\documentclass[11pt]{article}
%\usepackage[T2A]{fontenc}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage[russian]{babel}

\usepackage{datetime2}

\input{intro}

\lhead{\color{gray} Матанализ}
\rhead{\color{gray} sol1118}

\makeatletter
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
  \hskip -\arraycolsep
  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
  \array{#1}}
\makeatother


\DeclareMathOperator{\chr}{char}

% -- Here bet  dragons --
\begin{document}

%\section*{Abstract}


\question{2}{
    Сформулировать определение неравномерной непрерывности
}

    Функция $f$ неравномерно непрерывна на $[a, b]$, если она непрерывна на $[a, b]$, но:
    \[
        \exists \varepsilon > 0 :\ \  \exists x_1, x_2 :\ \  |x_1 - x_2| < \delta(\varepsilon), \left| f(x_1) - f(x_2) \right| \geq \varepsilon
    \]

\question{6}{
    \[
        f(xy) = f(x)f(y) \Rightarrow f(x) = x^a
    \]
}

    \[
        f(1 \cdot 1) = f(1)^2 \Rightarrow f(1)(f(1) - 1) = 0 \Rightarrow
        \begin{cases}
            f(1) = 0 \Rightarrow f(x) = f(1)f(x) = 0 \Rightarrow f(x) \equiv 0\\
            f(1) = 1
        \end{cases}
    \]

    \[
        f(x) = f(x^{\frac{1}{n}})f(x^{\frac{n - 1}{n}}) = \ldots = f(\sqrt[n]{x})^n
    \]

    Из предыдущего равенства следует такое:
    \[
        \left(f(x^n)\right)^{\frac{1}{n}} = f(x)
    \]

    Из двух предыдущих:
    \[
        f(x) = f(x^{\frac{m}{n}})^{\frac{n}{m}}
    \]

    Так как $f(x)$ - непрерывна, то можем перейти к пределам:

    \[
        \lim_{x \to x_0} f(x_0) = f(x_0^y)^{\frac{1}{y}}, \ \ y \in \mathbb{R}
    \]
    \[
        \lim_{x \to x_0} f(x_0) = f(x_0^{\log_{x_0}z})^{\log_z x_0} \Rightarrow
        f(z) = f(x_0)^{\log_z x_0}, \qquad z \neq 1
    \]

    Примем $x_0$ за $2$. Тогда $f(x_0) = f(2) = 2^a$ для некоторого $a$.
    Для 1 мы доказали, что $f(1) = 1$, а для любого $z \neq 1$:
        \[
            f(z) = f(2)^{\log_z 2} = 2^{a \log_z 2} = z^a \qed
        \]

    Непрерывностью я пользовался для перехода к иррациональным числам и скорее всего она здесь нужна при любом решении.

\question{7.b}{
    \[
        f(x) = \ln x
    \]
}

    $f(x)$ непрерывна:
    \[
        \forall \varepsilon > 0 : \qquad
            \delta = x_0(1 - \frac{1}{e^\varepsilon}) \Rightarrow 
            \forall x_1: |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow x_0 < e^\epsilon x_1
            \Rightarrow \ln \frac{x_0}{x_1} < \ln e^\varepsilon < \varepsilon
    \]

    Но не равномерно:
    \[
        \forall \varepsilon, \delta > 0: \qquad
            x_1 = \frac{\delta}{2}, x_2 = \frac{\delta}{2e}: \qquad
            \ln \frac{x_1}{x_2} = \ln e = 1 > \varepsilon
    \]

\question{7.c}{
    \[
        f(x) = e^x \cos(\frac{1}{x})
    \]
}

    Чтобы $f(x)$ была равномерно непрерывной мы хотим, чтобы при любом $n$:
    \begin{gather*}
        e^{\frac{1}{2\pi n}} + e^{\frac{1}{2\pi n + n}} < \varepsilon\\
        2e^\frac{1}{2\pi n} < \varepsilon\\
        \frac{1}{2\pi n} < \ln \frac{\varepsilon}{2}\\
        2\pi n > \frac{1}{\ln \frac{\varepsilon}{2}}\\
        n > \frac{1}{\ln \frac{\varepsilon}{2} 2\pi}\\
    \end{gather*}

    При маленьких $\varepsilon$ это работает, поэтому функция равномерно непрерывна.

\question{7.d}{
    \[
        f(x) = x + \sinx
    \]
}

    $f(x)$ непрерывна:
    \begin{gather*}
        \forall \varepsilon > 0: \qquad
            \delta = \frac{\varepsilon}{4}. \qquad
        |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow\\
        x_1 - x_2 + \sin x_1 - \sin x_2 =
        x_1 - x_2 + \sin \frac{x_1 - x_2}{2} \cos \frac{x_1 + x_2}{2} \leq\\
        x_1 - x_2 + \sin \frac{x_1 - x_2}{2} \leq
        x_1 - x_2 + \frac{x_1 - x_2}{2} < \tfrac{3}{4}\varepsilon < \varepsilon
    \end{gather*}

    И так как выбор $\delta$ не зависел от $x$, то она равномерно непрерывна

\question{10}{
    \[
        \overset{\infty}{\underset{n = 2}\cup} \left[ \tfrac{1}{n}, 1 \right] = (0, 1]
    \]
}

    Понятно, что $\forall n \in \mathbb{N}: \ \ \ [\tfrac{1}{n}, 1] \subseteq (0, 1]$

    Докажем, что $\forall x \in (0, 1] \ \ \ \exists n \in \mathbb{N}: \ \ x \in [\tfrac{1}{n}, 1]$:
    \[
        n = \left\lceil\frac{1}{x}\right\rceil \Rightarrow \frac{1}{n} \leq x \Rightarrow x \in [\tfrac{1}{n}, 1]
    \]

    Собственно, это и является контрпримером к удверждению в первой части вопроса.


\question{13}{
    \[
        \overline{0.(002)_3} \ \overset{?} \in \ \Pi
    \]
}

    Заметим, что на очередном шаге построения множества мы удаляем интервал $(\overline{0.\star 1}, \overline{0.\star 2})$, поэтому, если в троичной записи числа нет единиц, то оно никогда не будет удалено, следовательно, останется в Канторовом множестве.

    Так как число бесконечно в троичной системе, то оно не представляется как конечная сумма чисел вида $\frac{1}{3^n}$, поэтому оно никогда не будет концом удаляемого интервала, поэтому это число 2 рода.

\question{14}{
    Найти точку Канторова множества на отрезках:
    \textbf{(a)} $[0.05, 0.1]$,
    \textbf{(b)} $[0.025, 0.5]$
}

    \textbf{(a)} Делением в столбик получаем, что
    $a = \frac{1}{18} = \overline{0.00(1)}_3$, \qquad
    $b = \frac{1}{12} = \overline{0.0(02)}_3$.

    Очевидно, что
    \[
        0.05 < a =
        \overline{0.00(1)}_3 <
        \overline{0.002}_3 <
        \overline{0.0(02)}_3 =
        b < 0.1
    \]

    Так как в записи нет цифры 1, то эта точка принадлежит Канторову множеству. Поэтому $\overline{0.002}_3$ -- искомая.

    \medskip
    
    \textbf{(b)} $\frac{1}{3}$ -- точка первого рода и $0.025 < \frac{1}{3} < 0.5$ $\Rightarrow \frac{1}{3}$ -- искомая

\question{15}{
    Слишком длинное условие =(
}

    Докажем, что $f(x)$ разрывна в точках Канторова множества.

    Так как в этом множестве нет изолированных точек и на любом интервале в $\mathbb{R}$, полностью не лежащем в удаленном интервале, есть середина удаленного интервала, то для любой точки множества есть две последовательности, стремящиеся к этой точке по точкам канторова множества и по серединам удаленных отрезков, поэтому в точке множества есть два разных частичных предела (0 и 1), поэтому функция в этих точках разрывна.

\end{document}
