From 325d44c6428af3e70d0b4c5d78a1e1d117895f52 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Fri, 27 Dec 2019 10:33:43 +0300
Subject: Add stuff

---
 sol0930.tex | 227 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 227 insertions(+)
 create mode 100644 sol0930.tex

(limited to 'sol0930.tex')

diff --git a/sol0930.tex b/sol0930.tex
new file mode 100644
index 0000000..1f580b6
--- /dev/null
+++ b/sol0930.tex
@@ -0,0 +1,227 @@
+% -- LaTeX Template for Homework (S. Venkatraman) --
+
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[russian]{babel}
+
+
+\usepackage{
+  amsmath, amsthm, amssymb, mathtools,
+  graphicx, subfig, float,
+  listings, color, inconsolata,
+  fancyhdr, sectsty, hyperref, enumerate, framed }
+\usepackage[shortlabels]{enumitem}
+
+\flushbottom                                         % Uncomment to make text fill the entire page
+\usepackage[bottom]{footmisc}                        % Anchor footnotes to bottom of page
+\renewcommand{\baselinestretch}{1.06}                % Adjust line spacing
+%\setlength\parindent{0pt} % Remove paragraph indentation
+\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper,          % Set page margins
+  left=1.35in, right=1.35in,
+  top=1.1in, bottom=1in,
+  headsep=.2in }
+
+% -- Frame settings (for problem statement) --
+\setlength\FrameSep{0.55em}
+\setlength\OuterFrameSep{\partopsep}
+
+% -- 'question' is a custom command for writing the statement of a problem; first argument
+% is the question number, second argument is the statement --
+\newcommand{\question}[2]{\begin{framed}\noindent \textbf{#1} #2\end{framed}}
+\newcommand{\withbraces}[1]{\left( #1 \right)}
+\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil}
+\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}
+
+% -- Flush left for 'enumerate' numbers
+%\setlist[enumerate]{wide=0pt, leftmargin=21pt, labelwidth=0pt, align=left}
+
+\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta}
+
+% -- Make reference section title font smaller --
+%\renewcommand{\refname}{\normalsize\bf{References}}
+
+
+% -- Uncomment these lines to set font to 'Charter', with math support --
+%  \usepackage[bitstream-charter]{mathdesign}
+%  \usepackage[T1]{fontenc}
+
+
+% -- Left/right header text and footer (to appear on every page) --
+\pagestyle{fancy}
+\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
+\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
+\lhead{sol 0930}
+\rhead{Шарафатдинов Камиль БПМИ192}
+
+% -- Document starts here --
+\begin{document}
+\question{18.a}{
+  Доказать, что $\displaystyle \exists
+  \lim_{n\to\infty}{
+    \left(\frac{\cos 1}{3} + \frac{\cos 2}{3^2} + \ldots + \frac{\cos n}{3^n}\right)
+  }$
+}
+
+Пусть $m > n$.
+\begin{gather*}
+|a_m - a_n| = \left|
+    \frac{\cos (n)}{3^n} +
+    \frac{\cos (n + 1)}{3^{n + 1}} +
+    \ldots +
+    \frac{\cos m}{3^m}
+  \right|
+  <\\
+  <
+    \frac{1}{3^n} +
+    \frac{1}{3^{n + 1}} +
+    \ldots +
+    \frac{1}{3^m}
+  <
+    \frac{1}{3^n} \cdot \frac{3}{2} < \frac{1}{3^{n - 1}}
+\end{gather*}
+
+Чтобы выполнялось $\epsilon > a_m - a_n, (m, n > N)$:
+$$
+  \epsilon > \frac{1}{3^{n - 1}} \implies
+  \frac{1}{\epsilon} < 3^{n - 1} \implies
+  \log_3{\frac{1}{\epsilon}} < n - 1 \implies
+  N > \left\lceil \log_3{\frac{1}{\epsilon}} \right\rceil + 1
+$$
+По определению:
+\begin{gather*}
+\forall \epsilon > 0\ \ \  N = \left\lceil \log_3{\frac{1}{\epsilon}} \right\rceil + 1 + 1\\
+  \forall m > n > N\ \ \  \left\lceil \log_3{\frac{1}{\epsilon}} \right\rceil + 2 < N < n < m \\
+  \frac{1}{\epsilon} < 3^{n - 1} \implies \epsilon > \frac{1}{3^{n - 1}} > a_m - a_n = |a_m - a_n|
+\end{gather*}
+
+Значит, по критерию Коши последовательность сходится
+
+\question{18.c}{
+  Доказать, что $\displaystyle \exists
+  \lim_{n\to\infty}{
+    \left(\frac{\cos 1!}{1 \cdot 2} + \frac{\cos 2!}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{\cos n!}{n (n + 1)}\right)
+  }$
+}
+Пусть $m > n$.
+\begin{align*}
+|a_m - a_n| &=  \left|
+                \frac{\cos n!}{n (n + 1)} +
+                \frac{\cos (n + 1)!}{(n + 1)(n + 2)} +
+                \ldots +
+                \frac{\cos m!}{m (m + 1)}
+                \right|
+                <\\
+              &<
+                \frac{1}{n (n + 1)} +
+                \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} +
+                \ldots +
+                \frac{1}{m (m + 1)}
+                =\\
+              &=
+                \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}
+                \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}
+                \ldots
+                \frac{1}{m} - \frac{1}{m + 1}
+                =\\
+              &=
+                \frac{1}{n} - \frac{1}{m + 1} < \frac{1}{n}
+\end{align*}
+
+\begin{gather*}
+\forall \epsilon > 0\ \ \  N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil + 1 \\
+  \forall m > n > N\ \ \  \frac{1}{\epsilon} < N < n < m \\
+  \epsilon > \frac{1}{n} > \frac{1}{n} - \frac{1}{m + 1} > \ldots > |a_m - a_n|
+\end{gather*}
+
+Значит, по критерию Коши последовательность сходится
+
+\clearpage
+
+\question{19.a}{
+  Найти частичные пределы $\displaystyle
+    a_n = (-1)^n \cdot 2 + \frac{2}{n + 1}
+  $
+}
+
+\begin{align*}
+  a_{2k} = 2 + \frac{2}{2k + 1} &\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k} = 2\\\\
+  a_{2k + 1} = -2 + \frac{2}{2k + 2} &\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k + 1} = -2\\
+\end{align*}
+
+Частичными пределами будут $-2$ и $2$.
+Так как это все элементы последовательности, то больше частичных пределов нет.
+
+\question{19.b}{
+  Найти частичные пределы $\displaystyle
+    a_n = \frac{
+      n \cos {\frac{\pi n}{2}} + 1
+    }{
+      (-1)^n \cdot n^2 + 2
+    }
+  $
+}
+
+\begin{align*}
+  a_{4k} =     \frac{n + 1}{n^2 + 2}        &\qquad    \lim a_{4k} = 0\\\\
+  a_{4k + 1} = \frac{1}{-n^2 + 2}           &\qquad    \lim a_{4k} = 0\\\\
+  a_{4k + 2} = \frac{-n + 1}{n^2 + 2}       &\qquad    \lim a_{4k} = 0\\\\
+  a_{4k + 3} = \frac{1}{-n^2 + 2}           &\qquad    \lim a_{4k} = 0\\
+\end{align*}
+
+Все частичные пределы равны $0$.
+
+\clearpage
+
+\question{20}{
+  Найти верхний и нижний пределы
+  \begin{enumerate}[(a)]
+    \item $\displaystyle a_n = \left( 2 + (-1)^n \right)n$
+    \item $\displaystyle b_n = \sqrt[n]{ 1 + 2^{n \cdot (-1)^n} }$
+  \end{enumerate}
+}
+
+\begin{enumerate}[(a)]
+  \item {
+    \begin{align*}
+      a_{2k} = 3n      &\qquad  \lim_{k\to\infty} a_{2k} = +\infty\\
+      a_{2k + 1} = n   &\qquad  \lim_{k\to\infty} a_{2k + 1} = +\infty\\
+    \end{align*}
+    \text{Поэтому} $\displaystyle \varliminf_{n\to\infty} a_n = \varlimsup_{n\to\infty} a_n = +\infty$
+  }
+  \item {
+    \begin{align*}
+      b_{2k} = \sqrt[n]{1 + 2^n}                &\qquad  \lim_{k\to\infty} b_{2k} = \lim_{k\to\infty} 2^{\frac{n}{n}} = 1\\
+      b_{2k + 1} = \sqrt[n]{1 + \frac{1}{2^n}}  &\qquad  \lim_{k\to\infty} b_{2k + 1} = 1\\
+    \end{align*}
+    \text{Поэтому} $\displaystyle \varliminf_{n\to\infty} b_n = \varlimsup_{n\to\infty} b_n = 1$
+  }
+\end{enumerate}
+
+\question{21}{
+  \begin{enumerate}[(a)]
+    \item $a_n = n$
+    \item $b_n = n^{(-1)^n} = \left\{  1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4},\  \ldots  \right\}$
+    \item $C = \{ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \ \ldots \}$
+    \item {
+      \text{Пусть} $X_{n, k} = n + C_k$, \qquad
+      $Y = \{ X_{0, 1}, X_{0, 2}, X_{1, 1}, X_{0, 3}, X_{1, 2}, X_{2, 1}, \ \ldots \}$, \\
+      тогда $D = \{Y_1, -Y_1, Y_2, -Y_2, \ \ldots\}$
+    }
+  \end{enumerate}
+}
+
+\begin{enumerate}[(a)]
+  \item $a_n$ очевидно имеет ровно один частичный предел $+\infty$
+  \item $b_n$ имеет два частичных предела: $0$ и $+\infty$.
+  \item любое действительное число из отрезка $[0; 1]$ -- частичный предел $C$
+  \item {
+    любое иррациональное число из отрезка $[n; n + 1]$ -- частичный предел $X_n$, \\
+    поэтому любое иррациональное число из $\mathbb{R}_+$ -- частичный предел $Y$, \\
+    поэтому любое иррациональное число -- частичный предел $D$.
+  }
+\end{enumerate}
+
+
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

