From 325d44c6428af3e70d0b4c5d78a1e1d117895f52 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Fri, 27 Dec 2019 10:33:43 +0300
Subject: Add stuff

---
 dz1.tex | 75 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 75 insertions(+)
 create mode 100644 dz1.tex

(limited to 'dz1.tex')

diff --git a/dz1.tex b/dz1.tex
new file mode 100644
index 0000000..75e76f6
--- /dev/null
+++ b/dz1.tex
@@ -0,0 +1,75 @@
+\documentclass[10pt,a5paper]{article}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[russian]{babel}
+
+\usepackage[a4paper, lmargin=0.1666\paperwidth, rmargin=0.1666\paperwidth, tmargin=0.1111\paperheight, bmargin=0.1111\paperheight]{geometry}
+\begin{document}
+
+\begin{flalign*}
+\textbf{\textit{Задание 26: }}\textit{Доказать, что } 1.(9) = 2.(0)&&
+\end{flalign*}
+Представим эти числа как $1.(9) = 1 + 0.(9)$ и $2.(0) = 1 + 1.(0)$\\
+Тогда пусть $x = 0.(9)$:
+\begin{align*}
+10x &= 9.(9)\\
+ 9x &= 9\\
+  x &= 1\\
+\end{align*}
+Значит, $0.(9) = 1$ и $1.(9) = 2.(0)$, значит $1.(9) = 2.(0)$
+
+\clearpage
+
+\begin{flalign*}
+\textbf{\textit{Задание 20: }}
+\textit{Доказать, что } 
+\underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \ldots + \sqrt{a}}}}_{n} \leq \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}&
+\end{flalign*}
+Обозначим левую часть за $A_n$ и докажем по индукции.\\
+База $(n = 1)$:
+\begin{align*}
+A_1 = \sqrt{a} &\overset{?}{\leq} \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}&&\\
+             a &\overset{?}{\leq} \frac{1 + 2\sqrt{4a + 1} + 4a + 1}{4}&&\\
+             0 &\leq \frac{2 + 2\sqrt{4a + 1}}{4}&&\\
+\end{align*}
+Переход: \\
+Пусть для $n$ - верно, тогда:
+\begin{align*}
+A_{n+1} = \sqrt{a + A_n} &\overset{?}{\leq} \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}&&\\
+             \sqrt{a + \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}} &\overset{?}{\leq} \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}&&\\
+             a + \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2} &\overset{?}{\leq} \frac{1 + 2\sqrt{4a + 1} + 4a + 1}{4}&&\\
+             \frac{2a + 1 + \sqrt{4a + 1}}{2} &\overset{?}{\leq} \frac{2 + 2\sqrt{4a + 1} + 4a}{4}&&\\
+             \frac{2a + 1 + \sqrt{4a + 1}}{2} &= \frac{1 + 1\sqrt{4a + 1} + 2a}{2}&&\\
+\end{align*}
+Значит, для $n + 1$ - тоже верно
+
+\clearpage
+
+\textbf{\textit{Задание 5: }}
+$X, Y \subset \mathbb{R}_+, Z = \{xy : x \in X, y \in Y\}.$
+\textit{Доказать, что } $$\inf{Z} = \inf{X}\inf{Y}, \quad \sup{Z} = \sup{X}\sup{Y}$$
+
+\textbf{1.} Так как $\sup{X}$ - точная верхняя грань $X$, а $\sup{Y}$ - точная верхняя грань $Y$, то $\forall x \in X, y \in Y$ выполняется $xy \leq x\sup{Y} \leq \sup{X}\sup{Y}$, поэтому $S = \sup{X}\sup{Y}$ - верхняя грань $Z$.\\
+
+\textbf{2.} Пусть $\sup{X}\sup{Y} = S_z$. Докажем, что $\forall{\Gamma > 0}\ \exists\ z \in Z$, такое, что $S_z - z < \Gamma$.\\
+
+Из определения точной верхней грани $\forall{\delta > 0}\ \exists\ x \in X, y \in Y$ такие, что 
+$$x > \sup{X} - \delta,\ y > \sup{Y} - \delta,$$
+поэтому существует $z = xy$ и 
+$$xy > (\sup{X} - \delta)(\sup{Y} - \delta) = \sup{X}\sup{Y} - \delta(\sup{X} + \sup{Y} - \delta)$$\\
+Так как $\sup{X} + \sup{Y} = \text{const}$, то
+$$\lim_{\delta \to 0} \delta(\sup{X} + \sup{Y} - \delta) = 0$$
+поэтому для любого $\Gamma$ найдется $\delta$ такой, что
+$$S_z - z > S_z - (\sup{X} - \delta)(\sup{Y} - \delta) > \Gamma,$$
+что и требовалось доказать.\\
+
+Из (\textbf{1}) и (\textbf{2}) следует, что $S_z = \sup{X}\sup{Y}$ - точная верхняя грань $Z$.
+Аналогично, $\inf{Z} = \inf{X}\inf{Y}$
+
+\clearpage
+
+
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

