From 7b51d34e8db14ddffba4ff006d36fd61a6f6363d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Fri, 17 Apr 2020 22:00:51 +0300
Subject: New texs

---
 alg/alg-1.tex | 56 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 51 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'alg/alg-1.tex')

diff --git a/alg/alg-1.tex b/alg/alg-1.tex
index 9587e4b..e6b2058 100644
--- a/alg/alg-1.tex
+++ b/alg/alg-1.tex
@@ -13,6 +13,25 @@
 
 \dmquestion{1}
 
+    $\ord(g) = \ord(g^{-1})$, потому что:
+
+    {\narrower
+        $\ord(g^{-1}) \leqslant \ord(g)$:
+        \[
+            (g^{-1})^{\ord(g)} =
+            e(g^{-1})^{\ord(g)} =\\
+            (g)^{\ord(g)} (g^{-1})^{\ord(g)} =
+            (gg^{-1})^{\ord(g)} = e
+        \]
+
+        Аналогично, $\ord(g^{-1}) \geqslant \ord(g)$.
+
+    }
+
+    Поэтому, $\ord(g^k) = \ord(g^{-k})$,
+    поэтому дальше будем считать, что $k \geqslant 0$.
+    \medskip\medskip
+
     Докажем, что если $\ord(g) = m$, то
     \[
         n \divby m \Leftrightarrow g^n = e
@@ -51,23 +70,50 @@
     \]
 
     Возьмем какой-то элемент $h_0 \in H$ так, что $h_0 \neq e$.
-    Построим последовательность $\{h_i\}$ хитрым образом, докажем, что она конечна и последний ее элемент $h_n$ порождает $H$.
+    Теперь построим некоторую последовательность $\{h_i\}$,
+    докажем, что она конечна и последний ее элемент $h_n$ порождает $H$.
+    \medskip\medskip
 
     Пусть $\cycle{h_i} \neq H$ (иначе $H = \cycle{h_i}$ и все доказано), тогда возьмем какой-нибудь элемент $h$ из $H$, но не из $\cycle{h_i}$.
-
     Так как уравнение
     \[
         x \deg(h) + y \deg(h_i) = \gcd(\deg(h), \deg(h_i))
     \]
-    всегда имеет решение $(x, y)$ в целых числах, то $g^{\gcd(\deg(h),\ \deg(h_i))}$ обязан лежать в $H$.
+    всегда имеет решение $(x, y)$ в целых числах, то $g^{\gcd(\deg(h),\ \deg(h_i))} \in H$.
 
     Тогда пусть по построению $h_{i + 1} = g^{\gcd(\deg(h),\ \deg(h_i))}$. Заметим, что $\cycle{h_{i + 1}} \in H$, поскольку $H$ - группа.
 
-    Очевидно, что $\gcd(\deg(h), \ \deg(h_i)) \leqslant \deg(h_i)$. Но так как $h \notin \cycle{h_i}$, то $\deg(h)\ \nodivby \deg(h_i)$, а значит $\gcd(\deg(h), \ \deg(h_i)) < \deg(h_i)$.
+    Очевидно, что \[\gcd(\deg(h), \ \deg(h_i)) \leqslant \deg(h_i).\]
+
+    Но так как $h \notin \cycle{h_i}$, то $\deg(h)\ \nodivby \deg(h_i)$, а значит $\gcd(\deg(h), \ \deg(h_i)) < \deg(h_i)$.
 
-    Значит, $h_i > h_{i + 1}$, поэтому $|\{h_n\}| < \infty$. Значит, в какой-то момент перестанет выполняться предположение о том, что $\cycle{h_i} \neq H$, что и требовалось.
+    Поэтому, $\deg(h_i) > \deg(h_{i + 1})$, значит порядок элементов в последовательности строго убывает
+    и ограничен 1, значит $|\{h_n\}| < \infty$.
+    Значит, в какой-то момент перестанет выполняться предположение о том, что $\cycle{h_i} \neq H$, что и требовалось.
 
 \dmquestion{4}
+    
+    В этой задаче я считаю, что
+    \[
+        (\sigma \circ \tau) (i) = \sigma(\tau(i))
+    \]
+
+    Левый смежный класс по $H$ -- это все перестановки, переставляющие единичку к какое-то одно одинаковое место. Формально, пусть $g \in S_n, \ g(1) = k$, тогда
+    \[
+        gH = \{\sigma \suchthat \sigma(1) = k\}
+    \]
+
+    Докажем включение $\supseteq$, а равенство будет следовать из равномощности левой и правой частей:
+    \[
+        \frac{|G|}{|\{\sigma \suchthat \sigma(1) = k\}|} = n = \frac{|G|}{|H|} = \frac{|G|}{|gH|}
+    \]
+
+    Итак, зафиксировав $g$, мы хотим показать, что $\forall \sigma \suchthat \sigma(1) = k$ найдется такая $\tau \in H$, что $g \tau = \sigma$. То есть $\tau = g^{-1}\sigma$. То есть мы хотим просто доказать, что $g^{-1}\sigma \in H$, то есть $(g^{-1}\sigma)(1) = 1$. Но по условию, $g^{-1}(\sigma(1)) = g^{-1}(k) = 1$, что и требовалось.
+
+    Применяя абсолютно аналогичные рассуждения, получаем, что правый смежный класс по $H$ -- все перестановки, отправляющие какое-то одно число в единичку:
+    \[
+        g^{-1}(1) = k \Rightarrow Hg = \{\sigma \suchthat \sigma^{-1}(1) = k\}
+    \]
 
 
 \end{document}
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

