\documentclass[11pt]{article}
%\usepackage[T2A]{fontenc}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{scrextend}

\usepackage[sfdefault,condensed,scaled=0.8]{roboto}
\usepackage{inconsolata}
\setmonofont[Scale=0.85]{Inconsolata}

\setlength\headheight{13.6pt}

\usepackage{
  amsmath, amsthm, amssymb, mathtools,
  graphicx, subfig, float,
  listings, xcolor,
  fancyhdr, sectsty, hyperref, enumerate, framed,
  comment
}
\usepackage[shortlabels]{enumitem}

\flushbottom                                         % Uncomment to make text fill the entire page
\usepackage[bottom]{footmisc}                        % Anchor footnotes to bottom of page
\renewcommand{\baselinestretch}{1.06}                % Adjust line spacing
%\setlength\parindent{0pt} % Remove paragraph indentation
\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper,          % Set page margins
    left=1in, right=1in,
    top=0.8in, bottom=0.9in,
    headsep=.1in
}


\setlength\FrameSep{0.75em}
\setlength\OuterFrameSep{\partopsep}

\newenvironment{cframed}[1][gray]
  {\def\FrameCommand{\fboxsep=\FrameSep\fcolorbox{#1}{white}}%
    \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}
  {\endMakeFramed}

\newcommand{\question}[2]{\doubleskip\begin{cframed}\noindent \textbf{#1} #2\end{cframed}}
\newcommand{\withbraces}[1]{\left( #1 \right)}

\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil}
\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}

\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
\DeclareMathOperator{\const}{const}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}

\newcommand{\sinx}{\sin x}
\newcommand{\cosx}{\cos x}
\newcommand{\tgx}{\tg x}

\newcommand{\doubleskip}{\bigskip \bigskip}
\newcommand{\osmall}[1]{\overline{o}\left( #1 \right)}

% -- Flush left for 'enumerate' numbers
%\setlist[enumerate]{wide=0pt, leftmargin=21pt, labelwidth=0pt, align=left}

\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta}

% -- Left/right header text and footer (to appear on every page) --
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\lhead{\color{gray} \texttt{sol1111}}
\rhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль БПМИ192}
\cfoot{}
\rfoot{\thepage}


% -- Here bet  dragons --
\begin{document}

\question{2}{
    \begin{align*}
        &x \to 0,\  m > n > 0:\\
        &\qquad O(x^n) + O(x^m) = O(x^n), \qquad O(x^n)O(x^m) = O(x^{n + m})
    \end{align*}
}

    По определению:
    \[
        \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_n(x)}{x^n} \right| = A_n < \infty, \qquad \qquad
        \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_m(x)}{x^m} \right| = A_m < \infty, \qquad \qquad
    \]

    \begin{align*}
        0 &\leq \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_n(x) + \varphi_m(x)}{x^n} \right| \\
        &\leq \varlimsup_{x \to 0} \left( \left| \frac{\varphi_n(x)}{x^n} \right|
                + \left| \frac{\varphi_m(x)}{x^n} \right| \right)\\
        &\leq
        A_n + \varlimsup_{x \to 0} \left| x^{m - n}\frac{\varphi_m(x)}{x^m} \right|\\
        &\leq A_n + \varlimsup_{x \to 0} \left|x^{m - n}\right| \cdot
                \varlimsup_{x \to 0} \left|\frac{\varphi_m(x)}{x^m}\right|\\
        &= A_n + 0 \cdot A_m = A_n < +\infty
    \end{align*}
    \qed

    \begin{align*}
        0 &\leq \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_n(x) \varphi_m(x)}{x^{n + m}} \right|\\
        &\leq \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_n(x)}{x^n} \right| \cdot
              \varlimsup_{x \to 0} \left| \frac{\varphi_m(x)}{x^m} \right|\\
        &= A_n A_m < +\infty
    \end{align*}
    \qed

\question{11a}{
    \[
        x \to \infty, \qquad \frac{x + 1}{x^4 + 1}
    \]
}

    \[
        \frac{x + 1}{x^4 + 1} = \frac{x + 1}{x^4 + \osmall{x}} =
        \frac{x}{x^4 + \osmall{x}} + \frac{1}{x^4 + \osmall{x}} =
        \frac{1}{x^3 + \osmall{1}} + \osmall{\frac{1}{x^4}} = \frac{1}{x^3} + \osmall{\frac{1}{x^3}}
    \]

    Видно, что это бесконечно малая порядка $-3$ от $x$ (потому что $x$ -- не совсем бесконечно малая при $x \to \infty$)

\question{12a}{
    \[
        x \to 0, \qquad g(x) = \sqrt{2x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}
    \]
}

    \[
        g(x) = \sqrt{2x + \sqrt{\osmall{\sqrt{x}} + \sqrt{x}}} =
        \sqrt{2x + \osmall{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[4]{x}} =
        \sqrt{\osmall{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[4]{x}} = \osmall{\sqrt[8]{x}} + \sqrt[8]{x}
    \]

\question{17.a}{
    \[
        x \to 0, \qquad \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \sim \sqrt[8]{x}
    \]
}

    \begin{gather*}
        \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} =
        \sqrt{x + \sqrt{\osmall{\sqrt{x}} + \sqrt{x}}} =
        \sqrt{x + \osmall{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[4]{x}} =\\
     = \sqrt{\osmall{\sqrt[4]{x}} + \sqrt[4]{x}} =
        \osmall{\sqrt[8]{x}} + \sqrt[8]{x} \sim \sqrt[8]{x}
    \end{gather*}

\question{17.b}{
    \[
        x \to 0, \qquad \arctg \frac{1}{x} = O(1)
    \]
}
    
    На интервале $(1, +\infty)$ $\arctg$ ограничен сверху и снизу $\pi/2$ и $\pi/4$,
    поэтому $\arctg \frac{1}{x} = O(1)$

\question{17.c}{
    \[
        x \to 0, \qquad \sinh x \sim x
    \]
}

    \[
        \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} =
        \frac{(1 + x + \osmall{x}) - (1 - x + \osmall{x})}{2} =
        \frac{2x + \osmall{x}}{2} \sim x
    \]

%\question{17.d}{
%    \[
%        x \to 0, \qquad \cosh x = 1 + \frac{x^2}{2} + \osmall{x}
%    \]
%}

%    \[
%        \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} =
%    \]

\question{18.a}{
    \[
        x^3 - 3x + 2
    \]
}

    \[
        x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^3 + 3x^2 - 6x + 3 = (x - 1)^3 + 3(x - 1)^2 =
        3(x - 1)^2 + \osmall{(x - 1)^2}
    \]

    У этой функции порядок малости 2 относительно (x - 1)

\clearpage

%\question{18.b}{
%    \[
%        \sqrt[3]{1 - \sqrt{x}}
%    \]
%}
%    \[
%        \sqrt[3]{1 - \sqrt{x}} =
%        \sqrt[3]{1 - \sqrt{x - 1 + 1}} =
%    \]

\question{18.c}{
    \[
        \ln x
    \]
}

    \[
        \ln x = \ln (x - 1 + 1) = x - 1 + \osmall{x - 1}
    \]

    $\ln x$ и $x - 1$ -- малые одного порядка

\question{18.d}{
    \[
        e^x - e
    \]
}

    \[
        e^x - e = e (e^{x - 1} - 1) = e (1 + (x - 1) + \osmall(x - 1) - 1) =
        e (x - 1) + e\osmall(x - 1) \sim e(x - 1)
    \]

    $x - 1$ и $e(x - 1)$ -- малые одного порядка

\question{19.a}{
    \[
        \frac{x^2}{x^2 - 1}
    \]
}
    \begin{gather*}
        \frac{x^2}{x^2 - 1} =
        1 + \frac{1}{x^2 - 1} =
        \osmall{\frac{1}{x - 1}} +\frac{1}{(x - 1)^2 + 2x - 2} =\\\\
        \osmall{\frac{1}{x - 1}} +\frac{1}{(x - 1)^2 + \osmall{(x - 1)^2}} \sim
        \frac{1}{(x - 1)^2}
    \end{gather*}

    Это бесконечно малая 2 порядка относительно $\displaystyle \frac{1}{x - 1}$

\question{19.b}{
    \[
        \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}
    \]
}
    \[
        \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} =
        \sqrt{\frac{2 + x - 1}{1 - x}} =
        \sqrt{-1 + \frac{2}{1 - x}} =
        \osmall{\sqrt{\frac{1}{1 - x}}} + \sqrt{\frac{2}{1 - x}} \sim
        \sqrt{\frac{1}{1 - x}}
    \]

    Это бесконечно малая порядка $\frac{1}{2}$ относительно $\frac{1}{x - 1}$

\clearpage

\question{19.c}{
    \[
        \frac{x}{\sqrt[3]{1 - x^3}} = 
    \]
}
    \begin{gather*}
        \sqrt[3]{1 - x^3} =
        \sqrt[3]{(1 - x)^3 - 3x + 3x^2} =
        \sqrt[3]{(1 - x)^3 + 3( (x - 1)^2 + (x - 1) )} =\\=
        \sqrt[3]{(1 - x)^3 + \osmall{(1 - x)^3}} =
        1 - x + \osmall{1 - x}
    \end{gather*}
    \begin{gather*}
        \frac{x}{1 - x + \osmall{1 - x}} =
        -1 + \osmall{1} + \frac{1}{1 - x + \osmall{1 - x}} \sim \frac{1}{1 - x}
    \end{gather*}

    Это бесконечно малая того же порядка

\question{19.d}{
    \[
        \frac{\ln x}{(1 - x)^2}
    \]
}
    \[
        \frac{\ln x}{(1 - x)^2} =
        \frac{x - 1 + \osmall{x}}{(1 - x)^2} \sim
        -\frac{1}{(1 - x)}
    \]

    Это бесконечно малая того же порядка
\clearpage

\question{Лемма}{
    Некоторые свойства непрерывных функций
    \begin{enumerate}
        \item $h(x) = x$ непрерывна в $\mathbb{R}$
        \item $h(x) = \sin x$ непрерывна в $\mathbb{R}$
        \item $h = Cf(x)$ непрерывна, если $f(x)$ непрерывна в точке и $C = \const$
        \item $h = f(x) + g(x)$ непрерывна, если $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке
        \item $h = f(x)g(x)$ непрерывна, если $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке
        \item $h = \frac{f(x)}{g(x)}$ непрерывна, если $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке и 
            $g(a) \neq 0$
    \end{enumerate}
}
    
    Доказательства сразу следуют из свойств пределов
    \begin{addmargin}[2em]{0pt}
    \begin{enumerate}
        \item $\displaystyle
            \lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} x = a \qed$
        \item Справа: $\displaystyle |x - a| < \varepsilon \Rightarrow \sin x - \sin a = 2\sin\frac{x - a}{2}\cos\frac{x + a}{2} \leq 2\sin\frac{x - a}{2} < 2 \frac{x - a}{2} < \varepsilon
        $\\ Слева аналогично.
        \item $\displaystyle
            \lim_{x \to a} h(x) =
            \lim_{x \to a} Cf(x) =
            C\lim_{x \to a} f(x) =
            Cf(a) = h(x)\qed$
        \item $\displaystyle
            \lim_{x \to a} h(x) =
            \lim_{x \to a} f(x) + g(x) =
            \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) =
            f(a) + g(a) = h(x) \qed$
        \item $\displaystyle
            \lim_{x \to a} h(x) =
            \lim_{x \to a} f(x)g(x) =
            \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) =
            f(a)g(a) = h(x) \qed$
        \item $\displaystyle
            \lim_{x \to a} h(x) =
            \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =
            \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} =
            \frac{f(a)}{g(a)} = h(x) \qed$
    \end{enumerate}
    \end{addmargin}

    \medskip
    Дальше классификация разрывов идет так:
    \begin{addmargin}[2em]{0pt}
    \begin{enumerate}[noitemsep]
        \item устранимые, когда функция с обеих сторон стремится к одной и той же точке
        \item неустранимые, когда у функции скачок (разные пределы слева и справа) не
        \item неустранимые, когда хотя бы с одной из сторон вообще нет предела
        \item особняком стоит случай, когда предел уходит в бесконечность
    \end{enumerate}
    \end{addmargin}

\question{20.a}{
    \[
        f(x) = \frac{|x - 1|}{x^3 - x^2}
    \]
}
    \[
        f(x) = \frac{|x - 1|}{x^3 - x^2} = \frac{1}{x^2}\frac{|x - 1|}{x - 1}
    \]

    Рассмотрим $f(x)$ отдельно на $(-\infty; 0), \{0\}, (0, 1), \{1\}, (1, +\infty)$

    На всех интервалах она непрерывна по лемме, поскольку все интервалы входят в ее область определения

    \begin{minipage}{0.45\textwidth}
        \begin{align*}
                \lim_{x \to 0_+} \frac{1}{x^2} \cdot (-1) = -\infty\\
                \lim_{x \to 0_-} \frac{1}{x^2} \cdot (-1) = +\infty\\
        \end{align*}
        \qquad\qquad\qquad Разрыв 4 типа
    \end{minipage}%
    \hfill
    \begin{minipage}{0.45\textwidth}
    \begin{tabular}{|p{\textwidth}}
        \begin{align*}
            \lim_{x \to 1_+} \frac{1}{x^2} \frac{x - 1}{x - 1} = +\infty\\
            \lim_{x \to 1_-} \frac{1}{x^2} \frac{1 - x}{x - 1} = -\infty\\
        \end{align*}
        \qquad\qquad\qquad Разрыв 4 типа
    \end{tabular}
    \end{minipage}

\question{20.b}{
    \[
        f(x) = \frac{x}{\sin x}
    \]
}

    По лемме $f(x)$ непрерывна на $\mathbb{R} \setminus \{\pi n, n \in \mathbb{Z}\}$

    \[
        \lim_{x \to \pi n} \frac{x}{\sin x} =
        \lim_{x \to 0} \frac{x + \pi n}{\sin (x + \pi n)} =
        \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} + \frac{\pi n}{\sin x} =
        \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1
    \]

    $f(x)$ не определена в $\{\pi n, n \in \mathbb{Z}\}$, поэтому разрывы в этих точках устранимые (1 тип)

\question{20.c}{
    \[
        f(x) = \begin{cases}
            x\sin\frac{1}{x}, & x \neq 0\\
            a, & x = 0
        \end{cases}
    \]
}

    По лемме $f(x)$ непрерывна при $x \neq 0$
    \begin{gather*}
        \lim_{x \to 0_+} x\sin\frac{1}{x} = 0\\
        \lim_{x \to 0_-} x\sin\frac{1}{x} = 0
    \end{gather*}

    Если $a = 0$, то функция непрерывна на $\mathbb{R}$,
    иначе - в $0$ есть устранимый разрыв 1 типа

\question{20.e}{
    \[
        f(x) = \sign(\sin\frac{\pi}{x})
    \]
}

    Синус меняет знак в точках вида $\pi n, n \in \mathbb{Z}$, то есть при $x = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{Z}$.
    В интервалах между такими точками $\sign$ -- константа, поэтому непрерывен

    \begin{gather*}
        \lim_{x \to \frac{1}{n}_+} \sign(\sin\frac{1}{x}) = (-1)^{n + 1}\\
        \lim_{x \to \frac{1}{n}_-} \sign(\sin\frac{1}{x}) = (-1)^{n}
    \end{gather*}

    Разрыв не устранимый, так как пределы сходятся к $+1$ и $-1$.
    так как точки разрыва (точки смены знака) находятся сколь угодно близко к $0$, то
    предела в $0$ нет, поэтому разрыв 3 типа

\question{20.f}{
    \[
        f(x) = \begin{cases}
            x, &x \in \mathbb{Q}\\
            0, &x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
        \end{cases}
    \]
}

    В любой окресности любого рационального числа лежит бесконечное количество иррациональных чисел, поэтому $f(x)$ разрывна (3 тип) в любой рациональной точке, кроме 0, в котором она непрерывна.

    В любой окресности иррационального числа $r$ лежит бесконечно много рациональных точек, по модулю больших $|r| - \varepsilon$, поэтому в иррациональных точках $f(x)$ тоже имеет разрывы 3 типа в иррациональных точках

\question{20.g}{
    \[
        f(x) = \begin{cases}
            \frac{1}{n}, & x = \frac{m}{n}, \quad (m, n) = 1\\
            0, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
        \end{cases}
    \]
}

    Заметим, что как и в предыдущем пункте f(x) имеет разрывы 3 типа в рациональных точках, кроме $0$.

    Рассмотрим иррациональную точку. В ограниченной её окрестности находится конечное число точек, в которых функция принимает значение 1. И конечное число точек, в которых функция принимает значение 2. И так далее, мы можем стягиванием интервала ограничивать сверху максимум на нем. Поэтому для любого $\varepsilon$ найдется соответствующая $\delta$ и в иррациональной точке предел будет равняться нулю. Как и значение функции в этой точке.

    Поэтому $f(x)$ непрерывна только в иррациональных точках и $0$, а в рациональных без $0$ она имеет разрывы 3 типа.
\end{document}
