From f642380d55c66e4e5deaaa6c7cef15f6dbfe36c6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Wed, 15 Apr 2020 04:35:30 +0300
Subject: Reorganize & alg-1

---
 alg/alg-1.tex | 76 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 76 insertions(+)
 create mode 100644 alg/alg-1.tex

(limited to 'alg/alg-1.tex')

diff --git a/alg/alg-1.tex b/alg/alg-1.tex
new file mode 100644
index 0000000..a9906b8
--- /dev/null
+++ b/alg/alg-1.tex
@@ -0,0 +1,76 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage[x11names, svgnames, rgb]{xcolor}
+\usepackage{../intro}
+\usepackage{cancel}
+
+\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
+\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-1}}
+
+\title{Алгебра 1}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+\maketitle
+\drawcat{50pt}
+\clearpage
+
+\dmquestion{1}
+
+    Докажем, что если $\ord(g) = m$, то
+    \[
+        n \divby m \Leftrightarrow g^n = e
+    \]
+
+    \begin{itemize}[leftmargin=1in]
+    \item [$\Rightarrow$] \leavevmode \\
+
+        \[
+            g^n = \br{g^m}^{\frac n m} = e^{\frac n m} = e
+        \]
+
+    \item [$\Leftarrow$] \leavevmode \\
+
+        Пусть это не так и $\exists\  n \ : \ g^n = e$, но $n$ не делится на $m$. Тогда
+        \[
+            n = mq + r, \ \ 0 \leqslant r < m
+        \]
+        \[
+                e = g^n = g^{mq + r} = g^{mq} g^r = e^q g^r = g^r
+        \]
+
+        Но так как $r < m$, значит, $\ord(g) = r < m$. Противоречие.
+    \end{itemize}
+
+    Тогда понятно, что $\ord(g^k) = \frac{\text{НОК}(m, k)}{k}$
+
+\dmquestion{2}
+
+    Пусть $G = \cycle{g}$ и надо доказать, что подгруппа $H \subseteq G$ - циклическая.
+    Неформально, я хочу показать, что $H$ порождается $g^{\gcd(\{d \ | \ g^d \in H\})}$.
+
+    Введем новую операцию для удобства
+    \[
+        \deg(x) \coloneqq \min \{d \ | \ x = g^d, d \geqslant 0\}
+    \]
+
+    Возьмем какой-то элемент $h_0 \in H$ так, что $h_0 \neq e$.
+    Построим последовательность $\{h_i\}$ хитрым образом, докажем, что она конечна и последний ее элемент $h_n$ порождает $H$.
+
+    Пусть $\cycle{h_i} \neq H$ (иначе $H = \cycle{h_i}$ и все доказано), тогда возьмем какой-нибудь элемент $h$ из $H$, но не из $\cycle{h_i}$.
+
+    Так как уравнение
+    \[
+        x \deg(h) + y \deg(h_i) = \gcd(\deg(h), \deg(h_i))
+    \]
+    всегда имеет решение $(x, y)$ в целых числах, то $g^{\gcd(\deg(h),\ \deg(h_i))}$ обязан лежать в $H$.
+
+    Тогда пусть по построению $h_{i + 1} = g^{\gcd(\deg(h),\ \deg(h_i))}$. Заметим, что $\cycle{h_{i + 1}} \in H$, поскольку $H$ - группа.
+
+    Очевидно, что $\gcd(\deg(h), \ \deg(h_i)) \leqslant \deg(h_i)$. Но так как $h \notin \cycle{h_i}$, то $\deg(h)\ \cancel{\divby}\deg(h_i)$, а значит $\gcd(\deg(h), \ \deg(h_i)) < \deg(h_i)$.
+
+    Значит, $h_i > h_{i + 1}$, поэтому $|\{h_n\}| < \infty$. Значит, в какой-то момент перестанет выполняться предположение о том, что $\cycle{h_i} \neq H$, что и требовалось.
+
+\dmquestion{4}
+
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

