\documentclass[11pt]{article} %\usepackage[T2A]{fontenc} %\usepackage[utf8]{inputenc} %\usepackage[russian]{babel} \usepackage{scrextend} \usepackage[sfdefault,condensed,scaled=0.8]{roboto} \usepackage{inconsolata} \setmonofont[Scale=0.85]{Inconsolata} \setlength\headheight{13.6pt} \usepackage{ amsmath, amsthm, amssymb, mathtools, graphicx, subfig, float, listings, xcolor, fancyhdr, sectsty, hyperref, enumerate, framed, comment } \usepackage[shortlabels]{enumitem} \flushbottom % Uncomment to make text fill the entire page \usepackage[bottom]{footmisc} % Anchor footnotes to bottom of page \renewcommand{\baselinestretch}{1.06} % Adjust line spacing %\setlength\parindent{0pt} % Remove paragraph indentation \usepackage{geometry}\geometry{letterpaper, % Set page margins left=1in, right=1in, top=0.8in, bottom=0.9in, headsep=.1in } \setlength\FrameSep{0.75em} \setlength\OuterFrameSep{\partopsep} \newenvironment{cframed}[1][gray] {\def\FrameCommand{\fboxsep=\FrameSep\fcolorbox{#1}{white}}% \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}} {\endMakeFramed} \newcommand{\question}[2]{\doubleskip\begin{cframed}\noindent \textbf{#1} #2\end{cframed}} \newcommand{\withbraces}[1]{\left( #1 \right)} \DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil} \DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor} \DeclareMathOperator{\tg}{tg} \DeclareMathOperator{\ctg}{ctg} \DeclareMathOperator{\arctg}{arctg} \DeclareMathOperator{\const}{const} \DeclareMathOperator{\sign}{sign} \newcommand{\sinx}{\sin x} \newcommand{\cosx}{\cos x} \newcommand{\tgx}{\tg x} \newcommand{\doubleskip}{\bigskip \bigskip} \newcommand{\osmall}[1]{\overline{o}\left( #1 \right)} % -- Flush left for 'enumerate' numbers %\setlist[enumerate]{wide=0pt, leftmargin=21pt, labelwidth=0pt, align=left} \hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta} % -- Left/right header text and footer (to appear on every page) -- \pagestyle{fancy} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} \lhead{\color{gray} \texttt{sol1111}} \rhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль БПМИ192} \cfoot{} \rfoot{\thepage} % -- Here bet dragons -- \begin{document} \question{2}{ \begin{align*} &x \to 0,\ m > n > 0:\\ &\qquad O(x^n) + O(x^m) = O(x^n), \qquad O(x^n)O(x^m) = O(x^{n + m}) \end{align*} } По определению: \[ \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_n(x)}{x^n} \right| = A_n < \infty, \qquad \qquad \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_m(x)}{x^m} \right| = A_m < \infty, \qquad \qquad \] \begin{align*} 0 &\leq \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_n(x) + \varphi_m(x)}{x^n} \right| \\ &\leq \varlimsup_{x \to 0} \left( \left| \frac{\varphi_n(x)}{x^n} \right| + \left| \frac{\varphi_m(x)}{x^n} \right| \right)\\ &\leq A_n + \varlimsup_{x \to 0} \left| x^{m - n}\frac{\varphi_m(x)}{x^m} \right|\\ &\leq A_n + \varlimsup_{x \to 0} \left|x^{m - n}\right| \cdot \varlimsup_{x \to 0} \left|\frac{\varphi_m(x)}{x^m}\right|\\ &= A_n + 0 \cdot A_m = A_n < +\infty \end{align*} \qed \begin{align*} 0 &\leq \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_n(x) \varphi_m(x)}{x^{n + m}} \right|\\ &\leq \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_n(x)}{x^n} \right| \cdot \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_m(x)}{x^m} \right|\\ &= A_n A_m < +\infty \end{align*} \qed \question{11a}{ \[ x \to \infty, \qquad \frac{x + 1}{x^4 + 1} \] } \[ \frac{x + 1}{x^4 + 1} = \frac{x + 1}{x^4 + \osmall{x}} = \frac{x}{x^4 + \osmall{x}} + \frac{1}{x^4 + \osmall{x}} = \frac{1}{x^3 + \osmall{1}} + \osmall{\frac{1}{x^4}} = \frac{1}{x^3} + \osmall{\frac{1}{x^3}} \] Видно, что это бесконечно малая порядка $-3$ от $x$ (потому что $x$ -- не совсем бесконечно малая при $x \to \infty$) \question{12a}{ \[ x \to 0, \qquad g(x) = \sqrt{2x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \] } \[ g(x) = \sqrt{2x + \sqrt{\osmall{\sqrt{x}} + \sqrt{x}}} = \sqrt{2x + \osmall{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[4]{x}} = \sqrt{\osmall{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[4]{x}} = \osmall{\sqrt[8]{x}} + \sqrt[8]{x} \] \question{17.a}{ \[ x \to 0, \qquad \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \sim \sqrt[8]{x} \] } \begin{gather*} \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} = \sqrt{x + \sqrt{\osmall{\sqrt{x}} + \sqrt{x}}} = \sqrt{x + \osmall{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[4]{x}} =\\ = \sqrt{\osmall{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[4]{x}} = \osmall{\sqrt[8]{x}} + \sqrt[8]{x} \sim \sqrt[8]{x} \end{gather*} \question{17.b}{ \[ x \to 0, \qquad \arctg \frac{1}{x} = O(1) \] } На интервале $(1, +\infty)$ $\arctg$ ограничен сверху и снизу $\pi/2$ и $\pi/4$, поэтому $\arctg \frac{1}{x} = O(1)$ \question{17.c}{ \[ x \to 0, \qquad \sinh x \sim x \] } \[ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{(1 + x + \osmall{x}) - (1 - x + \osmall{x})}{2} = \frac{2x + \osmall{x}}{2} \sim x \] %\question{17.d}{ % \[ % x \to 0, \qquad \cosh x = 1 + \frac{x^2}{2} + \osmall{x} % \] %} % \[ % \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = % \] \question{18.a}{ \[ x^3 - 3x + 2 \] } \[ x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^3 + 3x^2 - 6x + 3 = (x - 1)^3 + 3(x - 1)^2 = 3(x - 1)^2 + \osmall{(x - 1)^2} \] У этой функции порядок малости 2 относительно (x - 1) \clearpage %\question{18.b}{ % \[ % \sqrt[3]{1 - \sqrt{x}} % \] %} % \[ % \sqrt[3]{1 - \sqrt{x}} = % \sqrt[3]{1 - \sqrt{x - 1 + 1}} = % \] \question{18.c}{ \[ \ln x \] } \[ \ln x = \ln (x - 1 + 1) = x - 1 + \osmall{x - 1} \] $\ln x$ и $x - 1$ -- малые одного порядка \question{18.d}{ \[ e^x - e \] } \[ e^x - e = e (e^{x - 1} - 1) = e (1 + (x - 1) + \osmall(x - 1) - 1) = e (x - 1) + e\osmall(x - 1) \sim e(x - 1) \] $x - 1$ и $e(x - 1)$ -- малые одного порядка \question{19.a}{ \[ \frac{x^2}{x^2 - 1} \] } \begin{gather*} \frac{x^2}{x^2 - 1} = 1 + \frac{1}{x^2 - 1} = \osmall{\frac{1}{x - 1}} +\frac{1}{(x - 1)^2 + 2x - 2} =\\\\ \osmall{\frac{1}{x - 1}} +\frac{1}{(x - 1)^2 + \osmall{(x - 1)^2}} \sim \frac{1}{(x - 1)^2} \end{gather*} Это бесконечно малая 2 порядка относительно $\displaystyle \frac{1}{x - 1}$ \question{19.b}{ \[ \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} \] } \[ \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} = \sqrt{\frac{2 + x - 1}{1 - x}} = \sqrt{-1 + \frac{2}{1 - x}} = \osmall{\sqrt{\frac{1}{1 - x}}} + \sqrt{\frac{2}{1 - x}} \sim \sqrt{\frac{1}{1 - x}} \] Это бесконечно малая порядка $\frac{1}{2}$ относительно $\frac{1}{x - 1}$ \clearpage \question{19.c}{ \[ \frac{x}{\sqrt[3]{1 - x^3}} = \] } \begin{gather*} \sqrt[3]{1 - x^3} = \sqrt[3]{(1 - x)^3 - 3x + 3x^2} = \sqrt[3]{(1 - x)^3 + 3( (x - 1)^2 + (x - 1) )} =\\= \sqrt[3]{(1 - x)^3 + \osmall{(1 - x)^3}} = 1 - x + \osmall{1 - x} \end{gather*} \begin{gather*} \frac{x}{1 - x + \osmall{1 - x}} = -1 + \osmall{1} + \frac{1}{1 - x + \osmall{1 - x}} \sim \frac{1}{1 - x} \end{gather*} Это бесконечно малая того же порядка \question{19.d}{ \[ \frac{\ln x}{(1 - x)^2} \] } \[ \frac{\ln x}{(1 - x)^2} = \frac{x - 1 + \osmall{x}}{(1 - x)^2} \sim -\frac{1}{(1 - x)} \] Это бесконечно малая того же порядка \clearpage \question{Лемма}{ Некоторые свойства непрерывных функций \begin{enumerate} \item $h(x) = x$ непрерывна в $\mathbb{R}$ \item $h(x) = \sin x$ непрерывна в $\mathbb{R}$ \item $h = Cf(x)$ непрерывна, если $f(x)$ непрерывна в точке и $C = \const$ \item $h = f(x) + g(x)$ непрерывна, если $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке \item $h = f(x)g(x)$ непрерывна, если $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке \item $h = \frac{f(x)}{g(x)}$ непрерывна, если $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке и $g(a) \neq 0$ \end{enumerate} } Доказательства сразу следуют из свойств пределов \begin{addmargin}[2em]{0pt} \begin{enumerate} \item $\displaystyle \lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} x = a \qed$ \item Справа: $\displaystyle |x - a| < \varepsilon \Rightarrow \sin x - \sin a = 2\sin\frac{x - a}{2}\cos\frac{x + a}{2} \leq 2\sin\frac{x - a}{2} < 2 \frac{x - a}{2} < \varepsilon $\\ Слева аналогично. \item $\displaystyle \lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} Cf(x) = C\lim_{x \to a} f(x) = Cf(a) = h(x)\qed$ \item $\displaystyle \lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} f(x) + g(x) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = f(a) + g(a) = h(x) \qed$ \item $\displaystyle \lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} f(x)g(x) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) = f(a)g(a) = h(x) \qed$ \item $\displaystyle \lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} = \frac{f(a)}{g(a)} = h(x) \qed$ \end{enumerate} \end{addmargin} \medskip Дальше классификация разрывов идет так: \begin{addmargin}[2em]{0pt} \begin{enumerate}[noitemsep] \item устранимые, когда функция с обеих сторон стремится к одной и той же точке \item неустранимые, когда у функции скачок (разные пределы слева и справа) не \item неустранимые, когда хотя бы с одной из сторон вообще нет предела \item особняком стоит случай, когда предел уходит в бесконечность \end{enumerate} \end{addmargin} \question{20.a}{ \[ f(x) = \frac{|x - 1|}{x^3 - x^2} \] } \[ f(x) = \frac{|x - 1|}{x^3 - x^2} = \frac{1}{x^2}\frac{|x - 1|}{x - 1} \] Рассмотрим $f(x)$ отдельно на $(-\infty; 0), \{0\}, (0, 1), \{1\}, (1, +\infty)$ На всех интервалах она непрерывна по лемме, поскольку все интервалы входят в ее область определения \begin{minipage}{0.45\textwidth} \begin{align*} \lim_{x \to 0_+} \frac{1}{x^2} \cdot (-1) = -\infty\\ \lim_{x \to 0_-} \frac{1}{x^2} \cdot (-1) = +\infty\\ \end{align*} \qquad\qquad\qquad Разрыв 4 типа \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth} \begin{tabular}{|p{\textwidth}} \begin{align*} \lim_{x \to 1_+} \frac{1}{x^2} \frac{x - 1}{x - 1} = +\infty\\ \lim_{x \to 1_-} \frac{1}{x^2} \frac{1 - x}{x - 1} = -\infty\\ \end{align*} \qquad\qquad\qquad Разрыв 4 типа \end{tabular} \end{minipage} \question{20.b}{ \[ f(x) = \frac{x}{\sin x} \] } По лемме $f(x)$ непрерывна на $\mathbb{R} \setminus \{\pi n, n \in \mathbb{Z}\}$ \[ \lim_{x \to \pi n} \frac{x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x + \pi n}{\sin (x + \pi n)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} + \frac{\pi n}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 \] $f(x)$ не определена в $\{\pi n, n \in \mathbb{Z}\}$, поэтому разрывы в этих точках устранимые (1 тип) \question{20.c}{ \[ f(x) = \begin{cases} x\sin\frac{1}{x}, & x \neq 0\\ a, & x = 0 \end{cases} \] } По лемме $f(x)$ непрерывна при $x \neq 0$ \begin{gather*} \lim_{x \to 0_+} x\sin\frac{1}{x} = 0\\ \lim_{x \to 0_-} x\sin\frac{1}{x} = 0 \end{gather*} Если $a = 0$, то функция непрерывна на $\mathbb{R}$, иначе - в $0$ есть устранимый разрыв 1 типа \question{20.e}{ \[ f(x) = \sign(\sin\frac{\pi}{x}) \] } Синус меняет знак в точках вида $\pi n, n \in \mathbb{Z}$, то есть при $x = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{Z}$. В интервалах между такими точками $\sign$ -- константа, поэтому непрерывен \begin{gather*} \lim_{x \to \frac{1}{n}_+} \sign(\sin\frac{1}{x}) = (-1)^{n + 1}\\ \lim_{x \to \frac{1}{n}_-} \sign(\sin\frac{1}{x}) = (-1)^{n} \end{gather*} Разрыв не устранимый, так как пределы сходятся к $+1$ и $-1$. так как точки разрыва (точки смены знака) находятся сколь угодно близко к $0$, то предела в $0$ нет, поэтому разрыв 3 типа \question{20.f}{ \[ f(x) = \begin{cases} x, &x \in \mathbb{Q}\\ 0, &x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} \] } В любой окресности любого рационального числа лежит бесконечное количество иррациональных чисел, поэтому $f(x)$ разрывна (3 тип) в любой рациональной точке, кроме 0, в котором она непрерывна. В любой окресности иррационального числа $r$ лежит бесконечно много рациональных точек, по модулю больших $|r| - \varepsilon$, поэтому в иррациональных точках $f(x)$ тоже имеет разрывы 3 типа в иррациональных точках \question{20.g}{ \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{n}, & x = \frac{m}{n}, \quad (m, n) = 1\\ 0, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} \] } Заметим, что как и в предыдущем пункте f(x) имеет разрывы 3 типа в рациональных точках, кроме $0$. Рассмотрим иррациональную точку. В ограниченной её окрестности находится конечное число точек, в которых функция принимает значение 1. И конечное число точек, в которых функция принимает значение 2. И так далее, мы можем стягиванием интервала ограничивать сверху максимум на нем. Поэтому для любого $\varepsilon$ найдется соответствующая $\delta$ и в иррациональной точке предел будет равняться нулю. Как и значение функции в этой точке. Поэтому $f(x)$ непрерывна только в иррациональных точках и $0$, а в рациональных без $0$ она имеет разрывы 3 типа. \end{document}