\irchi\relax}} +\newcommand{\irchi}[2]{\raisebox{\depth}{$#1\chi$}} % inner command, used by \rchi + +\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta} + +% -- Left/right header text and footer (to appear on every page) -- +\pagestyle{fancy} +\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} +\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} + +\cfoot{} +\rfoot{\thepage} \ No newline at end of file diff --git a/phw.tex b/phw.tex new file mode 100644 index 0000000..b0f736c --- /dev/null +++ b/phw.tex @@ -0,0 +1,511 @@ +% -- LaTeX Template for Homework (S. Venkatraman) -- + +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian]{babel} + + +\usepackage{ + amsmath, amsthm, amssymb, mathtools, + graphicx, subfig, float, + listings, color, inconsolata, + fancyhdr, sectsty, hyperref, enumerate, framed } +\usepackage[shortlabels]{enumitem} + +\flushbottom % Uncomment to make text fill the entire page +\usepackage[bottom]{footmisc} % Anchor footnotes to bottom of page +\renewcommand{\baselinestretch}{1.06} % Adjust line spacing +%\setlength\parindent{0pt} % Remove paragraph indentation +\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper, % Set page margins + left=1.35in, right=1.35in, + top=1.1in, bottom=1in, + headsep=.2in } + +% -- Frame settings (for problem statement) -- +\setlength\FrameSep{0.55em} +\setlength\OuterFrameSep{\partopsep} + +% -- 'question' is a custom command for writing the statement of a problem; first argument +% is the question number, second argument is the statement -- +\newcommand{\question}[2]{\begin{framed}\noindent \textbf{#1} #2\end{framed}} +\newcommand{\withbraces}[1]{\left( #1 \right)} +\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil} +\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor} + +% -- Flush left for 'enumerate' numbers +%\setlist[enumerate]{wide=0pt, leftmargin=21pt, labelwidth=0pt, align=left} + +\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta} + +% -- Make reference section title font smaller -- +%\renewcommand{\refname}{\normalsize\bf{References}} + + +% -- Uncomment these lines to set font to 'Charter', with math support -- +% \usepackage[bitstream-charter]{mathdesign} +% \usepackage[T1]{fontenc} + + +% -- Left/right header text and footer (to appear on every page) -- +\pagestyle{fancy} +\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} +\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} +\lhead{ИДЗ-1} +\rhead{Шарафатдинов Камиль БПМИ192} + +% -- Document starts here -- +\begin{document} + +\url{https://fcked.net/la} - тут должны валяться все скрипты, на которые я ссылаюсь + +\question{1.}{ + Решить СЛУ для любого $t \in \mathbb{R}$: + $$ + \begin{bmatrix} + -1 && -t - 1 && 5 && 4 + t\\ + -1 && -t - 2 && 6 && 6 - t\\ + 2 && 2t + 1 && -9 && -6 -3t\\ + \end{bmatrix} x = + \begin{bmatrix} + -4\\ + -4\\ + 6\\ + \end{bmatrix} + $$ +} + +Заведем матрицу +$$ +\begin{bmatrix} + -1 && -t - 1 && 5 && 4 + t && -4\\ + -1 && -t - 2 && 6 && 6 - t && -4\\ + 2 && 2t + 1 && -9 && -6 -3t && 6\\ +\end{bmatrix} +$$ + +и будем приводить ее к ступенчатому виду. + +С помощью элементарных преобразований, описанных в \url{scr_1.py} получаем + +$$ +\begin{bmatrix} + 1 && t + \frac{1}{2} && -\frac{9}{2} && -3 && 0\\ + 0 && 1 && -1 && -2 && 4\\ + 0 && 0 && 0 && t && -2\\ +\end{bmatrix} +$$ + +Очевидно, что если $t = 0$, то система не имеет решений, иначе +\begin{align*} + x_4 &= \frac{-2}{t}\\\\ + x_3 &= k, k \in \mathbb{R}\\\\ + x_2 &= 4 + 2x_4 + x_3 = 4 - \frac{4}{t} + x_3\\\\ + x_1 &= 3x_4 + \frac{9}{2}x_3 - \left(t + \frac{1}{2}\right)x_2 = \\ + &= -\frac{6}{t} + \frac{9}{2}x_3 - \left(tx_3 + 4t - \frac{2}{t} + \frac{x}{2} - 2\right) =\\ + &= -\frac{2 (2 t^2 - t + 2)}{t} - (t - 4)x_3 \\\\ + x &= \begin{bmatrix} + -\frac{2 (2 t^2 - t + 2)}{t} - (t - 4)k \\ + 4 - \frac{4}{t} + x_3 \\ + k \\ + -\frac{2}{t} \\ + \end{bmatrix}, \forall k \in \mathbb{R} \\\\ + \end{align*} + +\clearpage + +\question{2.}{ +Найти $f_{min}$ для $A = + \begin{bmatrix} + -3 & 0 & -t \\ + -5 & -3 & t - 5 \\ + 0 & 0 & t - 3 + \end{bmatrix}$ +} + +Пусть +\begin{gather*} + F_A = f_{min} (A)\\ + F_1 = f_{min}\left(\begin{bmatrix} -3 & 0 \\ -5 & -3 \end{bmatrix}\right)\\ + F_2 = f_{min}\left(\begin{bmatrix} t - 3 \end{bmatrix}\right)\\ +\end{gather*} + +По блочным формулам $F_A$ делит $F_1 \cdot F_2$. + +$F_1$ делит $(x + 3)^2$, потому что матрица - нижнетреугольная, +но $$ +\begin{bmatrix} -3 & 0 \\ -5 & -3 \end{bmatrix} + 3id_2 = +\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ -5 & 0 \end{bmatrix} \neq 0 +$$ + +Поэтому $F_1 = (x + 3)^2$. +$F_2$ очевидно равен $x - t + 3$ +\newline + +Рассмотрим два случая: $t = 0 \Rightarrow F_2 = x + 3$ и $t \neq 0 \Rightarrow F_2 \neq x + 3$. + +\begingroup +\leftskip2em +\rightskip\leftskip +Во втором случае $F_A$ делит $(x + 3)^2(x - t + 3)$, +но так как степень записанного многочлена равна 3, то это и есть минимальный многочлен. +\par +\endgroup + +\begingroup +\leftskip2em +\rightskip\leftskip +В первом случае $F_A$ делит $(x + 3)^3$, но для +\par +\endgroup +$$ + A = \begin{bmatrix} + -3 & 0 & 0 \\ + -5 & -3 & -5 \\ + 0 & 0 & -3 + \end{bmatrix} +$$ + +\begingroup +\leftskip2em +\rightskip\leftskip +можно уже в лоб проверить, что $(x + 3)$ недостаточно, чтобы занулить $A$, а $(x + 3)^2$ -- уже достаточно, +поэтому $(x + 3)^2$ и есть минимальный многочлен. +\par +\endgroup +\vspace{5mm} +Поэтому если $t = 0$, то $f_{min} (A) = (x + 3)^2$, +если $t \neq 0$, то $f_{min} (A) = (x + 3)^2(x - t + 3)$ + +\clearpage + +\question{3.}{ + Существует ли матрица $A \in M_{2,3} (\mathbb{R})$, такая, что $Ax = 0$ для + $$ + x \in \left\{ + \begin{bmatrix} + -5 \\ -5 \\ -3 + \end{bmatrix}, + \begin{bmatrix} + 7 \\ -5 \\ -4 + \end{bmatrix} + \right\} + $$ + + и существует такой $y \in M_{1,3} (\mathbb{R})$, что + $$ + Ay = \begin{bmatrix} + 3 \\ 4 + \end{bmatrix} + $$ +} + +Пусть +$$ + A = \begin{bmatrix} + a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 + \end{bmatrix},\ \ \ \ + y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} +$$ + +Переформулируем условие (перемножим то, что нужно и поэлементно приравняем): +$$ + \begin{bmatrix} + -5 & -5 & -3 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & -5 & -5 & -3 \\ + 7 & -5 & -4 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 7 & -5 & -4 \\ + + y_1 & y_2 & y_3 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & y_1 & y_2 & y_3 \\ + \end{bmatrix} +\times + \begin{bmatrix} + a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \\ a_6 + \end{bmatrix} += + \begin{bmatrix} + 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4 + \end{bmatrix} +\text{ - имеет решение} +$$ + +Заметим, что нечетные и четные уравнения (строки) - независимы. +Поэтому можно сначала решить четные, а потом нечетные, а потом "склеить"\ результаты. + +Решим нечетные уравнения. Для этого решим сначала первое и третье, а потом подгоним решение под пятое +(все равно решений будет либо $0$, либо $\infty$, причем если решений $0$, +то нужной матрицы не существует) +$$ + \begin{bmatrix} + -5 & -5 & -3 \\ + 7 & -5 & -4 \\ + \end{bmatrix} +\times + \begin{bmatrix} + a_1 \\ a_2 \\ a_3 + \end{bmatrix} += 0 +$$ +\begin{gather*} + \begin{bmatrix} + -5 & -5 & -3 & 0 \\ + 7 & -5 & -4 & 0 \\ + \end{bmatrix}\rightarrow + \begin{bmatrix} + 1 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\ + 7 & -5 & -4 & 0 \\ + \end{bmatrix}\rightarrow + \begin{bmatrix} + 1 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\ + 0 & -12 & -8\frac{1}{5} & 0 \\ + \end{bmatrix} \\ + \begin{bmatrix} + 1 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\ + 0 & 12 & 8\frac{1}{5} & 0 \\ + \end{bmatrix}\rightarrow + \begin{bmatrix} + 1 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\ + 0 & 1 & \frac{41}{60} & 0 \\ + \end{bmatrix}\rightarrow + \begin{bmatrix} + 1 & 0 & -\frac{1}{12} & 0 \\ + 0 & 1 & \frac{41}{60} & 0 \\ + \end{bmatrix}\\\\ + a_3 = k, k \in \mathbb{R}, \ \ \ \ \ \ + a_2 = -\frac{41}{60}k, \ \ \ \ \ \ + a_1 = \frac{1}{12}k +\end{gather*} + +Теперь подгоним для оставшегося уравнения + +\begin{gather*} + y_1 a_1 + y_2 a_2 + y_3 a_3 = 3\\ + k\left(\frac{y_1}{12} - \frac{41}{y_2} + y_3\right) = 3 +\end{gather*} + +Пусть $k = 3, y_1 = 1, y_2 = 1, y_3 = 1.6$. Тогда равенство, очевидно, выполняется. +\\ + +Сделаем то же самое для четных уравнений. +Решение второго и четвертого абсолютно такое же, осталось подогнать под последнее. + +\begin{gather*} + y_1 a_4 + y_2 a_5 + y_3 a_6 = 4\\ + k\left(\frac{y_1}{12} - \frac{41}{y_2} + y_3\right) = 4 +\end{gather*} + +Пусть $k = 4, y_1 = 1, y_2 = 1, y_3 = 1.6$. Тогда равенство, очевидно, выполняется. + +Запишем саму $A$ + +$$ +\renewcommand\arraystretch{1.7} + A = \begin{bmatrix} + \frac{1}{12} \cdot 3 & -\frac{41}{60} \cdot 3 & 3 \\ + \frac{1}{12} \cdot 4 & -\frac{41}{60} \cdot 4 & 4 \\ + \end{bmatrix} += + \begin{bmatrix} + \frac{1}{4} & -\frac{41}{20} & 3 \\ + \frac{1}{3} & -\frac{41}{15} & 4 \\ + \end{bmatrix} +$$ +\begin{gather*} + A \times \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1.6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}, \ \ \ \ + A \times \begin{bmatrix} -5 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix} = 0, \ \ \ \ + A \times \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ -4 \end{bmatrix} = 0, \ \ \ \ +\end{gather*} + +\clearpage + +\question{4.}{ + Найти все матрицы $3 \times 3$, коммутирующие с + $ + \begin{bmatrix} + -3 & 0 & 8 \\ + 1 & -3 & -1 \\ + 0 & 0 & 5 \\ + \end{bmatrix} + $ +} + +Пусть $A = +\begin{bmatrix} + x_1 & x_2 & x_3 \\ + x_4 & x_5 & x_6 \\ + x_7 & x_8 & x_9 \\ +\end{bmatrix}$ + +Тогда + +$$ + \begin{bmatrix} + x_1 & x_2 & x_3 \\ + x_4 & x_5 & x_6 \\ + x_7 & x_8 & x_9 \\ + \end{bmatrix} +\times + \begin{bmatrix} + -3 & 0 & 8 \\ + 1 & -3 & -1 \\ + 0 & 0 & 5 \\ + \end{bmatrix} += + \begin{bmatrix} + x_2 - 3 x_1 && -3 x_2 && 8 x_1 - x_2 + 5 x_3 \\ + x_5 - 3 x_4 && -3 x_5 && 8 x_4 - x_5 + 5 x_6 \\ + x_8 - 3 x_7 && -3 x_8 && 8 x_7 - x_8 + 5 x_9 \\ + \end{bmatrix} +$$ +$$ + \begin{bmatrix} + -3 & 0 & 8 \\ + 1 & -3 & -1 \\ + 0 & 0 & 5 \\ + \end{bmatrix} +\times + \begin{bmatrix} + x_1 & x_2 & x_3 \\ + x_4 & x_5 & x_6 \\ + x_7 & x_8 & x_9 \\ + \end{bmatrix} += + \begin{bmatrix} + 8 x_7 - 3 x_1 && 8 x_8 - 3 x_2 && 8 x_9 - 3 x_3 \\ + x_1 - 3 x_4 - x_7 && x_2 - 3 x_5 - x_8 && x_3 - 3 x_6 - x_9 \\ + 5 x_7 && 5 x_8 && 5 x_9 \\ + \end{bmatrix} +$$ + +Оба произведения должны быть поэлементно равны, поэтому должна выполняться система +\begin{gather} + 8x_7 - 3x_1 = x_2 - 3x_1\\ + 8x_8 - 3x_2 = -3x_2\\ + 8x_9 - 3x_3 = 8x_1 - x_2 + 5x_3\\ + x_1 - 3x_4 - x_7 = x_5 - 3x_4\\ + x_2 - 3x_5 - x_8 = -3x_5\\ + x_3 - 3x_6 - x_9 = 8x_4 - x_5 + 5x_6\\ + 5x_7 = x_8 - 3x_7\\ + 5x_8 = -3x_8\\ + 5x_9 = 8x_7 - x_8 + 5x_9 +\end{gather} + +Из (1), (2), (5), (7), (8), (9) следует, что $x_2 = x_7 = x_8 = 0$. +Остальные можно записать как уравнение + +$$ +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ + 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ + 0 & 1 & -8 & 1 & -8 & -1 \\ +\end{bmatrix} +\times +\begin{bmatrix} + x_1 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_9 +\end{bmatrix} += +0 +$$ + +С помощью \url{scr_2.py} переходим к +$$ +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ +\end{bmatrix} +\times +\begin{bmatrix} + x_1 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_9 +\end{bmatrix} += +0 +$$ + +$x_9, x_6, x_5$ - свободные, $x_4 = -x_6$, $x_3 = x_9 - x_5$, $x_1 = x_5$. + +Тогда вид матрицы, коммутирующей с нужной: +$$ +\begin{bmatrix} + x_5 & 0 & x_9 - x_5 \\ + -x_6 & x_5 & x_6 \\ + 0 & 0 & x_9 \\ +\end{bmatrix} \text{ для любых } x_5, x_6, x_9 \in \mathbb{R} +$$ + +\clearpage + +\question{5.}{ + Сколько главных переменных у $ + \begin{bmatrix} 7 & -8 \\ -1 & -9 \end{bmatrix} \times + \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix} \times + \begin{bmatrix} 5 & -4 \\ -2 & t \end{bmatrix} = 0 + $ +} + +Перемножим в лоб матрицы. Получим +$$ +\begin{bmatrix} + 35 & -40 & -14 & 16 \\ + -5 & -45 & 2 & 18 \\ + -28 & 32 & 7t & -8t \\ + 4 & 36 & -t & -9t \\ +\end{bmatrix} x = 0 +$$ + +С помошью \url{scr_3} Получим +$$ +\renewcommand\arraystretch{1.5} +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & -2/5 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & -2/5 \\ + 0 & 0 & 7t - 56/5 & -8t + 64/5 \\ + 0 & 0 & 0 & -71/7t + 568/35 \\ +\end{bmatrix} += +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & -2/5 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & -2/5 \\ + 0 & 0 & 7(t - 8/5) & -8(t - 8/5) \\ + 0 & 0 & 0 & -71/7(t - 8/5) \\ +\end{bmatrix} +$$ + +Отсюда следует, что если $t = 8/5$, то у системы ровно две свободные переменные ($x_3, x_4$) +и, соответственно, две главные ($x_1, x_2$) +а если $t \neq 8/5$, то мы можем последние строки разделить на $t - 8/5$ и получить ступенчатый вид. +$$ +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & -2/5 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & -2/5 \\ + 0 & 0 & 7 & -8 \\ + 0 & 0 & 0 & -71/7 \\ +\end{bmatrix} = +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & -2/5 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & -2/5 \\ + 0 & 0 & 7 & -8 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 \\ +\end{bmatrix} = +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & -2/5 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & -2/5 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 \\ +\end{bmatrix} = +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 \\ +\end{bmatrix} +$$ + +Тогда все переменные будут главными. + +Поэтому $t = 8/5 \Rightarrow $ 2 главные переменные, $t \neq 8/5 \Rightarrow $ 4 главные переменные. + +\clearpage + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/phw2.tex b/phw2.tex new file mode 100644 index 0000000..1138761 --- /dev/null +++ b/phw2.tex @@ -0,0 +1,379 @@ +\documentclass[11pt]{article} +%\usepackage[T2A]{fontenc} +%\usepackage[utf8]{inputenc} +%\usepackage[russian]{babel} + + +\input{intro} + +\lhead{\color{gray} Линейная алгебра} +\rhead{\color{gray} ИДЗ-2} + +\makeatletter +\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{% + \hskip -\arraycolsep + \let\@ifnextchar\new@ifnextchar + \array{#1}} +\makeatother + + +\DeclareMathOperator{\chr}{char} + +\title{ИДЗ-2 по линейной алгебре} +\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ-192} +\date{\today} + +% -- Here bet dragons -- +\begin{document} +\maketitle +%\section*{Abstract} + +\clearpage + +\question{2}{ +\[ + \begin{pmatrix} + -1 & 1 & 2 & 3\\ + 3 & -3 & -2 & -3\\ + -2 & -3 & 2 & 2\\ + 1 & -1 & -3 & -3 + \end{pmatrix} + \braced{ + X + + \begin{pmatrix} + -10 & 8 & -5 & 1\\ + 8 & -1 & -1 & 6\\ + 4 & -5 & 4 & -5\\ + 10 & -9 & 8 & 3 + \end{pmatrix} + }^{-1} + \begin{pmatrix} + 2 & -3 & -1 & -2\\ + -3 & 2 & -2 & 3\\ + -1 & 2 & 3 & 3\\ + 3 & -3 & -2 & -3 + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 1 & 1 & -1 & 1\\ + -1 & -2 & 2 & -2\\ + 1 & 2 & -1 & 3\\ + -1 & -2 & 1 & -2 + \end{pmatrix} +\] +} + + Обозначим как-нибудь матрицы: + \[ + A (X + B)^{-1} C = D + \] + + Предположим, что $A$ и $D$ обратимы ($D^{-1}$ мне все равно придется найти, а $\Delta A = -30$). Тогда + \begin{align*} + A (X + B)^{-1} C &= D\\ + (X + B)^{-1} C &= A^{-1} D\\ + C &= (X + B) A^{-1} D\\ + C D^{-1} &= (X + B) A^{-1}\\ + C D^{-1} A &= X + B\\ + X &= C D^{-1} A - B + \end{align*} + + Найдем $D^{-1}$. Запишем матрицу $(D|E)$ и будем элементарными преобразованиями приводить ее к $(E|D^{-1})$. + \[ + \begin{pmatrix}[cccc|cccc] + 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ + -1 & -2 & 2 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\ + 1 & 2 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0\\ + -1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 + \end{pmatrix} \overset{\texttt{main2.py}}\sim % TODO + \begin{pmatrix}[cccc|cccc] + 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\ + 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -2\\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 + \end{pmatrix} + \] + + Осталось просто перемножить $CD^{-1}A$ и вычесть $B$ + \[ + X = CD^{-1}A - B = + \begin{pmatrix} + -1 & -4 & -1 & 5\\ + -8 & 3 & -7 & -10\\ + 4 & -9 & 2 & -4\\ + -1 & 1 & 1 & 9 + \end{pmatrix} - B = + \begin{pmatrix} + 9 & -12 & 4 & 4\\ + -16 & 4 & -6 & -16\\ + 0 & -4 & -2 & 1\\ + -11 & 10 & -7 & 6 + \end{pmatrix} + \] + +\question{3}{ + \[ + A = + \begin{pmatrix} + -4 & 3 & -2 & 1\\ + -5 & 5 & -4 & 1\\ + 2 & -2 & 1 & -2\\ + 0 & 0 & 2 & 2 + \end{pmatrix} + \] + Найти характеристический многочлен $A$ и определитель $(A^2 - 3A + 1)^{-2}$ +} + + \[ + \det\braced{A - \lambda E} = + \begin{vmatrix} + -4 -\lambda & 3 & -2 & 1\\ + -5 & 5 -\lambda & -4 & 1\\ + 2 & -2 & 1 -\lambda & -2\\ + 0 & 0 & 2 & 2 -\lambda + \end{vmatrix} + \] + + Разложим по последней строке + \begin{align*} + &\begin{vmatrix} + -4 -\lambda & 3 & -2 & 1\\ + -5 & 5 -\lambda & -4 & 1\\ + 2 & -2 & 1 -\lambda & -2\\ + 0 & 0 & 2 & 2 -\lambda + \end{vmatrix} = + -2 \begin{vmatrix} + -4 -\lambda & 3 & 1\\ + -5 & 5 -\lambda & 1\\ + 2 & -2 & -2\\ + \end{vmatrix} + (2 - \lambda) + \begin{vmatrix} + -4 -\lambda & 3 & -2\\ + -5 & 5 -\lambda & -4\\ + 2 & -2 & 1 -\lambda\\ + \end{vmatrix} =\\\\ + = &(-2)(-2\lambda^2 + 2\lambda + 8) + (2 - \lambda)(-\lambda^3 + 2\lambda^2 + 8\lambda + 3) = + \lambda^4 - 4\lambda^3 + 9\lambda - 10 + \end{align*} + + Посмотрим внимательно на $(A^2 - 3A + 2)^{-2}$. Пусть $B = A^2 - 3A + 2 = (A - 1)(A - 2)$. + \[ + \det(B^{-2}) = + \det(B^{-1})^2 = + \braced{ \frac{1}{\det(B)} }^2 = + \braced{ \frac{1}{\det(A - 1)\det(A - 2)} }^2 + \] + + Осталось посчитать $\det(A - 1)$ и $\det(A - 2)$ + \[ + \det(A - 1) = + \begin{vmatrix} + -5 & 3 & -2 & 1\\ + -5 & 4 & -4 & 1\\ + 2 & -2 & 0 & -2\\ + 0 & 0 & 2 & 1 + \end{vmatrix} = + -2 + \begin{vmatrix} + -5 & 3 & 1\\ + -5 & 4 & 1\\ + 2 & -2 & -2 + \end{vmatrix} + + \begin{vmatrix} + -5 & 3 & -2\\ + -5 & 4 & -4\\ + 2 & -2 & 0 + \end{vmatrix} = -4 + \] + + \[ + \det(A - 2) = + \begin{vmatrix} + -6 & 3 & -2 & 1\\ + -5 & 3 & -4 & 1\\ + 2 & -2 & -1 & -2\\ + 0 & 0 & 2 & 0 + \end{vmatrix} = + -2 + \begin{vmatrix} + -6 & 3 & 1\\ + -5 & 3 & 1\\ + 2 & -2 & -2 + \end{vmatrix} = -8 + \] + + \[ + \det\braced{A^2 - 3A + 2}^{-2} = \braced{ \frac{1}{32} }^2 = \frac{1}{1024} + \] + + +\question{4}{ + Найти коэффициент при $x^5$ в + \[ + \begin{vmatrix} + x & 4 & -5 & 5 & -7 & 8 & 1\\ + 1 & 5 & 8 & -8 & -5 & x & 5\\ + -4 & 7 & x & -6 & -1 & -2 & 1\\ + -8 & 4 & 7 & 7 & 6 & x & 8\\ + -9 & -6 & 8 & -5 & -5 & 8 & x\\ + -2 & 7 & 1 & 4 & x & 3 & 4\\ + 2 & x & 6 & x & 9 & -2 & 3\\ + \end{vmatrix} + \] +} + + Сделаем пару преобразований, чтобы сократить количество иксов: + \begin{align*} + &\begin{vmatrix} + x & 4 & -5 & 5 & -7 & 8 & 1\\ + 1 & 5 & 8 & -8 & -5 & x & 5\\ + -4 & 7 & x & -6 & -1 & -2 & 1\\ + -8 & 4 & 7 & 7 & 6 & x & 8\\ + -9 & -6 & 8 & -5 & -5 & 8 & x\\ + -2 & 7 & 1 & 4 & x & 3 & 4\\ + 2 & x & 6 & x & 9 & -2 & 3\\ + \end{vmatrix} \overset{\text{2 строка -= 4 строка}}= + \begin{vmatrix} + x & 4 & -5 & 5 & -7 & 8 & 1\\ + 9 & 1 & 1 & -15 & -11 & 0 & -3\\ + -4 & 7 & x & -6 & -1 & -2 & 1\\ + -8 & 4 & 7 & 7 & 6 & x & 8\\ + -9 & -6 & 8 & -5 & -5 & 8 & x\\ + -2 & 7 & 1 & 4 & x & 3 & 4\\ + 2 & x & 6 & x & 9 & -2 & 3\\ + \end{vmatrix} =\\\\ + \overset{\text{2 столбец -= 4 столбец}}= &\begin{vmatrix} + x & -1 & -5 & 5 & -7 & 8 & 1\\ + 9 & 16 & 1 & -15 &-11 & 0 & -3\\ + -4 & 13 & x & -6 & -1 & -2 & 1\\ + -8 & -3 & 7 & 7 & 6 & x & 8\\ + -9 & -1 & 8 & -5 & -5 & 8 & x\\ + -2 & 3 & 1 & 4 & x & 3 & 4\\ + 2 & 0 & 6 & x & 9 & -2 & 3\\ + \end{vmatrix} + \end{align*} + + Заметим, что иксов осталось 6 - по одному в каждом стобце и строке кроме одного. + $x^5$ возникает в сумме членов определителя, когда вместо одного из иксов мы берем другое число из строки. + Соотвестственно, надо выписать все перестановки, в которых остается 5 иксов, или, что равносильно, в которых + отсутствует ровно один икс. таких перестановок 6, так как без каждого икса есть ровно две перестановки, но одна + из них содержит шестой икс, поэтому нам подходит только вторая. + + Итак, перестановки, содержащие 5 иксов: + \begin{align*} + &\begin{pmatrix} + 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ + 2 & 1 & 3 & 6 & 7 & 5 & 4 + \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\ + &\begin{pmatrix} + 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ + 1 & 3 & 2 & 6 & 7 & 5 & 4 + \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\ + &\begin{pmatrix} + 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ + 1 & 6 & 3 & 2 & 7 & 5 & 4 + \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\ + &\begin{pmatrix} + 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ + 1 & 7 & 3 & 6 & 2 & 5 & 4 + \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\ + &\begin{pmatrix} + 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ + 1 & 5 & 3 & 6 & 7 & 2 & 4 + \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\ + &\begin{pmatrix} + 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ + 1 & 4 & 3 & 6 & 7 & 5 & 2 + \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\ + \end{align*} + + Осталось просто просуммировать произведения константных коэффициентов: + \[ + -9 + 13 + 0 + 3 - 33 + 0 = -26 + \] + + Это и будет коэффициентом при $x^5$ + +\question{5}{ + \[ + A = \begin{pmatrix} + -4 & 4\\ + 1 & -1\\ + 3 & -3\\ + 2 & -2\\ + 4 & -4 + \end{pmatrix}, + B = \begin{pmatrix} + 3 & -1 & 1 & -2 & 2\\ + 1 & 3 & -2 & 2 & -1 + \end{pmatrix}, + \qquad \text{Найти: } \rchi_{AB}(\lambda) + \] +} + + Перемножим $AB$ (это несложно, в каждой ячейке всего 2 множителя): + \[ + AB = \begin{pmatrix} + -8 & 16 & -12 & 16 & -12\\ + 2 & -4 & 3 & -4 & 3\\ + 6 & 12 & 9 & -12 & 9\\ + 4 & -8 & 6 & -8 & 6\\ + 8 & -16 & 12 & -16 & 12 + \end{pmatrix} + \] + + Нам нужно посчитать определитель $AB - \lambda E$, поэтому мы можем умножать оба слагаемых на $S_{ij}(k)$ и определитель не изменится + \begin{align*} + \begin{pmatrix}[ccccc|ccccc] + -8 & 16 & -12 & 16 & -12 & \lambda & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 2 & -4 & 3 & -4 & 3 & 0 & \lambda & 0 & 0 & 0\\ + 6 & 12 & 9 & -12 & 9 & 0 & 0 & \lambda & 0 & 0\\ + 4 & -8 & 6 & -8 & 6 & 0 & 0 & 0 & \lambda & 0\\ + 8 & -16 & 12 & -16 & 12 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda + \end{pmatrix}\\\\ + \text{Прибавим вторую строку к остальным с коэффициентом}\\\\ + \begin{pmatrix}[ccccc|ccccc] + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda & 4\lambda & 0 & 0 & 0\\ + 2 & -4 & 3 & -4 & 3 & 0 & \lambda & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3\lambda & \lambda & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2\lambda & 0 & \lambda & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4\lambda & 0 & 0 & \lambda + \end{pmatrix}\\ + \end{align*} + + Теперь можно сложить и просто привести к треугольному виду, + пользуясь полилинейностью по строкам и столбцам + + \begin{align*} + &\begin{vmatrix} + -\lambda & -4\lambda & 0 & 0 & 0\\ + 2 & -4 -\lambda & 3 & -4 & 3\\ + 0 & 3\lambda & -\lambda & 0 & 0\\ + 0 & 2\lambda & 0 & -\lambda & 0\\ + 0 & 4\lambda & 0 & 0 & -\lambda + \end{vmatrix} = + \lambda^4 \begin{vmatrix} + -1 & -4 & 0 & 0 & 0\\ + 2 & -4 -\lambda & 3 & -4 & 3\\ + 0 & 3 & -1 & 0 & 0\\ + 0 & 2 & 0 & -1 & 0\\ + 0 & 4 & 0 & 0 & -1 + \end{vmatrix} = + \lambda^4 \begin{vmatrix} + -1 & -4 & 0 & 0 & 0\\ + 2 & 9 -\lambda & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 3 & -1 & 0 & 0\\ + 0 & 2 & 0 & -1 & 0\\ + 0 & 4 & 0 & 0 & -1 + \end{vmatrix} =\\ + &\lambda^4 \begin{vmatrix} + -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 2 & 1 -\lambda & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 3 & -1 & 0 & 0\\ + 0 & 2 & 0 & -1 & 0\\ + 0 & 4 & 0 & 0 & -1 + \end{vmatrix} = + \lambda^4 (1 - \lambda) = -\lambda^5 + \lambda^4 + \end{align*} + +\end{document} diff --git a/sol0923.tex b/sol0923.tex new file mode 100644 index 0000000..857df18 --- /dev/null +++ b/sol0923.tex @@ -0,0 +1,256 @@ +% -- LaTeX Template for Homework (S. Venkatraman) -- + +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian]{babel} + + +\usepackage{ + amsmath, amsthm, amssymb, mathtools, + graphicx, subfig, float, + listings, color, inconsolata, + fancyhdr, sectsty, hyperref, enumerate, enumitem, framed } + +\flushbottom % Uncomment to make text fill the entire page +\usepackage[bottom]{footmisc} % Anchor footnotes to bottom of page +\renewcommand{\baselinestretch}{1.06} % Adjust line spacing +%\setlength\parindent{0pt} % Remove paragraph indentation +\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper, % Set page margins + left=1.35in, right=1.35in, + top=1.1in, bottom=1in, + headsep=.2in } + +% -- Frame settings (for problem statement) -- +\setlength\FrameSep{0.55em} +\setlength\OuterFrameSep{\partopsep} + +% -- 'question' is a custom command for writing the statement of a problem; first argument +% is the question number, second argument is the statement -- +\newcommand{\question}[2]{\begin{framed}\noindent \textbf{#1} #2\end{framed}} +\newcommand{\withbraces}[1]{\left( #1 \right)} + +% -- Flush left for 'enumerate' numbers +%\setlist[enumerate]{wide=0pt, leftmargin=21pt, labelwidth=0pt, align=left} + +\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta} + +% -- Make reference section title font smaller -- +%\renewcommand{\refname}{\normalsize\bf{References}} + + +% -- Uncomment these lines to set font to 'Charter', with math support -- +% \usepackage[bitstream-charter]{mathdesign} +% \usepackage[T1]{fontenc} + + +% -- Left/right header text and footer (to appear on every page) -- +\pagestyle{fancy} +\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} +\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} +\lhead{sol 0923} +\rhead{Шарафатдинов Камиль БПМИ192} + +% -- Document starts here -- +\begin{document} +\question{13.b}{ + Доказать, что $\displaystyle + \lim_{n\to\infty}{ + \left(\frac{1^p + 2^p + \ldots + n^p}{n^p} - + \frac{n}{p + 1}\right) + } = \frac{1}{2}$ +} + +$$ +\frac{1^p + 2^p + \ldots + n^p}{n^p} - +\frac{n}{p + 1} = +\frac{(1^p + 2^p + \ldots + n^p)(p + 1) - n^{p + 1}} + {(p + 1)n^p} +$$ + +Так как $(p + 1)n^p$ неограниченно строго возрастает, то мы можем применить теорему Штольца: +\begin{align*} +&\lim_{n\to\infty}{ + \left(\frac{1^p + 2^p + \ldots + n^p}{n^p} - + \frac{n}{p + 1}\right) +} =\\ +&\lim_{n\to\infty}{ + \left(\frac{ + \left(\sum_1^{(n)}{(i^p)}\right)(p + 1) - n^{p + 1} - + \left(\sum_1^{(n - 1)}{(i^p)}\right)(p + 1) + (n - 1)^{p + 1} + } + {(p + 1)n^p - (p + 1)(n - 1)^p}\right) +} =\\ +&\lim_{n\to\infty}{ + \left(\frac{ + (p + 1)\left(\sum_1^{(n)}{(i^p)} - \sum_1^{(n - 1)}{(i^p)}\right) - n^{p + 1} + + (n - 1)^{p + 1} + } + {(p + 1)(n^p - (n - 1)^p)}\right) +} =\\ +&\lim_{n\to\infty}{ + \left(\frac{(p + 1)n^p - n^{p + 1} + (n - 1)^{p + 1}} + {(p + 1)(n^p - (n - 1)^p)}\right) +} =\\ +&\lim_{n\to\infty}{ + \left(\frac{(p + 1)n^p - (p + 1)n^p + \frac{p(p + 1)}{2}n^{p - 1} + C_{p + 1}^3 n^{p - 2} + \ldots} + {(p + 1)(n^p - (n - 1)^p)}\right) +} =\\ +&\lim_{n\to\infty}{ + \left(\frac{\frac{p(p + 1)}{2}n^{p - 1} + C_{p + 1}^3 n^{p - 2} + \ldots} + {(p + 1)(n^p - (n - 1)^p)}\right) +} =\\ +&\lim_{n\to\infty}{ + \left(\frac{\frac{p(p + 1)}{2}n^{p - 1} + C_{p + 1}^3 n^{p - 2} + \ldots} + {(p + 1)(n^p - (n - 1)^p)}\right) +} =\\ +&\lim_{n\to\infty}{ + \left(\frac{\frac{p(p + 1)}{2}n^{p - 1} + C_{p + 1}^3 n^{p - 2} + \ldots} + {(p + 1)(p * n^{p - 1} + C_p^2 n^{p - 2} + \ldots)}\right) +} =\\ +&\lim_{n\to\infty}{ + \left(\frac{\frac{p(p + 1)}{2}n^{p - 1}} + {(p + 1)(p * n^{p - 1})}\right) +} = +\lim_{n\to\infty}{ + \left(\frac{p(p + 1)n^{p - 1}} + {2p(p + 1)n^{p - 1}}\right) +} = \frac{1}{2} +\end{align*} + +\clearpage + +\question{15.}{ + Найти $\displaystyle \lim_{n\to\infty}{ + \underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \ldots + \sqrt{a}}}}_{n} + }$ +} +Докажем, что $\underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \ldots + \sqrt{a}}}}_{n} \leq \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}$ + +Обозначим левую часть за $A_n$ и докажем по индукции. + +База $(n = 1)$: +\begin{align*} +A_1 = \sqrt{a} &\overset{?}{\leq} \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}&\\ + a &\overset{?}{\leq} \frac{1 + 2\sqrt{4a + 1} + 4a + 1}{4}&\\ + 0 &\leq \frac{2 + 2\sqrt{4a + 1}}{4}&\\ +\end{align*} + +Переход: + +Пусть для $n$ - верно, тогда: +\begin{align*} +A_{n+1} = \sqrt{a + A_n} &\overset{?}{\leq} \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}&\\ + \sqrt{a + \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}} &\overset{?}{\leq} \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}&\\ + a + \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2} &\overset{?}{\leq} \frac{1 + 2\sqrt{4a + 1} + 4a + 1}{4}&\\ + \frac{2a + 1 + \sqrt{4a + 1}}{2} &\overset{?}{\leq} \frac{2 + 2\sqrt{4a + 1} + 4a}{4}&\\ + \frac{2a + 1 + \sqrt{4a + 1}}{2} &= \frac{1 + 1\sqrt{4a + 1} + 2a}{2}&&\\ +\end{align*} + +Значит, для $n + 1$ - тоже верно. + +Также, очевидно, последовательность возрастает, поэтому у нее есть предел. + +Перейдем к пределу: +\begin{gather*} + L = \lim_{n\to\infty}\underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \ldots + \sqrt{a}}}}_{n}\\ + L = \sqrt{a + L}\\ + L^2 = a + L\\ + L = \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2} +\end{gather*} + +Предел существует и равен $\frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}$ + +\clearpage + +\question{7.c}{ + Найти $\displaystyle \lim_{n\to\infty}{x_n}$, где + $x_1 = 1;\ x_{n + 1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)$ +} + +Докажем, что $x_2 \geq \sqrt{a}$: +\begin{align*} + \frac{1}{2}\left(1 + \frac{a}{1}\right) &\overset{?}{\geq} \sqrt{a}\\ + a + 1 &\overset{?}{\geq} 2\sqrt{a}\\ + a^2 + 2a + 1 &\overset{?}{\geq} 4a\\ + (a - 1)^2 &\geq 0\\ +\end{align*} + +Теперь докажем, что такая последовательность невозрастает, если ее члены не меньше $\sqrt{a}$, +то есть $x_{n + 1} - x_n \leq 0$ для всех $n > 1$: + +Пусть $x_n = \sqrt{a} + y_n,\ y_n \geq 0$. +\begin{align*} + x_{n + 1} - x_n &= \frac{1}{2}\left(\sqrt{a} + y_n + \frac{a}{\sqrt{a} + y_n}\right) - \sqrt{a} - y_n = \\ + &= \frac{1}{2}\left(\frac{a}{\sqrt{a} + y_n} - \sqrt{a} - y_n\right) =\\ + &= \frac{1}{2}\left(\frac{a - \left(\sqrt{a} + y_n\right)^2}{\sqrt{a} + y_n}\right) =\\ + &= \frac{1}{2}\left(\frac{-2ay_n - y_n^2}{\sqrt{a} + y_n}\right) = + -\frac{1}{2}\left(\frac{2ay_n + y_n^2}{\sqrt{a} + y_n}\right) \leq 0 +\end{align*} + +Следовательно, существует конечный предел. Перейдем к пределу: +\begin{gather*} + \lim_{n\to\infty}{x_n} = L\\ + L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{a}{L}\right)\\ + \frac{L}{2} = \frac{a}{2L}\\ + L^2 = a\\ + L = \sqrt{a} +\end{gather*} + +Предел существует и равен $\sqrt{a}$. +\clearpage + +\question{5.d}{ + Найти $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\cos\left(\sqrt{n^2 + \sqrt{n}} - \sqrt{n^2 - \sqrt{n}}\right)$ +} +\begin{align*} + &\lim_{n\to\infty}\cos\left(\sqrt{n^2 + \sqrt{n}} - \sqrt{n^2 - \sqrt{n}}\right) = + \lim_{n\to\infty}\cos\left(\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n^2 + \sqrt{n}} + \sqrt{n^2 - \sqrt{n}}}\right) =\\ + =&\lim_{n\to\infty}\cos\left(\frac{2}{\sqrt{\frac{n^2 + \sqrt{n}}{n}} + \sqrt{\frac{n^2 - \sqrt{n}}{n}}}\right) = + \lim_{n\to\infty}\cos\left(\frac{2}{\sqrt{n + n^{-1/2}} + \sqrt{n - n^{-1/2}}}\right) =\\ + =&\cos(0) = 1 +\end{align*} + +\question{5.h}{ + Найти $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left( + \frac{1}{n^4 + 1} + \frac{1}{n^4 + 2} + \ldots + \frac{1}{n^4 + n^2} + \right)$ +} + +\begin{gather*} + \sum_1^{n^2}\frac{1}{n^4 + n^2} \leq + \frac{1}{n^4 + 1} + \frac{1}{n^4 + 2} + \ldots + \frac{1}{n^4 + n^2} \leq + \sum_1^{n^2}\frac{1}{n^4}\\\\ + \lim_{n\to\infty} \sum_1^{n^2}\frac{1}{n^4} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{n^4} = 0\\ + \lim_{n\to\infty} \sum_1^{n^2}\frac{1}{n^4 + n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{n^4 + n^2} = 0\\ +\end{gather*} + +По теореме о двух полицейских: +\begin{gather*} + \lim_{n\to\infty}\left( + \frac{1}{n^4 + 1} + \frac{1}{n^4 + 2} + \ldots + \frac{1}{n^4 + n^2} + \right) = 0 +\end{gather*} + +\question{5.l}{ + Найти $\displaystyle \lim_{n\to\infty} + \frac{3\sqrt[n]{n^4} + \sqrt[n]{n^2} - 1} + {2\sqrt[n]{n^2} - \sqrt[n]{n} - 1}$ +} + +\begin{gather*} + \lim_{n\to\infty}\withbraces{ 3\sqrt[n]{n^4} + \sqrt[n]{n^2} - 1 } = + \lim_{n\to\infty}\withbraces{ 3\sqrt[n]{n}^4 + \sqrt[n]{n}^2 - 1 } = 3\\ + \lim_{n\to\infty}\withbraces{ 2\sqrt[n]{n^2} - \sqrt[n]{n} - 1 } = + \lim_{n\to\infty}\withbraces{ 2\sqrt[n]{n}^2 - \sqrt[n]{n} - 1 } = 0 +\end{gather*} + +То есть по определению числитель сколь угодно близок к $3$, а знаменатель сколь угодно близок к $0$. Поэтому +\[ + \lim_{n\to\infty} + \frac{3\sqrt[n]{n^4} + \sqrt[n]{n^2} - 1} + {2\sqrt[n]{n^2} - \sqrt[n]{n} - 1} = +\infty +\] + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/sol0930.tex b/sol0930.tex new file mode 100644 index 0000000..1f580b6 --- /dev/null +++ b/sol0930.tex @@ -0,0 +1,227 @@ +% -- LaTeX Template for Homework (S. Venkatraman) -- + +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian]{babel} + + +\usepackage{ + amsmath, amsthm, amssymb, mathtools, + graphicx, subfig, float, + listings, color, inconsolata, + fancyhdr, sectsty, hyperref, enumerate, framed } +\usepackage[shortlabels]{enumitem} + +\flushbottom % Uncomment to make text fill the entire page +\usepackage[bottom]{footmisc} % Anchor footnotes to bottom of page +\renewcommand{\baselinestretch}{1.06} % Adjust line spacing +%\setlength\parindent{0pt} % Remove paragraph indentation +\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper, % Set page margins + left=1.35in, right=1.35in, + top=1.1in, bottom=1in, + headsep=.2in } + +% -- Frame settings (for problem statement) -- +\setlength\FrameSep{0.55em} +\setlength\OuterFrameSep{\partopsep} + +% -- 'question' is a custom command for writing the statement of a problem; first argument +% is the question number, second argument is the statement -- +\newcommand{\question}[2]{\begin{framed}\noindent \textbf{#1} #2\end{framed}} +\newcommand{\withbraces}[1]{\left( #1 \right)} +\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil} +\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor} + +% -- Flush left for 'enumerate' numbers +%\setlist[enumerate]{wide=0pt, leftmargin=21pt, labelwidth=0pt, align=left} + +\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta} + +% -- Make reference section title font smaller -- +%\renewcommand{\refname}{\normalsize\bf{References}} + + +% -- Uncomment these lines to set font to 'Charter', with math support -- +% \usepackage[bitstream-charter]{mathdesign} +% \usepackage[T1]{fontenc} + + +% -- Left/right header text and footer (to appear on every page) -- +\pagestyle{fancy} +\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} +\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} +\lhead{sol 0930} +\rhead{Шарафатдинов Камиль БПМИ192} + +% -- Document starts here -- +\begin{document} +\question{18.a}{ + Доказать, что $\displaystyle \exists + \lim_{n\to\infty}{ + \left(\frac{\cos 1}{3} + \frac{\cos 2}{3^2} + \ldots + \frac{\cos n}{3^n}\right) + }$ +} + +Пусть $m > n$. +\begin{gather*} +|a_m - a_n| = \left| + \frac{\cos (n)}{3^n} + + \frac{\cos (n + 1)}{3^{n + 1}} + + \ldots + + \frac{\cos m}{3^m} + \right| + <\\ + < + \frac{1}{3^n} + + \frac{1}{3^{n + 1}} + + \ldots + + \frac{1}{3^m} + < + \frac{1}{3^n} \cdot \frac{3}{2} < \frac{1}{3^{n - 1}} +\end{gather*} + +Чтобы выполнялось $\epsilon > a_m - a_n, (m, n > N)$: +$$ + \epsilon > \frac{1}{3^{n - 1}} \implies + \frac{1}{\epsilon} < 3^{n - 1} \implies + \log_3{\frac{1}{\epsilon}} < n - 1 \implies + N > \left\lceil \log_3{\frac{1}{\epsilon}} \right\rceil + 1 +$$ +По определению: +\begin{gather*} +\forall \epsilon > 0\ \ \ N = \left\lceil \log_3{\frac{1}{\epsilon}} \right\rceil + 1 + 1\\ + \forall m > n > N\ \ \ \left\lceil \log_3{\frac{1}{\epsilon}} \right\rceil + 2 < N < n < m \\ + \frac{1}{\epsilon} < 3^{n - 1} \implies \epsilon > \frac{1}{3^{n - 1}} > a_m - a_n = |a_m - a_n| +\end{gather*} + +Значит, по критерию Коши последовательность сходится + +\question{18.c}{ + Доказать, что $\displaystyle \exists + \lim_{n\to\infty}{ + \left(\frac{\cos 1!}{1 \cdot 2} + \frac{\cos 2!}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{\cos n!}{n (n + 1)}\right) + }$ +} +Пусть $m > n$. +\begin{align*} +|a_m - a_n| &= \left| + \frac{\cos n!}{n (n + 1)} + + \frac{\cos (n + 1)!}{(n + 1)(n + 2)} + + \ldots + + \frac{\cos m!}{m (m + 1)} + \right| + <\\ + &< + \frac{1}{n (n + 1)} + + \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} + + \ldots + + \frac{1}{m (m + 1)} + =\\ + &= + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} + \ldots + \frac{1}{m} - \frac{1}{m + 1} + =\\ + &= + \frac{1}{n} - \frac{1}{m + 1} < \frac{1}{n} +\end{align*} + +\begin{gather*} +\forall \epsilon > 0\ \ \ N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil + 1 \\ + \forall m > n > N\ \ \ \frac{1}{\epsilon} < N < n < m \\ + \epsilon > \frac{1}{n} > \frac{1}{n} - \frac{1}{m + 1} > \ldots > |a_m - a_n| +\end{gather*} + +Значит, по критерию Коши последовательность сходится + +\clearpage + +\question{19.a}{ + Найти частичные пределы $\displaystyle + a_n = (-1)^n \cdot 2 + \frac{2}{n + 1} + $ +} + +\begin{align*} + a_{2k} = 2 + \frac{2}{2k + 1} &\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k} = 2\\\\ + a_{2k + 1} = -2 + \frac{2}{2k + 2} &\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k + 1} = -2\\ +\end{align*} + +Частичными пределами будут $-2$ и $2$. +Так как это все элементы последовательности, то больше частичных пределов нет. + +\question{19.b}{ + Найти частичные пределы $\displaystyle + a_n = \frac{ + n \cos {\frac{\pi n}{2}} + 1 + }{ + (-1)^n \cdot n^2 + 2 + } + $ +} + +\begin{align*} + a_{4k} = \frac{n + 1}{n^2 + 2} &\qquad \lim a_{4k} = 0\\\\ + a_{4k + 1} = \frac{1}{-n^2 + 2} &\qquad \lim a_{4k} = 0\\\\ + a_{4k + 2} = \frac{-n + 1}{n^2 + 2} &\qquad \lim a_{4k} = 0\\\\ + a_{4k + 3} = \frac{1}{-n^2 + 2} &\qquad \lim a_{4k} = 0\\ +\end{align*} + +Все частичные пределы равны $0$. + +\clearpage + +\question{20}{ + Найти верхний и нижний пределы + \begin{enumerate}[(a)] + \item $\displaystyle a_n = \left( 2 + (-1)^n \right)n$ + \item $\displaystyle b_n = \sqrt[n]{ 1 + 2^{n \cdot (-1)^n} }$ + \end{enumerate} +} + +\begin{enumerate}[(a)] + \item { + \begin{align*} + a_{2k} = 3n &\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k} = +\infty\\ + a_{2k + 1} = n &\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k + 1} = +\infty\\ + \end{align*} + \text{Поэтому} $\displaystyle \varliminf_{n\to\infty} a_n = \varlimsup_{n\to\infty} a_n = +\infty$ + } + \item { + \begin{align*} + b_{2k} = \sqrt[n]{1 + 2^n} &\qquad \lim_{k\to\infty} b_{2k} = \lim_{k\to\infty} 2^{\frac{n}{n}} = 1\\ + b_{2k + 1} = \sqrt[n]{1 + \frac{1}{2^n}} &\qquad \lim_{k\to\infty} b_{2k + 1} = 1\\ + \end{align*} + \text{Поэтому} $\displaystyle \varliminf_{n\to\infty} b_n = \varlimsup_{n\to\infty} b_n = 1$ + } +\end{enumerate} + +\question{21}{ + \begin{enumerate}[(a)] + \item $a_n = n$ + \item $b_n = n^{(-1)^n} = \left\{ 1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4},\ \ldots \right\}$ + \item $C = \{ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \ \ldots \}$ + \item { + \text{Пусть} $X_{n, k} = n + C_k$, \qquad + $Y = \{ X_{0, 1}, X_{0, 2}, X_{1, 1}, X_{0, 3}, X_{1, 2}, X_{2, 1}, \ \ldots \}$, \\ + тогда $D = \{Y_1, -Y_1, Y_2, -Y_2, \ \ldots\}$ + } + \end{enumerate} +} + +\begin{enumerate}[(a)] + \item $a_n$ очевидно имеет ровно один частичный предел $+\infty$ + \item $b_n$ имеет два частичных предела: $0$ и $+\infty$. + \item любое действительное число из отрезка $[0; 1]$ -- частичный предел $C$ + \item { + любое иррациональное число из отрезка $[n; n + 1]$ -- частичный предел $X_n$, \\ + поэтому любое иррациональное число из $\mathbb{R}_+$ -- частичный предел $Y$, \\ + поэтому любое иррациональное число -- частичный предел $D$. + } +\end{enumerate} + + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/sol1028.tex b/sol1028.tex new file mode 100644 index 0000000..ddfd9df --- /dev/null +++ b/sol1028.tex @@ -0,0 +1,509 @@ +\documentclass[11pt]{article} +%\usepackage[T2A]{fontenc} +%\usepackage[utf8]{inputenc} +%\usepackage[russian]{babel} + +\usepackage[sfdefault,condensed,scaled=0.8]{roboto} +\usepackage{inconsolata} +\setmonofont[Scale=0.85]{Inconsolata} + +\setlength\headheight{13.6pt} + +\usepackage{ + amsmath, amsthm, amssymb, mathtools, + graphicx, subfig, float, + listings, xcolor, + fancyhdr, sectsty, hyperref, enumerate, framed, + comment +} +\usepackage[shortlabels]{enumitem} + +\flushbottom % Uncomment to make text fill the entire page +\usepackage[bottom]{footmisc} % Anchor footnotes to bottom of page +\renewcommand{\baselinestretch}{1.06} % Adjust line spacing +%\setlength\parindent{0pt} % Remove paragraph indentation +\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper, % Set page margins + left=1in, right=1in, + top=0.8in, bottom=0.9in, + headsep=.1in +} + + +\setlength\FrameSep{0.75em} +\setlength\OuterFrameSep{\partopsep} + +\newenvironment{cframed}[1][gray] + {\def\FrameCommand{\fboxsep=\FrameSep\fcolorbox{#1}{white}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}} + {\endMakeFramed} + +\newcommand{\question}[2]{\doubleskip\begin{cframed}\noindent \textbf{#1} #2\end{cframed}} +\newcommand{\withbraces}[1]{\left( #1 \right)} + +\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil} +\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor} + +\DeclareMathOperator{\tg}{tg} +\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg} + +\newcommand{\sinx}{\sin x} +\newcommand{\cosx}{\cos x} +\newcommand{\tgx}{\tg x} + +\newcommand{\doubleskip}{\bigskip \bigskip} +\newcommand{\osmall}[1]{\overline{o}\left( #1 \right)} + +% -- Flush left for 'enumerate' numbers +%\setlist[enumerate]{wide=0pt, leftmargin=21pt, labelwidth=0pt, align=left} + +\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta} + +% -- Left/right header text and footer (to appear on every page) -- +\pagestyle{fancy} +\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} +\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} +\lhead{\color{gray} \texttt{sol1028}} +\rhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль БПМИ192} +\cfoot{} +\rfoot{\thepage} + + +% -- Here bet dragons -- +\begin{document} + +Здесь \textbf{не} записано: 19bcd, 20b + +\question{9.a}{ + \[ + \lim_{x\to\pi} \frac{\sin{mx}}{\sin{nx}} = (-1)^{m + n} \cdot \frac{m}{n} + \] +} + Пусть $y = \pi - x$ или $x = \pi - y$ + \begin{flalign*} + &\lim_{x \to \pi} \frac{\sin{mx}}{\sin{nx}} = + \lim_{y \to 0} \frac{\sin(m\pi - my)}{\sin(n\pi - ny)} = + \lim_{y \to 0} \frac{\sin(m\pi)\cos(my) - \sin(my)\cos(m\pi)} + {\sin(n\pi)\cos(ny) - \sin(ny)\cos(n\pi)} = \\ + = &\lim_{y \to 0} \frac{\sin(my)\cos(m\pi)}{\sin(ny)\cos(n\pi)} = + \lim_{y \to 0} (-1)^{m + n} \cdot \frac{\sin(my)}{\sin(ny)} = (-1)^{m + n} \cdot \frac{m}{n} + \end{flalign*} + +\question{9.b}{ + \[ + \lim_{x \to 0} \frac{\tg{x}}{x} = 1 + \] +} + + \[ + \lim_{x \to 0} \frac{\tg{x}}{x} = + \lim_{x \to 0} \frac{\sinx}{x\cosx} = + \lim_{x \to 0} 1 \cdot \frac{1}{\cosx} = 1 + \] + + +\question{9.c}{ + \[ + \lim_{x \to 0} x \cdot \sin{\frac{1}{x}} = 0 + \] +} + Так как $x \to 0$, а $\sin{\frac{1}{x}}$ -- ограничен, то $x\sin{\frac{1}{x}}$ стремится к 0. + + +\question{9.d}{ + \[ + \lim_{x \to \infty} \frac + {\withbraces{x - \sqrt{x^2 - 1}} ^ n + \withbraces{x + \sqrt{x^2 - 1}} ^ n} + {x^n} = 2^n + \] +} + + \doubleskip + Лемма 1: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\withbraces{x - \sqrt{x^2 - 1}} ^ n}{x^n} = 0$. + + \[ + \lim_{x \to \infty} \withbraces{\frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{x}}^n = + \lim_{x \to \infty} \withbraces{1 - \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}}^n = + \lim_{x \to \infty} \withbraces{1 - \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}^n = + (1 - 1)^n = 0 + \] + + \doubleskip + Лемма 2: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\withbraces{x + \sqrt{x^2 - 1}} ^ n}{x^n} = 2^n$. + + \[ + \lim_{x \to \infty} \withbraces{\frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{x}}^n = + \lim_{x \to \infty} \withbraces{1 + \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}}^n = + \lim_{x \to \infty} \withbraces{1 + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}^n = + (1 + 1)^n = 2^n + \] + + \doubleskip + + По свойству пределов (предел суммы - сумма пределов, если они существуют) и по леммам: + \[ + \lim_{x \to \infty} \frac + {\withbraces{x - \sqrt{x^2 - 1}} ^ n + \withbraces{x + \sqrt{x^2 - 1}} ^ n} + {x^n} = 0 + 2^n = 2^n + \] + + +\question{9.e}{ + \[ + \lim_{x \to 1} \frac{\withbraces{1 - \sqrt{x}} \withbraces{1 - \sqrt[3]{x}} \cdot \ldots \cdot \withbraces{1 - \sqrt[n]{x}}} + {\withbraces{1 - x}^{n - 1}} = \frac{1}{n!} + \] +} + + Заметим, что \[ + t_k = 1 - x = \withbraces{1 - \sqrt[k]{x}} + \withbraces{1 + \sqrt[k]{x} + \sqrt[k]{x}^2 + \ldots + \sqrt[k]{x}^{k - 1}} + \] + + А если $x \to 1$, то в пределе $\displaystyle \lim_{x \to 1} t_k = \withbraces{1 - \sqrt[k]{x}} \cdot k$ + + Тогда + \begin{align*} + &\lim_{x \to 1} \frac{\withbraces{1 - \sqrt{x}} \withbraces{1 - \sqrt[3]{x}} \cdot \ldots \cdot \withbraces{1 - \sqrt[n]{x}}} + {\withbraces{1 - x}^{n - 1}} =\\ + = &\lim_{x \to 1} \frac{1}{n!} \cdot \frac{\withbraces{1 - \sqrt{x}} \withbraces{1 - \sqrt[3]{x}} \cdot \ldots \cdot \withbraces{1 - \sqrt[n]{x}}} + {\withbraces{1 - \sqrt{x}} \withbraces{1 - \sqrt[3]{x}} \cdot \ldots \cdot \withbraces{1 - \sqrt[n]{x}}} = \frac{1}{n!} + \end{align*} + +\begin{comment} +\question{10.a}{ + \[ + \lim_{x \to \infty} + \left( + \sqrt[n]{(x - a_1)(x - a_2) \cdot \ldots \cdot (x - a_n)} - x + \right) + = 0 + \] +} + + Пусть $A_k$ - сумма всевозможных произведений $a_i$, из $k$ членов: + \begin{flalign*} + A_1 &= a_1 + a_2 + \ldots + a_n\\ + A_2 &= a_1a_2 + a_1a_3 + \ldots + a_{n - 1}a_n\\ + \vdots \ \ &\\ + A_n &= a_1a_2\ldots a_n + \end{flalign*} + + Тогда + + \begin{flalign*} + &\lim_{x \to \infty} + \left( + \sqrt[n]{(x - a_1)(x - a_2) \cdot \ldots \cdot (x - a_n)} - x + \right) + =\\ + &\lim_{x \to \infty} x + \left( + \sqrt[n]{\frac{(x - a_1)(x - a_2) \cdot \ldots \cdot (x - a_n)}{x^n}} - 1 + \right) + =\\ + &\lim_{x \to \infty} x + \left( + \sqrt[n]{\frac{x^n - A_1 x^{n - 1} + A_2 x^{n - 2} - \ldots + (-1)^n A_n}{x^n}} - 1 + \right) + =\\ + &\lim_{x \to \infty} x + \left( + \sqrt[n]{\frac{x^n}{x^n} - \frac{A_1 x^{n - 1}}{x^n} + \ldots + \frac{(-1)^n A_n}{x^n}} - 1 + \right) + =\\ + &\lim_{x \to \infty} x + \left( + \sqrt[n]{1 - o(x)} - 1 + \right) + =\\ + &\lim_{x \to \infty} \left( x\sqrt[n]{1 - o(x)} - x \right) = 0 + \end{flalign*} + +\question{10.b}{ + \[ + \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \cosx \cos 2x \cos 3x}{1 - \cosx} + \] +} + + \[ + \cosx \cos 2x \cos 3x = \cosx (2\cos^2 x - 1) (4\cos^3 x - 3\cosx) + \] + + \[ + \frac{1 - \cosx (2\cos^2 x - 1) (4\cos^3 x - 3\cosx)}{1 - \cosx} = + \begin{cases} + 1, \text{если } x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n\\ + \frac{3}{2}, \text{если } x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n + \end{cases} + \] + + Значит, предела не существует. +\end{comment} + +\question{14}{ + \[ + \lim_{x \to a} \withbraces{\frac{1 + x}{2 + x}}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}} + \] +} + + Если $a = 0$, то, очевидно, предел равен $\frac{1}{2}$ + + Если $a = 1$: + \[ + \lim_{x \to 1} \withbraces{\frac{1 + x}{2 + x}}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}} = + \lim_{x \to 1} \withbraces{\frac{1 + x}{2 + x}}^{\frac{1}{1 + \sqrt{x}}} = + \withbraces{\frac{2}{3}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{3}} + \] + + Если $a = +\infty$: + \begin{align*} + &\lim_{x \to \infty} \withbraces{\frac{1 + x}{2 + x}}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}} = + \lim_{x \to \infty} \withbraces{1 - \frac{1}{2 + x}}^{\frac{1}{1 + \sqrt{x}}} =\\ + &\lim_{x \to \infty} \withbraces{1 - \frac{1}{2 + x}}^{\frac{1}{1 + \sqrt{x}}} = + \lim_{x \to \infty} e^{- \frac{1}{2 + x} \frac{1}{1 + \sqrt{x}}} = e^0 = 1 + \end{align*} + + +\question{15.a}{ + \[ + \lim_{n \to \infty} \left(\cos{\frac{x}{\sqrt{n}}}\right)^n = ?? + \] +} + + \[ + \lim_{n \to \infty} \left(\cos{\frac{x}{\sqrt{n}}}\right)^n = + \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{x^2}{2n} + \overline{o}\left(\frac{x^2}{n}\right)\right)^n = + e^{-\frac{x^2}{2}} + \] + + +\question{15.b}{ + \[ + \lim_{x \to 0} \sqrt[x]{1 - 2x} = \frac{1}{e^2} + \] +} + + $y = 1/x$ + \[ + \lim_{x \to 0} \sqrt[x]{1 - 2x} = \lim_{y \to \infty} \withbraces{1 - \frac{2}{y}}^y = e^{-2} = \frac{1}{e^2} + \] + +\question{15.c}{ + \[ + \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \left(\tg x\right)^{\tg 2x} = e^{-1} + \] +} + + Пусть $y + 1 = \tg x$, \qquad $\displaystyle z = \frac{1}{y} = \frac{1}{\tg x - 1}$, \qquad $y \to 0$, $z \to \infty$. + \begin{align*} + &\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \left(\tg x\right)^{\tg 2x} = + \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \left(1 + y\right)^{\frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x}} = + \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \left(1 + y\right)^{\frac{2(y + 1)}{1 - (y + 1)^2}} = + \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \left(1 + y\right)^{-\frac{2(y + 1)}{y(y + 2)}} =\\ + = &\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \left(\left(1 + \frac{1}{z}\right)^z\right)^{-\frac{2(y + 1)}{(y + 2)}} = + \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \exp\left(-\frac{2(y + 1)}{y + 2}\right) = + \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \exp{\left(-\frac{2\osmall{1} + 2}{\osmall{1} + 2}\right)} = + e^{-1} + \end{align*} + + +\question{15.d}{ + \[ + \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tg x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^3} = \frac{1}{4} + \] +} + \begin{align*} + &\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tg x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^3} = + \lim_{x \to 0} \frac{1 + \tg x - 1 - \sin x}{x^3 \left(\sqrt{1 + \tg x} + \sqrt{1 + \sin x}\right)} =\\ + = &\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \left( \frac{1}{\cosx} - 1 \right)}{x^3 \left(\sqrt{1 + \tg x} + \sqrt{1 + \sin x}\right)} = + \lim_{x \to 0} \frac{\sinx}{x} \frac{1 - \cosx}{x^2 \cosx \left(\sqrt{1 + \tg x} + \sqrt{1 + \sin x}\right)} =\\ + = &\lim_{x \to 0} \frac{\sinx}{x} \frac{1 - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \overline{o}\withbraces{x^2}\right)}{x^2 \cosx \left(\sqrt{1 + \tg x} + \sqrt{1 + \sin x}\right)} = + \lim_{x \to 0} \frac{\sinx}{x} \frac{x^2 + 2\overline{o}\withbraces{x^2}}{2x^2 \cosx \left(\sqrt{1 + \tg x} + \sqrt{1 + \sin x}\right)} =\\ + = &1 \cdot \frac{1}{2 \cdot 1 \cdot (1 + 1)} = \frac{1}{4} + \end{align*} + +\question{15.e}{ + \[ + \lim_{x \to \infty} \sin \sqrt{x + 1} - \sin \sqrt{x} = 0 + \] +} + + \[ + \sin \sqrt{x + 1} - \sin \sqrt{x} = + 2\cos \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}{2} \sin \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}}{2} + \] + \[ + \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} = + (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}) \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} = + \frac{x + 1 - x}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} = + \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} + \] + + \[ + \lim_{x \to \infty} \sin \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}}{2} = + \lim_{x \to \infty} \sin \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}}{2} = \sin\frac{0}{2} = 0 + \] + + Так как $\cos \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}{2}$ ограничен, а $\sin \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}}{2}$ стремится к $0$, то их произведение также стремится к $0$. + + +\question{15.f}{ + \[ + \lim_{x \to \infty} x \left(\ln (x + 1) - \ln x\right) = 1 + \] +} + + \[ + \lim_{x \to \infty} x \left(\ln (x + 1) - \ln x\right) = + \lim_{x \to \infty} x \ln \frac{x + 1}{x} = + \lim_{x \to \infty} \ln \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right) = \ln e = 1 + \] + + +\question{16.a}{ + \[ + \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{a^x} = 0, \qquad \text{где } a > 1, n \in \mathbb{N} + \] +} + + \[ + \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = + \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{\frac{n}{x}}\right)^n = + \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{\frac{n}{x}}\right)^{n \frac{x}{n} \frac{n}{x}} = + \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{\frac{n}{x}}\right)^{\frac{n}{x} x} = + e^x + \] + + По неравенству Бернулли: $\displaystyle \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \geq 1 + n \frac{x}{n} = 1 + x$. + Поэтому $e^x \geq 1 + x$ + + \begin{align*} + &\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{\left(e^{\ln a}\right)^x} = + \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{\left(e^{\frac{x \ln a}{2n}}\right)^{2n}} = + \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{\left(1 + \frac{x \ln a}{2n}\right)^{2n}} = + \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{\left(1 + \frac{x \ln a}{2n}\right)^{2}}\right)^n =\\ + &\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{1 + \frac{x \ln a}{n} + \frac{(x \ln a)^2}{4n^2}}\right)^n = + \lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{\ln a}{n} + \frac{x \ln^2 a}{4n^2}}\right)^n = 0 + \end{align*} + +\question{16.b}{ + \[ + \lim_{x \to \infty} \frac{\log_a x}{x^\varepsilon} = 0, \qquad a, \varepsilon > 0, a \neq 1 + \] +} + + Пусть $y = \ln x$ + + \[ + \lim_{x \to \infty} \frac{\log_a x}{x^\varepsilon} = + \frac{1}{\ln a}\ \ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^\varepsilon} = + \frac{1}{\ln a}\ \ \lim_{y \to \infty} \frac{y}{e^{\ln \left(x^\varepsilon\right)}} = + \frac{1}{\ln a}\ \ \lim_{y \to \infty} \frac{y}{e^{by}} + \] + + По \textbf{16.a}: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{bx}} = 0$, поэтому + \[ + \frac{1}{\ln a}\ \ \lim_{y \to \infty} \frac{y}{e^{by}} = + \frac{1}{\ln a} \cdot 0 = 0 + \] + +\question{17.a}{ + \[ + \lim_{x \to 0} x \ln x = 0 + \] +} + + Пусть $y = \frac{1}{x}$ + \[ + \lim_{x \to 0} x \ln x = + \lim_{y \to \infty} \frac{\ln{\frac{1}{y}}}{y} = + \lim_{y \to \infty} \frac{\ln 1 - \ln y}{y} = + \lim_{y \to \infty} -\frac{\ln y}{y} \quad \overset{\text{по \textbf{16.b}}}{=} \quad -0 = 0 + \] + +\question{17.b}{ + \[ + \lim_{x \to 1} (1 - x) \log_x 2 = -\ln 2 + \] +} + + \[ + \lim_{x \to 1} (1 - x) \log_x 2 = + \lim_{x \to 1} (1 - x) \frac{\ln 2}{\ln x} = + \ln 2 \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{\ln x} + \] + + Пусть $t = 1 - x$. \qquad $t \to 0$ + \[ + \ln 2 \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{\ln x} = + \ln 2 \lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln (1 - t)} = + \ln 2 \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{1}{t} \ln (1 - t)} = + \ln 2 \lim_{t \to 0} \frac{1}{\ln (1 - t)^{\frac{1}{t}}} + \] + + Пусть $u = t^{-1}$. \qquad $u \to \infty$ + \[ + \ln 2 \lim_{t \to 0} \frac{1}{\ln (1 - t)^{\frac{1}{t}}} = + \ln 2 \lim_{u \to \infty} \frac{1}{\ln (1 - \frac{1}{u})^u} = + \ln (2) \cdot \frac{1}{-1} = -\ln 2 + \] + +\question{19.a}{ + \[ + \lim_{x \to 0} \frac{\tg x - \sin x}{\sin^3 x} = \frac{1}{2} + \] +} + + \begin{align*} + &\lim_{x \to 0} \frac{\tg x - \sin x}{\sin^3 x} = + \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right)}{\sin^3 x} = + \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - \cos x}{\cos x}}{\sin^2 x} =\\\\ + = &\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\cos x (1 - \cos^2 x)} = + \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x (1 + \cos x)} = + \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2} + \end{align*} + + +\question{20.a}{ + \[ + \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - \cos x^2}}{1 - \cos x} = \sqrt{2} + \] +} + \begin{align*} + &\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - \cos x^2}}{1 - \cos x} = + \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - (1 - \frac{x^4}{2} + \osmall{x^4})}}{1 - (1 - \frac{x^2}{2} + \osmall{x^2})} = + \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\frac{x^4}{2} - \osmall{x^4}}}{\frac{x^2}{2} - \osmall{x^2}} =\\ + = &\lim_{x \to 0} \sqrt{ \frac{\frac{x^4}{2} - \osmall{x^4}}{\frac{x^4}{4} - x^2\osmall{x^2} + \osmall{x^4}} } = + \lim_{x \to 0} \sqrt{ \frac{\frac{x^4}{2}}{\frac{x^4}{4} - x^2\osmall{x^2} + \osmall{x^4}} } = \sqrt{2} + \end{align*} + + +%\question{20.b}{ +% \[ +% \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{\cos x}}{1 - \cos{\sqrt{x}}} = ?? +% \] +%} + +% \[ +% \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{\cos x}}{1 - \cos{\sqrt{x}}} = +% \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1 - \frac{x^2}{2} + \osmall{x^2}}}{1 - \left(1 - \frac{x}{2} + \osmall{x}\right)} = +% \] + +\question{21.b}{ + \[ + \lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x^2 - x + 1}{2x^2 + x + 1}\right)^{\frac{x^2}{1 - x}} = e + \] +} + \begin{align*} + &\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x^2 - x + 1}{2x^2 + x + 1}\right)^{\frac{x^2}{1 - x}} = + \lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2x}{2x^2 + x + 1}\right)^{-\frac{x^2}{x - 1}} = + \lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2x}}\right)^{-\frac{x^2}{x - 1}} =\\ + &\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2x}}\right)^ + {-\frac{x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2x}}{x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2x}}\frac{x^2}{x - 1}} = + \lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2x}}\frac{x^2}{x - 1}} = + \lim_{x \to \infty} \exp\left({\frac{1}{x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2x}}\frac{x^2}{x - 1}}\right) =\\ + &\lim_{x \to \infty} \exp\left({\frac{x^2}{\left(x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2x}\right)(x - 1)}}\right) = + \lim_{x \to \infty} \exp\left({\frac{x^2}{x^2 - \frac{x}{2} - \frac{1}{2x}}}\right) = e + \end{align*} + +\end{document} diff --git a/sol1111.tex b/sol1111.tex new file mode 100644 index 0000000..d72a916 --- /dev/null +++ b/sol1111.tex @@ -0,0 +1,462 @@ +\documentclass[11pt]{article} +%\usepackage[T2A]{fontenc} +%\usepackage[utf8]{inputenc} +%\usepackage[russian]{babel} +\usepackage{scrextend} + +\usepackage[sfdefault,condensed,scaled=0.8]{roboto} +\usepackage{inconsolata} +\setmonofont[Scale=0.85]{Inconsolata} + +\setlength\headheight{13.6pt} + +\usepackage{ + amsmath, amsthm, amssymb, mathtools, + graphicx, subfig, float, + listings, xcolor, + fancyhdr, sectsty, hyperref, enumerate, framed, + comment +} +\usepackage[shortlabels]{enumitem} + +\flushbottom % Uncomment to make text fill the entire page +\usepackage[bottom]{footmisc} % Anchor footnotes to bottom of page +\renewcommand{\baselinestretch}{1.06} % Adjust line spacing +%\setlength\parindent{0pt} % Remove paragraph indentation +\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper, % Set page margins + left=1in, right=1in, + top=0.8in, bottom=0.9in, + headsep=.1in +} + + +\setlength\FrameSep{0.75em} +\setlength\OuterFrameSep{\partopsep} + +\newenvironment{cframed}[1][gray] + {\def\FrameCommand{\fboxsep=\FrameSep\fcolorbox{#1}{white}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}} + {\endMakeFramed} + +\newcommand{\question}[2]{\doubleskip\begin{cframed}\noindent \textbf{#1} #2\end{cframed}} +\newcommand{\withbraces}[1]{\left( #1 \right)} + +\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil} +\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor} + +\DeclareMathOperator{\tg}{tg} +\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg} +\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg} +\DeclareMathOperator{\const}{const} +\DeclareMathOperator{\sign}{sign} + +\newcommand{\sinx}{\sin x} +\newcommand{\cosx}{\cos x} +\newcommand{\tgx}{\tg x} + +\newcommand{\doubleskip}{\bigskip \bigskip} +\newcommand{\osmall}[1]{\overline{o}\left( #1 \right)} + +% -- Flush left for 'enumerate' numbers +%\setlist[enumerate]{wide=0pt, leftmargin=21pt, labelwidth=0pt, align=left} + +\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta} + +% -- Left/right header text and footer (to appear on every page) -- +\pagestyle{fancy} +\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} +\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} +\lhead{\color{gray} \texttt{sol1111}} +\rhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль БПМИ192} +\cfoot{} +\rfoot{\thepage} + + +% -- Here bet dragons -- +\begin{document} + +\question{2}{ + \begin{align*} + &x \to 0,\ m > n > 0:\\ + &\qquad O(x^n) + O(x^m) = O(x^n), \qquad O(x^n)O(x^m) = O(x^{n + m}) + \end{align*} +} + + По определению: + \[ + \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_n(x)}{x^n} \right| = A_n < \infty, \qquad \qquad + \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_m(x)}{x^m} \right| = A_m < \infty, \qquad \qquad + \] + + \begin{align*} + 0 &\leq \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_n(x) + \varphi_m(x)}{x^n} \right| \\ + &\leq \varlimsup_{x \to 0} \left( \left| \frac{\varphi_n(x)}{x^n} \right| + + \left| \frac{\varphi_m(x)}{x^n} \right| \right)\\ + &\leq + A_n + \varlimsup_{x \to 0} \left| x^{m - n}\frac{\varphi_m(x)}{x^m} \right|\\ + &\leq A_n + \varlimsup_{x \to 0} \left|x^{m - n}\right| \cdot + \varlimsup_{x \to 0} \left|\frac{\varphi_m(x)}{x^m}\right|\\ + &= A_n + 0 \cdot A_m = A_n < +\infty + \end{align*} + \qed + + \begin{align*} + 0 &\leq \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_n(x) \varphi_m(x)}{x^{n + m}} \right|\\ + &\leq \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_n(x)}{x^n} \right| \cdot + \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_m(x)}{x^m} \right|\\ + &= A_n A_m < +\infty + \end{align*} + \qed + +\question{11a}{ + \[ + x \to \infty, \qquad \frac{x + 1}{x^4 + 1} + \] +} + + \[ + \frac{x + 1}{x^4 + 1} = \frac{x + 1}{x^4 + \osmall{x}} = + \frac{x}{x^4 + \osmall{x}} + \frac{1}{x^4 + \osmall{x}} = + \frac{1}{x^3 + \osmall{1}} + \osmall{\frac{1}{x^4}} = \frac{1}{x^3} + \osmall{\frac{1}{x^3}} + \] + + Видно, что это бесконечно малая порядка $-3$ от $x$ (потому что $x$ -- не совсем бесконечно малая при $x \to \infty$) + +\question{12a}{ + \[ + x \to 0, \qquad g(x) = \sqrt{2x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \] +} + + \[ + g(x) = \sqrt{2x + \sqrt{\osmall{\sqrt{x}} + \sqrt{x}}} = + \sqrt{2x + \osmall{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[4]{x}} = + \sqrt{\osmall{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[4]{x}} = \osmall{\sqrt[8]{x}} + \sqrt[8]{x} + \] + +\question{17.a}{ + \[ + x \to 0, \qquad \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \sim \sqrt[8]{x} + \] +} + + \begin{gather*} + \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} = + \sqrt{x + \sqrt{\osmall{\sqrt{x}} + \sqrt{x}}} = + \sqrt{x + \osmall{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[4]{x}} =\\ + = \sqrt{\osmall{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[4]{x}} = + \osmall{\sqrt[8]{x}} + \sqrt[8]{x} \sim \sqrt[8]{x} + \end{gather*} + +\question{17.b}{ + \[ + x \to 0, \qquad \arctg \frac{1}{x} = O(1) + \] +} + + На интервале $(1, +\infty)$ $\arctg$ ограничен сверху и снизу $\pi/2$ и $\pi/4$, + поэтому $\arctg \frac{1}{x} = O(1)$ + +\question{17.c}{ + \[ + x \to 0, \qquad \sinh x \sim x + \] +} + + \[ + \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = + \frac{(1 + x + \osmall{x}) - (1 - x + \osmall{x})}{2} = + \frac{2x + \osmall{x}}{2} \sim x + \] + +%\question{17.d}{ +% \[ +% x \to 0, \qquad \cosh x = 1 + \frac{x^2}{2} + \osmall{x} +% \] +%} + +% \[ +% \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = +% \] + +\question{18.a}{ + \[ + x^3 - 3x + 2 + \] +} + + \[ + x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^3 + 3x^2 - 6x + 3 = (x - 1)^3 + 3(x - 1)^2 = + 3(x - 1)^2 + \osmall{(x - 1)^2} + \] + + У этой функции порядок малости 2 относительно (x - 1) + +\clearpage + +%\question{18.b}{ +% \[ +% \sqrt[3]{1 - \sqrt{x}} +% \] +%} +% \[ +% \sqrt[3]{1 - \sqrt{x}} = +% \sqrt[3]{1 - \sqrt{x - 1 + 1}} = +% \] + +\question{18.c}{ + \[ + \ln x + \] +} + + \[ + \ln x = \ln (x - 1 + 1) = x - 1 + \osmall{x - 1} + \] + + $\ln x$ и $x - 1$ -- малые одного порядка + +\question{18.d}{ + \[ + e^x - e + \] +} + + \[ + e^x - e = e (e^{x - 1} - 1) = e (1 + (x - 1) + \osmall(x - 1) - 1) = + e (x - 1) + e\osmall(x - 1) \sim e(x - 1) + \] + + $x - 1$ и $e(x - 1)$ -- малые одного порядка + +\question{19.a}{ + \[ + \frac{x^2}{x^2 - 1} + \] +} + \begin{gather*} + \frac{x^2}{x^2 - 1} = + 1 + \frac{1}{x^2 - 1} = + \osmall{\frac{1}{x - 1}} +\frac{1}{(x - 1)^2 + 2x - 2} =\\\\ + \osmall{\frac{1}{x - 1}} +\frac{1}{(x - 1)^2 + \osmall{(x - 1)^2}} \sim + \frac{1}{(x - 1)^2} + \end{gather*} + + Это бесконечно малая 2 порядка относительно $\displaystyle \frac{1}{x - 1}$ + +\question{19.b}{ + \[ + \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} + \] +} + \[ + \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} = + \sqrt{\frac{2 + x - 1}{1 - x}} = + \sqrt{-1 + \frac{2}{1 - x}} = + \osmall{\sqrt{\frac{1}{1 - x}}} + \sqrt{\frac{2}{1 - x}} \sim + \sqrt{\frac{1}{1 - x}} + \] + + Это бесконечно малая порядка $\frac{1}{2}$ относительно $\frac{1}{x - 1}$ + +\clearpage + +\question{19.c}{ + \[ + \frac{x}{\sqrt[3]{1 - x^3}} = + \] +} + \begin{gather*} + \sqrt[3]{1 - x^3} = + \sqrt[3]{(1 - x)^3 - 3x + 3x^2} = + \sqrt[3]{(1 - x)^3 + 3( (x - 1)^2 + (x - 1) )} =\\= + \sqrt[3]{(1 - x)^3 + \osmall{(1 - x)^3}} = + 1 - x + \osmall{1 - x} + \end{gather*} + \begin{gather*} + \frac{x}{1 - x + \osmall{1 - x}} = + -1 + \osmall{1} + \frac{1}{1 - x + \osmall{1 - x}} \sim \frac{1}{1 - x} + \end{gather*} + + Это бесконечно малая того же порядка + +\question{19.d}{ + \[ + \frac{\ln x}{(1 - x)^2} + \] +} + \[ + \frac{\ln x}{(1 - x)^2} = + \frac{x - 1 + \osmall{x}}{(1 - x)^2} \sim + -\frac{1}{(1 - x)} + \] + + Это бесконечно малая того же порядка +\clearpage + +\question{Лемма}{ + Некоторые свойства непрерывных функций + \begin{enumerate} + \item $h(x) = x$ непрерывна в $\mathbb{R}$ + \item $h(x) = \sin x$ непрерывна в $\mathbb{R}$ + \item $h = Cf(x)$ непрерывна, если $f(x)$ непрерывна в точке и $C = \const$ + \item $h = f(x) + g(x)$ непрерывна, если $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке + \item $h = f(x)g(x)$ непрерывна, если $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке + \item $h = \frac{f(x)}{g(x)}$ непрерывна, если $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке и + $g(a) \neq 0$ + \end{enumerate} +} + + Доказательства сразу следуют из свойств пределов + \begin{addmargin}[2em]{0pt} + \begin{enumerate} + \item $\displaystyle + \lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} x = a \qed$ + \item Справа: $\displaystyle |x - a| < \varepsilon \Rightarrow \sin x - \sin a = 2\sin\frac{x - a}{2}\cos\frac{x + a}{2} \leq 2\sin\frac{x - a}{2} < 2 \frac{x - a}{2} < \varepsilon + $\\ Слева аналогично. + \item $\displaystyle + \lim_{x \to a} h(x) = + \lim_{x \to a} Cf(x) = + C\lim_{x \to a} f(x) = + Cf(a) = h(x)\qed$ + \item $\displaystyle + \lim_{x \to a} h(x) = + \lim_{x \to a} f(x) + g(x) = + \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = + f(a) + g(a) = h(x) \qed$ + \item $\displaystyle + \lim_{x \to a} h(x) = + \lim_{x \to a} f(x)g(x) = + \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) = + f(a)g(a) = h(x) \qed$ + \item $\displaystyle + \lim_{x \to a} h(x) = + \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = + \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} = + \frac{f(a)}{g(a)} = h(x) \qed$ + \end{enumerate} + \end{addmargin} + + \medskip + Дальше классификация разрывов идет так: + \begin{addmargin}[2em]{0pt} + \begin{enumerate}[noitemsep] + \item устранимые, когда функция с обеих сторон стремится к одной и той же точке + \item неустранимые, когда у функции скачок (разные пределы слева и справа) не + \item неустранимые, когда хотя бы с одной из сторон вообще нет предела + \item особняком стоит случай, когда предел уходит в бесконечность + \end{enumerate} + \end{addmargin} + +\question{20.a}{ + \[ + f(x) = \frac{|x - 1|}{x^3 - x^2} + \] +} + \[ + f(x) = \frac{|x - 1|}{x^3 - x^2} = \frac{1}{x^2}\frac{|x - 1|}{x - 1} + \] + + Рассмотрим $f(x)$ отдельно на $(-\infty; 0), \{0\}, (0, 1), \{1\}, (1, +\infty)$ + + На всех интервалах она непрерывна по лемме, поскольку все интервалы входят в ее область определения + + \begin{minipage}{0.45\textwidth} + \begin{align*} + \lim_{x \to 0_+} \frac{1}{x^2} \cdot (-1) = -\infty\\ + \lim_{x \to 0_-} \frac{1}{x^2} \cdot (-1) = +\infty\\ + \end{align*} + \qquad\qquad\qquad Разрыв 4 типа + \end{minipage}% + \hfill + \begin{minipage}{0.45\textwidth} + \begin{tabular}{|p{\textwidth}} + \begin{align*} + \lim_{x \to 1_+} \frac{1}{x^2} \frac{x - 1}{x - 1} = +\infty\\ + \lim_{x \to 1_-} \frac{1}{x^2} \frac{1 - x}{x - 1} = -\infty\\ + \end{align*} + \qquad\qquad\qquad Разрыв 4 типа + \end{tabular} + \end{minipage} + +\question{20.b}{ + \[ + f(x) = \frac{x}{\sin x} + \] +} + + По лемме $f(x)$ непрерывна на $\mathbb{R} \setminus \{\pi n, n \in \mathbb{Z}\}$ + + \[ + \lim_{x \to \pi n} \frac{x}{\sin x} = + \lim_{x \to 0} \frac{x + \pi n}{\sin (x + \pi n)} = + \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} + \frac{\pi n}{\sin x} = + \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 + \] + + $f(x)$ не определена в $\{\pi n, n \in \mathbb{Z}\}$, поэтому разрывы в этих точках устранимые (1 тип) + +\question{20.c}{ + \[ + f(x) = \begin{cases} + x\sin\frac{1}{x}, & x \neq 0\\ + a, & x = 0 + \end{cases} + \] +} + + По лемме $f(x)$ непрерывна при $x \neq 0$ + \begin{gather*} + \lim_{x \to 0_+} x\sin\frac{1}{x} = 0\\ + \lim_{x \to 0_-} x\sin\frac{1}{x} = 0 + \end{gather*} + + Если $a = 0$, то функция непрерывна на $\mathbb{R}$, + иначе - в $0$ есть устранимый разрыв 1 типа + +\question{20.e}{ + \[ + f(x) = \sign(\sin\frac{\pi}{x}) + \] +} + + Синус меняет знак в точках вида $\pi n, n \in \mathbb{Z}$, то есть при $x = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{Z}$. + В интервалах между такими точками $\sign$ -- константа, поэтому непрерывен + + \begin{gather*} + \lim_{x \to \frac{1}{n}_+} \sign(\sin\frac{1}{x}) = (-1)^{n + 1}\\ + \lim_{x \to \frac{1}{n}_-} \sign(\sin\frac{1}{x}) = (-1)^{n} + \end{gather*} + + Разрыв не устранимый, так как пределы сходятся к $+1$ и $-1$. + так как точки разрыва (точки смены знака) находятся сколь угодно близко к $0$, то + предела в $0$ нет, поэтому разрыв 3 типа + +\question{20.f}{ + \[ + f(x) = \begin{cases} + x, &x \in \mathbb{Q}\\ + 0, &x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} + \end{cases} + \] +} + + В любой окресности любого рационального числа лежит бесконечное количество иррациональных чисел, поэтому $f(x)$ разрывна (3 тип) в любой рациональной точке, кроме 0, в котором она непрерывна. + + В любой окресности иррационального числа $r$ лежит бесконечно много рациональных точек, по модулю больших $|r| - \varepsilon$, поэтому в иррациональных точках $f(x)$ тоже имеет разрывы 3 типа в иррациональных точках + +\question{20.g}{ + \[ + f(x) = \begin{cases} + \frac{1}{n}, & x = \frac{m}{n}, \quad (m, n) = 1\\ + 0, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} + \end{cases} + \] +} + + Заметим, что как и в предыдущем пункте f(x) имеет разрывы 3 типа в рациональных точках, кроме $0$. + + Рассмотрим иррациональную точку. В ограниченной её окрестности находится конечное число точек, в которых функция принимает значение 1. И конечное число точек, в которых функция принимает значение 2. И так далее, мы можем стягиванием интервала ограничивать сверху максимум на нем. Поэтому для любого $\varepsilon$ найдется соответствующая $\delta$ и в иррациональной точке предел будет равняться нулю. Как и значение функции в этой точке. + + Поэтому $f(x)$ непрерывна только в иррациональных точках и $0$, а в рациональных без $0$ она имеет разрывы 3 типа. +\end{document} diff --git a/sol1118.tex b/sol1118.tex new file mode 100644 index 0000000..4c12ca2 --- /dev/null +++ b/sol1118.tex @@ -0,0 +1,200 @@ +\documentclass[11pt]{article} +%\usepackage[T2A]{fontenc} +%\usepackage[utf8]{inputenc} +%\usepackage[russian]{babel} + +\usepackage{datetime2} + +\input{intro} + +\lhead{\color{gray} Матанализ} +\rhead{\color{gray} sol1118} + +\makeatletter +\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{% + \hskip -\arraycolsep + \let\@ifnextchar\new@ifnextchar + \array{#1}} +\makeatother + + +\DeclareMathOperator{\chr}{char} + +% -- Here bet dragons -- +\begin{document} + +%\section*{Abstract} + + +\question{2}{ + Сформулировать определение неравномерной непрерывности +} + + Функция $f$ неравномерно непрерывна на $[a, b]$, если она непрерывна на $[a, b]$, но: + \[ + \exists \varepsilon > 0 :\ \ \exists x_1, x_2 :\ \ |x_1 - x_2| < \delta(\varepsilon), \left| f(x_1) - f(x_2) \right| \geq \varepsilon + \] + +\question{6}{ + \[ + f(xy) = f(x)f(y) \Rightarrow f(x) = x^a + \] +} + + \[ + f(1 \cdot 1) = f(1)^2 \Rightarrow f(1)(f(1) - 1) = 0 \Rightarrow + \begin{cases} + f(1) = 0 \Rightarrow f(x) = f(1)f(x) = 0 \Rightarrow f(x) \equiv 0\\ + f(1) = 1 + \end{cases} + \] + + \[ + f(x) = f(x^{\frac{1}{n}})f(x^{\frac{n - 1}{n}}) = \ldots = f(\sqrt[n]{x})^n + \] + + Из предыдущего равенства следует такое: + \[ + \left(f(x^n)\right)^{\frac{1}{n}} = f(x) + \] + + Из двух предыдущих: + \[ + f(x) = f(x^{\frac{m}{n}})^{\frac{n}{m}} + \] + + Так как $f(x)$ - непрерывна, то можем перейти к пределам: + + \[ + \lim_{x \to x_0} f(x_0) = f(x_0^y)^{\frac{1}{y}}, \ \ y \in \mathbb{R} + \] + \[ + \lim_{x \to x_0} f(x_0) = f(x_0^{\log_{x_0}z})^{\log_z x_0} \Rightarrow + f(z) = f(x_0)^{\log_z x_0}, \qquad z \neq 1 + \] + + Примем $x_0$ за $2$. Тогда $f(x_0) = f(2) = 2^a$ для некоторого $a$. + Для 1 мы доказали, что $f(1) = 1$, а для любого $z \neq 1$: + \[ + f(z) = f(2)^{\log_z 2} = 2^{a \log_z 2} = z^a \qed + \] + + Непрерывностью я пользовался для перехода к иррациональным числам и скорее всего она здесь нужна при любом решении. + +\question{7.b}{ + \[ + f(x) = \ln x + \] +} + + $f(x)$ непрерывна: + \[ + \forall \varepsilon > 0 : \qquad + \delta = x_0(1 - \frac{1}{e^\varepsilon}) \Rightarrow + \forall x_1: |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow x_0 < e^\epsilon x_1 + \Rightarrow \ln \frac{x_0}{x_1} < \ln e^\varepsilon < \varepsilon + \] + + Но не равномерно: + \[ + \forall \varepsilon, \delta > 0: \qquad + x_1 = \frac{\delta}{2}, x_2 = \frac{\delta}{2e}: \qquad + \ln \frac{x_1}{x_2} = \ln e = 1 > \varepsilon + \] + +\question{7.c}{ + \[ + f(x) = e^x \cos(\frac{1}{x}) + \] +} + + Чтобы $f(x)$ была равномерно непрерывной мы хотим, чтобы при любом $n$: + \begin{gather*} + e^{\frac{1}{2\pi n}} + e^{\frac{1}{2\pi n + n}} < \varepsilon\\ + 2e^\frac{1}{2\pi n} < \varepsilon\\ + \frac{1}{2\pi n} < \ln \frac{\varepsilon}{2}\\ + 2\pi n > \frac{1}{\ln \frac{\varepsilon}{2}}\\ + n > \frac{1}{\ln \frac{\varepsilon}{2} 2\pi}\\ + \end{gather*} + + При маленьких $\varepsilon$ это работает, поэтому функция равномерно непрерывна. + +\question{7.d}{ + \[ + f(x) = x + \sinx + \] +} + + $f(x)$ непрерывна: + \begin{gather*} + \forall \varepsilon > 0: \qquad + \delta = \frac{\varepsilon}{4}. \qquad + |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow\\ + x_1 - x_2 + \sin x_1 - \sin x_2 = + x_1 - x_2 + \sin \frac{x_1 - x_2}{2} \cos \frac{x_1 + x_2}{2} \leq\\ + x_1 - x_2 + \sin \frac{x_1 - x_2}{2} \leq + x_1 - x_2 + \frac{x_1 - x_2}{2} < \tfrac{3}{4}\varepsilon < \varepsilon + \end{gather*} + + И так как выбор $\delta$ не зависел от $x$, то она равномерно непрерывна + +\question{10}{ + \[ + \overset{\infty}{\underset{n = 2}\cup} \left[ \tfrac{1}{n}, 1 \right] = (0, 1] + \] +} + + Понятно, что $\forall n \in \mathbb{N}: \ \ \ [\tfrac{1}{n}, 1] \subseteq (0, 1]$ + + Докажем, что $\forall x \in (0, 1] \ \ \ \exists n \in \mathbb{N}: \ \ x \in [\tfrac{1}{n}, 1]$: + \[ + n = \left\lceil\frac{1}{x}\right\rceil \Rightarrow \frac{1}{n} \leq x \Rightarrow x \in [\tfrac{1}{n}, 1] + \] + + Собственно, это и является контрпримером к удверждению в первой части вопроса. + + +\question{13}{ + \[ + \overline{0.(002)_3} \ \overset{?} \in \ \Pi + \] +} + + Заметим, что на очередном шаге построения множества мы удаляем интервал $(\overline{0.\star 1}, \overline{0.\star 2})$, поэтому, если в троичной записи числа нет единиц, то оно никогда не будет удалено, следовательно, останется в Канторовом множестве. + + Так как число бесконечно в троичной системе, то оно не представляется как конечная сумма чисел вида $\frac{1}{3^n}$, поэтому оно никогда не будет концом удаляемого интервала, поэтому это число 2 рода. + +\question{14}{ + Найти точку Канторова множества на отрезках: + \textbf{(a)} $[0.05, 0.1]$, + \textbf{(b)} $[0.025, 0.5]$ +} + + \textbf{(a)} Делением в столбик получаем, что + $a = \frac{1}{18} = \overline{0.00(1)}_3$, \qquad + $b = \frac{1}{12} = \overline{0.0(02)}_3$. + + Очевидно, что + \[ + 0.05 < a = + \overline{0.00(1)}_3 < + \overline{0.002}_3 < + \overline{0.0(02)}_3 = + b < 0.1 + \] + + Так как в записи нет цифры 1, то эта точка принадлежит Канторову множеству. Поэтому $\overline{0.002}_3$ -- искомая. + + \medskip + + \textbf{(b)} $\frac{1}{3}$ -- точка первого рода и $0.025 < \frac{1}{3} < 0.5$ $\Rightarrow \frac{1}{3}$ -- искомая + +\question{15}{ + Слишком длинное условие =( +} + + Докажем, что $f(x)$ разрывна в точках Канторова множества. + + Так как в этом множестве нет изолированных точек и на любом интервале в $\mathbb{R}$, полностью не лежащем в удаленном интервале, есть середина удаленного интервала, то для любой точки множества есть две последовательности, стремящиеся к этой точке по точкам канторова множества и по серединам удаленных отрезков, поэтому в точке множества есть два разных частичных предела (0 и 1), поэтому функция в этих точках разрывна. + +\end{document} diff --git a/sol1202.tex b/sol1202.tex new file mode 100644 index 0000000..59f5a17 --- /dev/null +++ b/sol1202.tex @@ -0,0 +1,239 @@ +\documentclass[11pt]{article} +%\usepackage[T2A]{fontenc} +%\usepackage[utf8]{inputenc} +%\usepackage[russian]{babel} +\usepackage[x11names, svgnames, rgb]{xcolor} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{arrows,shapes} + +\usepackage{scrextend} + + +\input{intro} + +\lhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль 192} +\rhead{\color{gray} ДЗ к 07.12 (\texttt{sol1202})} +\title{ДЗ на 07.12} +\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ-192} +\date{билд: \today} + +% -- Here bet dragons -- +\begin{document} + +\maketitle + +\question{17}{ + \[ + \lim_{x \to \infty} f(x) = 0, \qquad + \lim_{x \to \infty} g(x) = 0, \qquad + \] + Доказать, что + \[ + \begin{cases} + f(x), g(x) \text{ -- дифф. в окрестности } \infty \quad (1)\\ + \exists \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\\ + \exists \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\\ + g'(x) \neq 0\\ + \exists \frac{f'(x)}{g'(x)} + \end{cases} + \implies \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} + \] +} + + \[ + (1) \Rightarrow f\braced{\frac{1}{t}}, g\braced{\frac{1}{t}} \text{ -- дифф. в окрестности } 0 + \] + + \[ + \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} = + \lim_{y \to 0} \frac{(f(\frac{1}{t}))'}{(g(\frac{1}{t}))'} = + \lim_{y \to 0} \frac{-t^2}{-t^2}\frac{f'(\frac{1}{t})}{g'(\frac{1}{t})} \overset{\text{по правилу Лопиталя}}{=} + \lim_{y \to 0} \frac{f(\frac{1}{t})}{g(\frac{1}{t})} = + \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} \qed + \] + + +\question{21}{ + \begin{enumerate} + \item $ + x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3} + $ + \item $\displaystyle + \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + $ + \end{enumerate} +} + 1. + \begin{gather*} + x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}\\ + \frac{2}{3}x^{-1/3} + y' \frac{2}{3} y^{-1/3} = 0\\ + x^{-1/3} + y' y^{-1/3} = 0\\ + y' = -\frac{y^{1/3}}{x^{1/3}} = -\sqrt[3]{\frac{y}{x}} + \end{gather*} + + 2. + \begin{gather*} + \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\\ + \frac{2x}{a^2} + \frac{2yy'}{b^2} = 0\\ + \frac{yy'}{b^2} = -\frac{x}{a^2}\\ + y' = -\frac{x}{y}\cdot\frac{b^2}{a^2} + \end{gather*} + +\question{21}{ + \[ + r = ae^{m\varphi} + \] +} + + \begin{gather*} + r = ae^{m\varphi}\\ + \sqrt{x^2 + y^2} = ae^{m \arctan{\frac{y}{x}}}\\ + \frac{2x + 2yy'}{2\sqrt{x^2 + y^2}} = + ae^{m \arctan{\frac{y}{x}}} m (\arctan{\frac{y}{x}})' = + ae^{m \arctan{\frac{y}{x}}} m \frac{1}{1 + \braced{\frac{y}{x}}^2} \frac{y'x - y}{x^2}\\ + \frac{x + yy'}{y'x - y} = + mae^{m \varphi}\frac{1}{\frac{x^2 + y^2}{x^2}} \frac{1}{x^2} \sqrt{x^2 + y^2} = + \frac{mae^{m \varphi}}{r} = \mu\\ + \frac{x + yy'}{y'x - y} = \mu\\ + x + yy' = \mu (y'x - y)\\ + x + \mu y = \mu y'x - yy'\\ + y' = \frac{x + \mu y}{\mu x - y} = + \frac{x + \frac{mae^{m \varphi}}{r}y}{\frac{mae^{m \varphi}}{r}x - y} = + \frac{xr + ymae^{m \varphi}}{xmae^{m \varphi} - yr} + \end{gather*} + +\question{23}{ + \[ + y_1 = ax^2, \qquad\qquad y_2 = \ln x + \] +} + + Чтобы кривые касались, достаточно, чтобы их функции и производные были равны в некоторой точке: + \[ + \begin{cases} + y_1 = y_2\\ + y_1' = y_2'\\ + \end{cases} + \] + \[ + 2ax = \frac{1}{x} \implies x = \sqrt\frac{1}{2a} + \] + \[ + ax^2 = \ln x \overset{\text{подставим $x$}}{\implies} + \frac{1}{2} = \ln {\sqrt\frac{1}{2a}} \implies + \frac{1}{2a} = e \implies a = \frac{1}{2e} + \] + +\question{24}{ + \[ + x = \frac{2t + t^2}{1 + t^3}, \qquad y = \frac{2t - t^2}{1 + t^3} + \] +} + + $ + \exists \varphi^{-1}(x): xt^3 - t^2 - 2t + x = 0 + $ и функции дифференцируемы в окрестностях нужных точек, поэтому $f'(x_0) = \frac{x'(t_0)}{y'(t_0)}$ + + \[ + f'(x) = \frac{\braced{\frac{2t - t^2}{1 + t^3}}'}{\braced{\frac{2t + t^2}{1 + t^3}}'} = + \frac{(2 - 2t)(1 + t^3) - 3t^3(2t - t^2)} + {(2 + 2t)(1 + t^3) - 3t^3(2t + t^2)} = + \frac{2 - 2t + 2t^3 - 2t^4 - 6t^4 + 3t^5} + {2 + 2t + 2t^3 + 2t^4 - 6t^4 - 3t^5} + \] + + \begin{enumerate}[(a)] + \item $t = 0: $ $f'(x) = 1$\\ + \[ + 1 \cdot(y - 0) + (x - 0) = 0 \Rightarrow y + x = 0 + \] + \item $t = 1: $ $f'(x) = 3$\\ + \[ + 3 \cdot(y - 1.5) + (x - 1.5) = 0 \Rightarrow 3y + x - 3 = 0 + \] + \item $t = +\infty: $ $f'(x) = -1$\\ + \[ + -1 \cdot(y - 0) + (x - 0) = 0 \Rightarrow -y + x = 0 + \] + \end{enumerate} + +\question{25.a}{ + \[ + \lim_{x \to 0} \frac{\ln \cos ax}{\ln \cos bx} = \frac{a^2}{b^2} + \] +} + \begin{align*} + &\lim_{x \to 0} \frac{\ln \cos ax}{\ln \cos bx} \overset{\text{Лопиталь}}= + \lim_{x \to 0} \frac{-a \sin ax}{\cos ax} \frac{\cos bx}{-b \sin bx} = + \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} \cdot \frac{a\cos bx}{b\cos ax} =\\\\ + &\lim_{x \to 0} \frac{a(bx) \sin ax}{(ax)b \sin bx} \cdot \frac{a\cos bx}{b\cos ax} \overset{\text{1й зам. предел}}= + \lim_{x \to 0} \frac{a}{b} \cdot \frac{a\cos bx}{b\cos ax} = \frac{a^2}{b^2} + \end{align*} + +\question{25.b}{ + \[ + \lim_{x \to a} \frac{a^x - x^a}{x - a} = a^a (\ln a - 1) + \] +} + + \[ + \lim_{x \to a} \frac{a^x - x^a}{x - a} = + \lim_{x \to a} \frac{e^{x\ln a} - x^a}{x - a} \overset{\text{Лопиталь}}= + \lim_{x \to a} \frac{\ln a \cdot a^x - ax^{a - 1}}{1} \overset{\text{ф-я непрерывна}}= + \frac{\ln a \cdot a^a - a \cdot a^{a - 1}}{1} = a^a (\ln a - 1) + \] + +\question{25.c}{ + \[ + \lim_{x \to 1} \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{2} + \] +} + + \begin{align*} + \lim_{x \to 1} \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1} = + \lim_{x \to 1} \frac{x - 1 - \ln x}{(x - 1) \ln x} \overset{\text{Лопиталь}}= + \lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\ln x + \frac{x - 1}{x}} \overset{\cdot \frac{x}{x}}= + \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x \ln x + x - 1} \overset{\text{Лопиталь}}=\\ + =\lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + \ln x + 1} = \frac{1}{2} + \end{align*} + + +\question{25.c}{ + \[ + \frac{(1 + x)^\frac{1}{x} - e}{x} = -\frac{e}{2} + \] +} + + \begin{align*} + &\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\frac{1}{x} - e}{x} = + \lim_{x \to 0}\frac{e^\frac{\ln (x + 1)}{x} - e}{x} \overset{\text{Лопиталь}}=\\ + = &\lim_{x \to 0}\frac{e^\frac{\ln (x + 1)}{x} \cdot \frac{\frac{x}{x + 1} - \ln(x + 1)}{x^2}}{1} = + \lim_{x \to 0}e^\frac{\ln (x + 1)}{x} \cdot \frac{\frac{x}{x + 1} - \ln(x + 1)}{x^2} \overset{\text{св-ва пределов}}=\\ + = &\lim_{x \to 0}e^\frac{\ln (x + 1)}{x} \cdot + \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1} - \ln(x + 1)}{x^2} = + \lim_{x \to 0}(x + 1)^\frac{1}{x} \cdot + \lim_{x \to 0} \frac{x - (x + 1)\ln(x + 1)}{(x + 1)x^2} =\\ + = &e \lim_{x \to 0} \frac{x - (x + 1)\ln(x + 1)}{(x + 1)x^2} \overset{\text{св-ва пределов}}= + e \lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1} \lim_{x \to 0} \frac{x - (x + 1)\ln(x + 1)}{x^2} =\\ + = &e \lim_{x \to 0} \frac{x - x\ln(x + 1) - \ln(x + 1)}{x^2} \overset{\text{св-ва пределов}}= + e \left( \lim_{x \to 0}\frac{x - \ln(x + 1)}{x^2} - \lim_{x \to 0}\frac{x\ln(x + 1)}{x^2} \right) \overset{\text{два Лопиталя}}=\\ + = &e \left( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{x + 1}}{2x} - \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{1} \right) = + e \left( \lim_{x \to 0} \frac{x + 1 - 1}{2x(x + 1)} - 1 \right) = + e \left( \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(x + 1)} - 1 \right) = + e \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = -\frac{e}{2} + \end{align*} + +\question{25.e}{ + \[ + \lim_{x \to 1} \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{2} + \] +} + \begin{align*} + &\lim_{x \to 1} \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1}= + \lim_{x \to 1} \frac{x - 1 - \ln x}{(x - 1)\ln x} \overset{\text{Лопиталь}}=\\ + = &\lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\ln x + \frac{x - 1}{x}} = + \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x\ln x + x - 1} \overset{\text{Лопиталь}}=\\ + = &\lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + \ln x + 1} = \frac{1}{2} + \end{align*} + +\end{document} diff --git a/test_dot.tex b/test_dot.tex new file mode 100644 index 0000000..a913de1 --- /dev/null +++ b/test_dot.tex @@ -0,0 +1,14 @@ +% A simple cycle +% Author : Jerome Tremblay +\documentclass{standalone} +\usepackage{tikz} +\begin{document} +\begin{tikzpicture} + \node[shape=circle,draw=blue] (A) at (0,0) {$v_1$}; + \node[shape=circle,draw=red] (B) at (2,2) {$v_2$}; + \node[shape=circle,draw=blue] (C) at (0,4) {$v_3$}; + + \path [-](A) edge node[left] {} (B); + \path [-](B) edge node[left] {} (C); +\end{tikzpicture} +\end{document} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1-18-gbd029