From 325d44c6428af3e70d0b4c5d78a1e1d117895f52 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Fri, 27 Dec 2019 10:33:43 +0300
Subject: Add stuff

---
 phw.tex | 511 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 511 insertions(+)
 create mode 100644 phw.tex

(limited to 'phw.tex')

diff --git a/phw.tex b/phw.tex
new file mode 100644
index 0000000..b0f736c
--- /dev/null
+++ b/phw.tex
@@ -0,0 +1,511 @@
+% -- LaTeX Template for Homework (S. Venkatraman) --
+
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[russian]{babel}
+
+
+\usepackage{
+  amsmath, amsthm, amssymb, mathtools,
+  graphicx, subfig, float,
+  listings, color, inconsolata,
+  fancyhdr, sectsty, hyperref, enumerate, framed }
+\usepackage[shortlabels]{enumitem}
+
+\flushbottom                                         % Uncomment to make text fill the entire page
+\usepackage[bottom]{footmisc}                        % Anchor footnotes to bottom of page
+\renewcommand{\baselinestretch}{1.06}                % Adjust line spacing
+%\setlength\parindent{0pt} % Remove paragraph indentation
+\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper,          % Set page margins
+  left=1.35in, right=1.35in,
+  top=1.1in, bottom=1in,
+  headsep=.2in }
+
+% -- Frame settings (for problem statement) --
+\setlength\FrameSep{0.55em}
+\setlength\OuterFrameSep{\partopsep}
+
+% -- 'question' is a custom command for writing the statement of a problem; first argument
+% is the question number, second argument is the statement --
+\newcommand{\question}[2]{\begin{framed}\noindent \textbf{#1} #2\end{framed}}
+\newcommand{\withbraces}[1]{\left( #1 \right)}
+\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil}
+\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}
+
+% -- Flush left for 'enumerate' numbers
+%\setlist[enumerate]{wide=0pt, leftmargin=21pt, labelwidth=0pt, align=left}
+
+\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta}
+
+% -- Make reference section title font smaller --
+%\renewcommand{\refname}{\normalsize\bf{References}}
+
+
+% -- Uncomment these lines to set font to 'Charter', with math support --
+%  \usepackage[bitstream-charter]{mathdesign}
+%  \usepackage[T1]{fontenc}
+
+
+% -- Left/right header text and footer (to appear on every page) --
+\pagestyle{fancy}
+\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
+\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
+\lhead{ИДЗ-1}
+\rhead{Шарафатдинов Камиль БПМИ192}
+
+% -- Document starts here --
+\begin{document}
+
+\url{https://fcked.net/la} - тут должны валяться все скрипты, на которые я ссылаюсь
+
+\question{1.}{
+  Решить СЛУ для любого $t \in \mathbb{R}$:
+  $$
+  \begin{bmatrix}
+    -1 && -t - 1 && 5  && 4 + t\\
+    -1 && -t - 2 && 6  && 6 - t\\
+    2  && 2t + 1 && -9 && -6 -3t\\
+  \end{bmatrix} x = 
+  \begin{bmatrix}
+    -4\\
+    -4\\
+    6\\
+  \end{bmatrix}
+  $$
+}
+
+Заведем матрицу
+$$
+\begin{bmatrix}
+  -1 && -t - 1 && 5  && 4 + t  && -4\\
+  -1 && -t - 2 && 6  && 6 - t  && -4\\
+  2  && 2t + 1 && -9 && -6 -3t && 6\\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+и будем приводить ее к ступенчатому виду.
+
+С помощью элементарных преобразований, описанных в \url{scr_1.py} получаем
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+  1 && t + \frac{1}{2} && -\frac{9}{2} && -3 && 0\\
+  0 && 1               && -1           && -2 && 4\\
+  0 && 0               && 0            && t  && -2\\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+Очевидно, что если $t = 0$, то система не имеет решений, иначе
+\begin{align*}
+  x_4 &= \frac{-2}{t}\\\\
+  x_3 &= k, k \in \mathbb{R}\\\\
+  x_2 &= 4 + 2x_4 + x_3 = 4 - \frac{4}{t} + x_3\\\\
+  x_1 &= 3x_4 + \frac{9}{2}x_3 - \left(t + \frac{1}{2}\right)x_2 = \\
+      &= -\frac{6}{t} + \frac{9}{2}x_3 - \left(tx_3 + 4t - \frac{2}{t} + \frac{x}{2} - 2\right) =\\
+      &= -\frac{2 (2 t^2 - t + 2)}{t} - (t - 4)x_3 \\\\
+  x   &= \begin{bmatrix}
+            -\frac{2 (2 t^2 - t + 2)}{t} - (t - 4)k \\
+            4 - \frac{4}{t} + x_3 \\
+            k \\
+            -\frac{2}{t} \\
+         \end{bmatrix}, \forall k \in \mathbb{R} \\\\
+  \end{align*}
+
+\clearpage
+
+\question{2.}{
+Найти $f_{min}$ для $A =
+  \begin{bmatrix}
+    -3 & 0 & -t \\
+    -5 & -3 & t - 5 \\
+    0 & 0 & t - 3
+  \end{bmatrix}$
+}
+
+Пусть
+\begin{gather*}
+  F_A = f_{min} (A)\\
+  F_1 = f_{min}\left(\begin{bmatrix} -3 & 0 \\ -5 & -3 \end{bmatrix}\right)\\
+  F_2 = f_{min}\left(\begin{bmatrix} t - 3 \end{bmatrix}\right)\\
+\end{gather*}
+
+По блочным формулам $F_A$  делит $F_1 \cdot F_2$.
+
+$F_1$ делит $(x + 3)^2$, потому что матрица - нижнетреугольная,
+но $$
+\begin{bmatrix} -3 & 0 \\ -5 & -3 \end{bmatrix} + 3id_2 =
+\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ -5 & 0 \end{bmatrix} \neq 0
+$$
+
+Поэтому $F_1 = (x + 3)^2$.
+$F_2$ очевидно равен $x - t + 3$
+\newline
+
+Рассмотрим два случая: $t = 0 \Rightarrow F_2 = x + 3$ и $t \neq 0 \Rightarrow F_2 \neq x + 3$.
+
+\begingroup
+\leftskip2em
+\rightskip\leftskip
+Во втором случае $F_A$ делит $(x + 3)^2(x - t + 3)$,
+но так как степень записанного многочлена равна 3, то это и есть минимальный многочлен.
+\par
+\endgroup
+
+\begingroup
+\leftskip2em
+\rightskip\leftskip
+В первом случае $F_A$ делит $(x + 3)^3$, но для
+\par
+\endgroup
+$$
+  A = \begin{bmatrix}
+    -3 & 0 & 0 \\
+    -5 & -3 & -5 \\
+    0 & 0 & -3
+  \end{bmatrix}
+$$
+
+\begingroup
+\leftskip2em
+\rightskip\leftskip
+можно уже в лоб проверить, что $(x + 3)$ недостаточно, чтобы занулить $A$, а $(x + 3)^2$ -- уже достаточно,
+поэтому $(x + 3)^2$ и есть минимальный многочлен.
+\par
+\endgroup
+\vspace{5mm}
+Поэтому если $t = 0$, то $f_{min} (A) = (x + 3)^2$,
+если $t \neq 0$, то $f_{min} (A) = (x + 3)^2(x - t + 3)$
+
+\clearpage
+
+\question{3.}{
+  Существует ли матрица $A \in M_{2,3} (\mathbb{R})$, такая, что $Ax = 0$ для
+  $$
+    x \in \left\{
+        \begin{bmatrix}
+          -5 \\ -5 \\ -3
+        \end{bmatrix},
+        \begin{bmatrix}
+          7 \\ -5 \\ -4
+        \end{bmatrix}
+      \right\}
+  $$
+  
+  и существует такой $y \in M_{1,3} (\mathbb{R})$, что
+  $$
+  Ay = \begin{bmatrix}
+         3 \\ 4
+       \end{bmatrix}
+  $$
+}
+
+Пусть
+$$
+  A = \begin{bmatrix}
+        a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6
+      \end{bmatrix},\ \ \ \ 
+  y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}
+$$
+
+Переформулируем условие (перемножим то, что нужно и поэлементно приравняем):
+$$
+  \begin{bmatrix}
+    -5 & -5 & -3 & 0  &  0 &  0 \\
+     0 &  0 &  0 & -5 & -5 & -3 \\
+     7 & -5 & -4 &  0 &  0 &  0 \\
+     0 &  0 &  0 &  7 & -5 & -4 \\
+
+     y_1 & y_2 & y_3 & 0 & 0 & 0 \\
+     0 & 0 & 0 & y_1 & y_2 & y_3 \\
+  \end{bmatrix}
+\times
+  \begin{bmatrix}
+    a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \\ a_6
+  \end{bmatrix}
+=
+  \begin{bmatrix}
+    0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4
+  \end{bmatrix}
+\text{ - имеет решение}
+$$
+
+Заметим, что нечетные и четные уравнения (строки) - независимы.
+Поэтому можно сначала решить четные, а потом нечетные, а потом "склеить"\  результаты.
+
+Решим нечетные уравнения. Для этого решим сначала первое и третье, а потом подгоним решение под пятое
+(все равно решений будет либо $0$, либо $\infty$, причем если решений $0$,
+то нужной матрицы не существует)
+$$
+  \begin{bmatrix}
+    -5 & -5 & -3 \\
+    7 & -5 & -4 \\
+  \end{bmatrix}
+\times
+  \begin{bmatrix}
+    a_1 \\ a_2 \\ a_3
+  \end{bmatrix}
+= 0
+$$
+\begin{gather*}
+  \begin{bmatrix}
+    -5 & -5 & -3 & 0 \\
+     7 & -5 & -4 & 0 \\
+  \end{bmatrix}\rightarrow
+  \begin{bmatrix}
+     1 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\
+     7 & -5 & -4 & 0 \\
+  \end{bmatrix}\rightarrow
+  \begin{bmatrix}
+     1 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\
+     0 & -12 & -8\frac{1}{5} & 0 \\
+  \end{bmatrix} \\
+  \begin{bmatrix}
+    1 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\
+    0 & 12 & 8\frac{1}{5} & 0 \\
+  \end{bmatrix}\rightarrow
+  \begin{bmatrix}
+    1 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\
+    0 & 1 & \frac{41}{60} & 0 \\
+  \end{bmatrix}\rightarrow
+  \begin{bmatrix}
+    1 & 0 & -\frac{1}{12} & 0 \\
+    0 & 1 & \frac{41}{60} & 0 \\
+  \end{bmatrix}\\\\
+  a_3 = k, k \in \mathbb{R}, \ \ \ \ \ \ 
+  a_2 = -\frac{41}{60}k, \ \ \ \ \ \ 
+  a_1 = \frac{1}{12}k
+\end{gather*}
+
+Теперь подгоним для оставшегося уравнения
+
+\begin{gather*}
+  y_1 a_1 + y_2 a_2 + y_3 a_3 = 3\\
+  k\left(\frac{y_1}{12} - \frac{41}{y_2} + y_3\right) = 3
+\end{gather*}
+
+Пусть $k = 3, y_1 = 1, y_2 = 1, y_3 = 1.6$. Тогда равенство, очевидно, выполняется.
+\\
+
+Сделаем то же самое для четных уравнений.
+Решение второго и четвертого абсолютно такое же, осталось подогнать под последнее.
+
+\begin{gather*}
+  y_1 a_4 + y_2 a_5 + y_3 a_6 = 4\\
+  k\left(\frac{y_1}{12} - \frac{41}{y_2} + y_3\right) = 4
+\end{gather*}
+
+Пусть $k = 4, y_1 = 1, y_2 = 1, y_3 = 1.6$. Тогда равенство, очевидно, выполняется.
+
+Запишем саму $A$
+
+$$
+\renewcommand\arraystretch{1.7}
+  A = \begin{bmatrix}
+    \frac{1}{12} \cdot 3 & -\frac{41}{60} \cdot 3 & 3 \\
+    \frac{1}{12} \cdot 4 & -\frac{41}{60} \cdot 4 & 4 \\
+  \end{bmatrix}
+=
+  \begin{bmatrix}
+    \frac{1}{4} & -\frac{41}{20} & 3 \\
+    \frac{1}{3} & -\frac{41}{15} & 4 \\
+  \end{bmatrix}
+$$
+\begin{gather*}
+  A \times \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1.6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}, \ \ \ \ 
+  A \times \begin{bmatrix} -5 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix} = 0, \ \ \ \ 
+  A \times \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ -4 \end{bmatrix} = 0, \ \ \ \ 
+\end{gather*}
+
+\clearpage
+
+\question{4.}{
+  Найти все матрицы $3 \times 3$, коммутирующие с
+  $
+  \begin{bmatrix}
+    -3 & 0 & 8 \\
+    1 & -3 & -1 \\
+    0 & 0 & 5 \\
+  \end{bmatrix}
+  $
+}
+
+Пусть $A = 
+\begin{bmatrix}
+  x_1 & x_2 & x_3 \\
+  x_4 & x_5 & x_6 \\
+  x_7 & x_8 & x_9 \\
+\end{bmatrix}$
+
+Тогда
+
+$$
+  \begin{bmatrix}
+    x_1 & x_2 & x_3 \\
+    x_4 & x_5 & x_6 \\
+    x_7 & x_8 & x_9 \\
+  \end{bmatrix}
+\times
+  \begin{bmatrix}
+    -3 & 0 & 8 \\
+    1 & -3 & -1 \\
+    0 & 0 & 5 \\
+  \end{bmatrix}
+=
+  \begin{bmatrix}
+    x_2 - 3 x_1 && -3 x_2 && 8 x_1 - x_2 + 5 x_3 \\
+    x_5 - 3 x_4 && -3 x_5 && 8 x_4 - x_5 + 5 x_6 \\
+    x_8 - 3 x_7 && -3 x_8 && 8 x_7 - x_8 + 5 x_9 \\
+  \end{bmatrix}
+$$
+$$
+  \begin{bmatrix}
+    -3 & 0 & 8 \\
+    1 & -3 & -1 \\
+    0 & 0 & 5 \\
+  \end{bmatrix}
+\times
+  \begin{bmatrix}
+    x_1 & x_2 & x_3 \\
+    x_4 & x_5 & x_6 \\
+    x_7 & x_8 & x_9 \\
+  \end{bmatrix}
+=
+  \begin{bmatrix}
+    8 x_7 - 3 x_1     && 8 x_8 - 3 x_2     && 8 x_9 - 3 x_3 \\
+    x_1 - 3 x_4 - x_7 && x_2 - 3 x_5 - x_8 && x_3 - 3 x_6 - x_9 \\
+    5 x_7             && 5 x_8             && 5 x_9 \\
+  \end{bmatrix}
+$$
+
+Оба произведения должны быть поэлементно равны, поэтому должна выполняться система
+\begin{gather}
+  8x_7 - 3x_1 = x_2 - 3x_1\\
+  8x_8 - 3x_2 = -3x_2\\
+  8x_9 - 3x_3 = 8x_1 - x_2 + 5x_3\\
+  x_1 - 3x_4 - x_7 = x_5 - 3x_4\\
+  x_2 - 3x_5 - x_8 = -3x_5\\
+  x_3 - 3x_6 - x_9 = 8x_4 - x_5 + 5x_6\\
+  5x_7 = x_8 - 3x_7\\
+  5x_8 = -3x_8\\
+  5x_9 = 8x_7 - x_8 + 5x_9
+\end{gather}
+
+Из (1), (2), (5), (7), (8), (9) следует, что $x_2 = x_7 = x_8 = 0$.
+Остальные можно записать как уравнение
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+  1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
+  1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
+  0 & 1 & -8 & 1 & -8 & -1 \\
+\end{bmatrix}
+\times
+\begin{bmatrix}
+  x_1 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_9
+\end{bmatrix}
+=
+0
+$$
+
+С помощью \url{scr_2.py} переходим к
+$$
+\begin{bmatrix}
+  1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
+  0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
+  0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
+\end{bmatrix}
+\times
+\begin{bmatrix}
+  x_1 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_9
+\end{bmatrix}
+=
+0
+$$
+
+$x_9, x_6, x_5$ - свободные, $x_4 = -x_6$, $x_3 = x_9 - x_5$, $x_1 = x_5$.
+
+Тогда вид матрицы, коммутирующей с нужной:
+$$
+\begin{bmatrix}
+  x_5 & 0 & x_9 - x_5 \\
+  -x_6 & x_5 & x_6 \\
+  0 & 0 & x_9 \\
+\end{bmatrix} \text{ для любых } x_5, x_6, x_9 \in \mathbb{R}
+$$
+
+\clearpage
+
+\question{5.}{
+  Сколько главных переменных у $
+    \begin{bmatrix} 7 & -8 \\ -1 & -9 \end{bmatrix} \times
+    \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix} \times
+    \begin{bmatrix} 5 & -4 \\ -2 & t \end{bmatrix} = 0
+  $
+}
+
+Перемножим в лоб матрицы. Получим
+$$
+\begin{bmatrix}
+  35 & -40 & -14 & 16 \\
+  -5 & -45 & 2 & 18 \\
+  -28 & 32 & 7t & -8t \\
+  4 & 36 & -t & -9t \\
+\end{bmatrix} x = 0
+$$
+
+С помошью \url{scr_3} Получим
+$$
+\renewcommand\arraystretch{1.5}
+\begin{bmatrix}
+  1 & 0 & -2/5 & 0 \\
+  0 & 1 & 0 & -2/5 \\
+  0 & 0 & 7t - 56/5 & -8t + 64/5 \\
+  0 & 0 & 0 & -71/7t + 568/35 \\
+\end{bmatrix}
+=
+\begin{bmatrix}
+  1 & 0 & -2/5 & 0 \\
+  0 & 1 & 0 & -2/5 \\
+  0 & 0 & 7(t - 8/5) & -8(t - 8/5) \\
+  0 & 0 & 0 & -71/7(t - 8/5) \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+Отсюда следует, что если $t = 8/5$, то у системы ровно две свободные переменные ($x_3, x_4$)
+и, соответственно, две главные ($x_1, x_2$)
+а если $t \neq 8/5$, то мы можем последние строки разделить на $t - 8/5$ и получить ступенчатый вид.
+$$
+\begin{bmatrix}
+  1 & 0 & -2/5 & 0 \\
+  0 & 1 & 0 & -2/5 \\
+  0 & 0 & 7 & -8 \\
+  0 & 0 & 0 & -71/7 \\
+\end{bmatrix} =
+\begin{bmatrix}
+  1 & 0 & -2/5 & 0 \\
+  0 & 1 & 0 & -2/5 \\
+  0 & 0 & 7 & -8 \\
+  0 & 0 & 0 & 1 \\
+\end{bmatrix} = 
+\begin{bmatrix}
+  1 & 0 & -2/5 & 0 \\
+  0 & 1 & 0 & -2/5 \\
+  0 & 0 & 1 & 0 \\
+  0 & 0 & 0 & 1 \\
+\end{bmatrix} = 
+\begin{bmatrix}
+  1 & 0 & 0 & 0 \\
+  0 & 1 & 0 & 0 \\
+  0 & 0 & 1 & 0 \\
+  0 & 0 & 0 & 1 \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+Тогда все переменные будут главными.
+
+Поэтому $t = 8/5 \Rightarrow $ 2 главные переменные, $t \neq 8/5 \Rightarrow $ 4 главные переменные.
+
+\clearpage
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

