From 325d44c6428af3e70d0b4c5d78a1e1d117895f52 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Fri, 27 Dec 2019 10:33:43 +0300
Subject: Add stuff

---
 dz2.tex | 181 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 181 insertions(+)
 create mode 100644 dz2.tex

(limited to 'dz2.tex')

diff --git a/dz2.tex b/dz2.tex
new file mode 100644
index 0000000..46d061c
--- /dev/null
+++ b/dz2.tex
@@ -0,0 +1,181 @@
+\documentclass[10pt,a5paper]{article}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[russian]{babel}
+
+\usepackage[a4paper, lmargin=0.1666\paperwidth, rmargin=0.1666\paperwidth, tmargin=0.1111\paperheight, bmargin=0.1111\paperheight]{geometry}
+\begin{document}
+
+\begin{titlepage}
+\begin{center}
+Семинар 0916
+
+Шарафатдинов Камиль БПМИ192
+\end{center}
+\end{titlepage}
+
+\newcommand{\limn}[1][]{\lim_{n\to\infty}{#1}}
+
+\begin{flalign*}
+\textbf{\textit{9.k: }}&&
+\end{flalign*}
+\begin{align*}
+& \limn{(\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[9]{3} \cdot \ldots \cdot \sqrt[3^n]{3})} =
+  \limn{(3^\frac{1}{3} \cdot 3^\frac{1}{9} \cdot \ldots \cdot 3^\frac{1}{3^n})} =
+  \limn{(3^{\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{3^n}})} =
+  3^{\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}} =
+  \sqrt{3}
+\end{align*}
+
+\begin{flalign*}
+\textbf{\textit{10.b: }}&&
+\end{flalign*}
+
+Пусть $b = \lfloor a \rfloor + 1, C = \frac{a^b}{b!}$
+
+При $n > b:$
+\begin{align*}
+\frac{a^n}{n!} =
+\frac{a^b \cdot a^{n - b}}{b! \cdot \frac{n!}{b!}} =
+\frac{a^b}{b!} \cdot \frac{a^{n - b}}{\frac{n!}{b!}} =
+C \cdot {\prod_{k = b + 1}^{n}} \frac{a}{k} &&
+\end{align*}
+
+Так как $n > b:$
+\begin{align*}
+0 < C \cdot {\prod_{k = b + 1}^{n}} \frac{a}{k} < C \cdot {\prod_{k = b + 1}^{n}} \frac{a}{b}&&
+\end{align*}
+
+Так как $b < a:$
+\begin{align*}
+\limn{\prod_{k = b + 1}^{n} \frac{a}{b}} = 0&&
+\end{align*}
+
+Значит по теореме о двух полицейских ($0$ и $\displaystyle C \cdot {\prod_{k = b + 1}^{n}} \frac{a}{b}$) предел равен 0:
+\begin{align*}
+\limn{\frac{a^n}{n!}} = 0&&
+\end{align*}
+
+
+\begin{flalign*}
+\textbf{\textit{10.c: }}&&
+\end{flalign*}
+
+Докажем по определению, что $\forall \epsilon > 0 \ \exists \ N : \forall n > N \ \sqrt[n]{b} - 1 < \epsilon$:
+\begin{align*}
+\sqrt[n]{b} < \epsilon - 1&&\\
+\frac{1}{n}\log_{\epsilon + 1}{b} < 1&&\\
+\log_{\epsilon + 1}{b} < n&&\\
+\end{align*}
+
+Так как слева константа, а правая часть стремится к бесконечности, очевидно, начиная с некоторого $n$ неравенство начнет выполняться, следовательно, предел равен 1.
+
+
+\begin{flalign*}
+\textbf{\textit{10.e: }}&&
+\end{flalign*}
+
+Пусть $n = b^k$ (для каждого $n$). Тогда, очевидно, $k\to\infty$, так же как и $n$. Тогда
+$\frac{\log_b{n}}{n} = \frac{k}{b^k}$.
+\begin{align*}
+\text{Применяя номер \textit{10.a}:}\ \ 
+\lim_{k\to\infty}{\frac{k^1}{b^k}} = 0 \implies \limn{\frac{log_b{n}}{n}} = 0&&\\
+\end{align*}
+
+\clearpage
+
+
+\begin{flalign*}
+\textbf{\textit{14: }}&&
+\end{flalign*}
+
+Нет. Например
+\begin{align*}
+x_n &= (-1)^n + 1&&&&&\\
+y_n &= (-1)^{n + 1} + 1
+\end{align*}
+
+Ни одна из последовательностей не сходится, а их произведение $x_n y_n = 0$
+
+\begin{flalign*}
+\textbf{\textit{16.1: }}&&
+\end{flalign*}
+
+По теореме Тёплица:
+
+Пусть $P_{nk} = \frac{1}{n}$. Тогда по теореме:
+\begin{align*}
+&\limn{\sum_{k = 1}^{n} P_{nk}x_k} = a&&\\
+&\sum_{k = 1}^{n} P_{nk}x_k = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n}x_k = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}
+\end{align*}
+
+
+\begin{flalign*}
+\textbf{\textit{16.2: }}&&
+\end{flalign*}
+
+\textbf{Лемма: }$\displaystyle \limn{x_n} = a; x_n > 0 \implies \limn{\frac{1}{x_n}} = \frac{1}{a}$
+
+Пусть $t = \inf\{x_n\}$.
+
+По условию: $\forall \epsilon > 0 \ \exists \ N: \forall n > N \ \ |a - x_n| < \epsilon$
+\begin{align*}
+\left|\frac{1}{a} - \frac{1}{x_n}\right| =
+\left|\frac{x_n - a}{a x_n}\right| <
+\left|\frac{x_n - a}{a t}\right| =
+\frac{\left|x_n - a\right|}{a t}
+\end{align*}
+
+Поэтому для любого $\epsilon_1$ существует $\epsilon = at \cdot \epsilon_1$, для которого выполняется $\left| x_n - a \right| < \epsilon$, следовательно, выполняется $\left|\frac{1}{a} - \frac{1}{x_n}\right| < \epsilon_1$, что и требовалось. Лемма доказана.\\\\\\
+
+Тогда пусть $\forall n : x_n' = \frac{1}{x_n}$
+
+По лемме $\displaystyle \limn{x_n'} = \frac{1}{a} \overset{\text{по 16.1}}{\implies}
+\limn{\frac{1}{n}\sum^n{x_n'}} = \frac{1}{a}$.\\
+
+\begin{align*}
+&\text{Т. к. }\  z_n = \frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n{x_i'}}\text{, то }
+\frac{1}{z_n} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n{x_i'}\text{,  поэтому }\ 
+\limn{\frac{1}{z_n}} = \limn{x_n'} = \frac{1}{a}.\\
+&\text{Еще раз применяя лемму, получаем } \limn{z_n} = \frac{1}{\frac{1}{a}} = a.
+\end{align*}
+
+\begin{flalign*}
+\textbf{\textit{16.3: }}&&
+\end{flalign*}
+
+По неравенству о средних: $z_n \leq \xi_n \leq y_n$.
+
+По теореме о двух полицейских $\limn{z_n} = \limn{y_n} = a \implies \limn{\xi_n} = a$
+
+\begin{flalign*}
+\textbf{\textit{17: }}&&
+\end{flalign*}
+
+Из 16.3: 
+\begin{align*}
+\limn{\sqrt[n]{x_n}} =
+\limn{\sqrt[n]{x_1\frac{x_2}{x_1}\frac{x_3}{x_2} \cdots \frac{x_n}{x_{n - 1}}}} =
+\limn{\frac{x_n}{x_{n - 1}}}
+\end{align*}
+
+\begin{flalign*}
+\textbf{\textit{18: }}&&
+\end{flalign*}
+
+Из 17:
+\begin{align*}
+&  \limn{\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}} =
+   \limn{\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}} =
+   \limn{\frac{n^n}{n!} \cdot \frac{(n - 1)!}{(n - 1)^{n - 1}}} =
+   \limn{\frac{n^{n - 1}}{(n - 1)^{n - 1}}} =\\
+= &\limn{\left(\frac{n}{n - 1}\right)^{n - 1}} =
+   \limn{\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n}} =
+   \limn{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}
+\end{align*}
+
+Последнее является вторым замечательным пределом и $\displaystyle \limn{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} = e$
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

