% -- LaTeX Template for Homework (S. Venkatraman) --

\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}


\usepackage{
  amsmath, amsthm, amssymb, mathtools,
  graphicx, subfig, float,
  listings, color, inconsolata,
  fancyhdr, sectsty, hyperref, enumerate, framed }
\usepackage[shortlabels]{enumitem}

\flushbottom                                         % Uncomment to make text fill the entire page
\usepackage[bottom]{footmisc}                        % Anchor footnotes to bottom of page
\renewcommand{\baselinestretch}{1.06}                % Adjust line spacing
%\setlength\parindent{0pt} % Remove paragraph indentation
\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper,          % Set page margins
  left=1.35in, right=1.35in,
  top=1.1in, bottom=1in,
  headsep=.2in }

% -- Frame settings (for problem statement) --
\setlength\FrameSep{0.55em}
\setlength\OuterFrameSep{\partopsep}

% -- 'question' is a custom command for writing the statement of a problem; first argument
% is the question number, second argument is the statement --
\newcommand{\question}[2]{\begin{framed}\noindent \textbf{#1} #2\end{framed}}
\newcommand{\withbraces}[1]{\left( #1 \right)}
\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil}
\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}

% -- Flush left for 'enumerate' numbers
%\setlist[enumerate]{wide=0pt, leftmargin=21pt, labelwidth=0pt, align=left}

\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta}

% -- Make reference section title font smaller --
%\renewcommand{\refname}{\normalsize\bf{References}}


% -- Uncomment these lines to set font to 'Charter', with math support --
%  \usepackage[bitstream-charter]{mathdesign}
%  \usepackage[T1]{fontenc}


% -- Left/right header text and footer (to appear on every page) --
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\lhead{sol 0930}
\rhead{Шарафатдинов Камиль БПМИ192}

% -- Document starts here --
\begin{document}
\question{18.a}{
  Доказать, что $\displaystyle \exists
  \lim_{n\to\infty}{
    \left(\frac{\cos 1}{3} + \frac{\cos 2}{3^2} + \ldots + \frac{\cos n}{3^n}\right)
  }$
}

Пусть $m > n$.
\begin{gather*}
|a_m - a_n| = \left|
    \frac{\cos (n)}{3^n} +
    \frac{\cos (n + 1)}{3^{n + 1}} +
    \ldots +
    \frac{\cos m}{3^m}
  \right|
  <\\
  <
    \frac{1}{3^n} +
    \frac{1}{3^{n + 1}} +
    \ldots +
    \frac{1}{3^m}
  <
    \frac{1}{3^n} \cdot \frac{3}{2} < \frac{1}{3^{n - 1}}
\end{gather*}

Чтобы выполнялось $\epsilon > a_m - a_n, (m, n > N)$:
$$
  \epsilon > \frac{1}{3^{n - 1}} \implies
  \frac{1}{\epsilon} < 3^{n - 1} \implies
  \log_3{\frac{1}{\epsilon}} < n - 1 \implies
  N > \left\lceil \log_3{\frac{1}{\epsilon}} \right\rceil + 1
$$
По определению:
\begin{gather*}
\forall \epsilon > 0\ \ \  N = \left\lceil \log_3{\frac{1}{\epsilon}} \right\rceil + 1 + 1\\
  \forall m > n > N\ \ \  \left\lceil \log_3{\frac{1}{\epsilon}} \right\rceil + 2 < N < n < m \\
  \frac{1}{\epsilon} < 3^{n - 1} \implies \epsilon > \frac{1}{3^{n - 1}} > a_m - a_n = |a_m - a_n|
\end{gather*}

Значит, по критерию Коши последовательность сходится

\question{18.c}{
  Доказать, что $\displaystyle \exists
  \lim_{n\to\infty}{
    \left(\frac{\cos 1!}{1 \cdot 2} + \frac{\cos 2!}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{\cos n!}{n (n + 1)}\right)
  }$
}
Пусть $m > n$.
\begin{align*}
|a_m - a_n| &=  \left|
                \frac{\cos n!}{n (n + 1)} +
                \frac{\cos (n + 1)!}{(n + 1)(n + 2)} +
                \ldots +
                \frac{\cos m!}{m (m + 1)}
                \right|
                <\\
              &<
                \frac{1}{n (n + 1)} +
                \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} +
                \ldots +
                \frac{1}{m (m + 1)}
                =\\
              &=
                \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}
                \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}
                \ldots
                \frac{1}{m} - \frac{1}{m + 1}
                =\\
              &=
                \frac{1}{n} - \frac{1}{m + 1} < \frac{1}{n}
\end{align*}

\begin{gather*}
\forall \epsilon > 0\ \ \  N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil + 1 \\
  \forall m > n > N\ \ \  \frac{1}{\epsilon} < N < n < m \\
  \epsilon > \frac{1}{n} > \frac{1}{n} - \frac{1}{m + 1} > \ldots > |a_m - a_n|
\end{gather*}

Значит, по критерию Коши последовательность сходится

\clearpage

\question{19.a}{
  Найти частичные пределы $\displaystyle
    a_n = (-1)^n \cdot 2 + \frac{2}{n + 1}
  $
}

\begin{align*}
  a_{2k} = 2 + \frac{2}{2k + 1} &\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k} = 2\\\\
  a_{2k + 1} = -2 + \frac{2}{2k + 2} &\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k + 1} = -2\\
\end{align*}

Частичными пределами будут $-2$ и $2$.
Так как это все элементы последовательности, то больше частичных пределов нет.

\question{19.b}{
  Найти частичные пределы $\displaystyle
    a_n = \frac{
      n \cos {\frac{\pi n}{2}} + 1
    }{
      (-1)^n \cdot n^2 + 2
    }
  $
}

\begin{align*}
  a_{4k} =     \frac{n + 1}{n^2 + 2}        &\qquad    \lim a_{4k} = 0\\\\
  a_{4k + 1} = \frac{1}{-n^2 + 2}           &\qquad    \lim a_{4k} = 0\\\\
  a_{4k + 2} = \frac{-n + 1}{n^2 + 2}       &\qquad    \lim a_{4k} = 0\\\\
  a_{4k + 3} = \frac{1}{-n^2 + 2}           &\qquad    \lim a_{4k} = 0\\
\end{align*}

Все частичные пределы равны $0$.

\clearpage

\question{20}{
  Найти верхний и нижний пределы
  \begin{enumerate}[(a)]
    \item $\displaystyle a_n = \left( 2 + (-1)^n \right)n$
    \item $\displaystyle b_n = \sqrt[n]{ 1 + 2^{n \cdot (-1)^n} }$
  \end{enumerate}
}

\begin{enumerate}[(a)]
  \item {
    \begin{align*}
      a_{2k} = 3n      &\qquad  \lim_{k\to\infty} a_{2k} = +\infty\\
      a_{2k + 1} = n   &\qquad  \lim_{k\to\infty} a_{2k + 1} = +\infty\\
    \end{align*}
    \text{Поэтому} $\displaystyle \varliminf_{n\to\infty} a_n = \varlimsup_{n\to\infty} a_n = +\infty$
  }
  \item {
    \begin{align*}
      b_{2k} = \sqrt[n]{1 + 2^n}                &\qquad  \lim_{k\to\infty} b_{2k} = \lim_{k\to\infty} 2^{\frac{n}{n}} = 1\\
      b_{2k + 1} = \sqrt[n]{1 + \frac{1}{2^n}}  &\qquad  \lim_{k\to\infty} b_{2k + 1} = 1\\
    \end{align*}
    \text{Поэтому} $\displaystyle \varliminf_{n\to\infty} b_n = \varlimsup_{n\to\infty} b_n = 1$
  }
\end{enumerate}

\question{21}{
  \begin{enumerate}[(a)]
    \item $a_n = n$
    \item $b_n = n^{(-1)^n} = \left\{  1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4},\  \ldots  \right\}$
    \item $C = \{ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \ \ldots \}$
    \item {
      \text{Пусть} $X_{n, k} = n + C_k$, \qquad
      $Y = \{ X_{0, 1}, X_{0, 2}, X_{1, 1}, X_{0, 3}, X_{1, 2}, X_{2, 1}, \ \ldots \}$, \\
      тогда $D = \{Y_1, -Y_1, Y_2, -Y_2, \ \ldots\}$
    }
  \end{enumerate}
}

\begin{enumerate}[(a)]
  \item $a_n$ очевидно имеет ровно один частичный предел $+\infty$
  \item $b_n$ имеет два частичных предела: $0$ и $+\infty$.
  \item любое действительное число из отрезка $[0; 1]$ -- частичный предел $C$
  \item {
    любое иррациональное число из отрезка $[n; n + 1]$ -- частичный предел $X_n$, \\
    поэтому любое иррациональное число из $\mathbb{R}_+$ -- частичный предел $Y$, \\
    поэтому любое иррациональное число -- частичный предел $D$.
  }
\end{enumerate}



\end{document}