From cde574c74030b0f633d2c25f8446f8967ed13696 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Fri, 8 May 2020 22:19:04 +0300
Subject: Dump some shit

---
 alg/alg-2.tex | 124 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 124 insertions(+)
 create mode 100644 alg/alg-2.tex

(limited to 'alg/alg-2.tex')

diff --git a/alg/alg-2.tex b/alg/alg-2.tex
new file mode 100644
index 0000000..8e33dbb
--- /dev/null
+++ b/alg/alg-2.tex
@@ -0,0 +1,124 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{../intro}
+
+\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
+\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-2}}
+\title{Алгебра 2}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+\maketitle
+\drawcat{50pt}
+\clearpage
+
+\dmquestion{1}
+
+    Рассмотрим группу $D_4$. Пусть $H_1$ - группа из симметрий относительно горизонтальной и вертикальной осей симметрий квадрата. В ней находятся $e$, две указанных симметрии и поворот на $\pi$. Методом пристального взгляда убеждаемся, что она нормальна в $D_4$. Теперь возьмем в качестве $H_2$ только одну симметрию. Она нормальна в $H_1$, но не нормальна в $D_4$ например потому, что не коммутирует с любой из диагональных симметрий.
+
+\dmquestion{2}
+
+    Рассмотрим $f = h_1 h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}$.
+
+    $H_1$ нормальна, поэтому $h_2 h_1^{-1} h_2^{-1} \in H_1$. Также, $H_1$ - подгруппа и $h_1 \in H_1$,
+        значит, $f = h_1 (h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}) \in H_1$.
+
+    $H_2$ нормальна, поэтому $h_1 h_2 h_1^{-1} \in H_2$. Также, $H_2$ - подгруппа и $h_2 \in H_2$,
+        значит, $f = (h_1 h_2 h_1^{-1}) h_2^{-1} \in H_2$.
+
+    Так как $H_1 \cap H_2 = \{e\}$, то $f = e$, поэтому $h_1 h_2 = h_2 h_1$.
+\dmquestion{3}
+
+    \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})}
+    \newcommand{\SL}{\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})}
+
+    Пусть $M \in \GL$
+    принадлежит центру $\GL$.
+
+    Возьмем $A_i$ -- матрицу элементарного преобразования, которая умножает $i$-ю строку на $2$ при умножении на нее слева и столбец при умножении на нее справа.
+
+    тогда так как $M \in Z(\GL)$, то $MA_i = A_iM$.
+    Такое равенство выполняется для всех $1 \leqslant i \leqslant n$ тогда, и только тогда, когда в $M$ ненулевые элементы стоят только на диагонали.
+
+    Теперь возьмем $B_{ij}$ -- матрицу, которая меняет строки $i$ и $j$.
+
+    Умножив $M$ на нее справа и слева получим,
+    что $i$-ый и $j$-й элементы диагонали равны.
+
+    Перебрав $i$ и $j$ получим, что все элементы на диагонали равны. Поэтому $M$ имеет вид $\lambda E$. А такие матрицы коммутируют с любыми.
+
+    Для $\SL$ ситуация почти аналогичная, только нам надо брать матрицы преобразования с единичным определителем:
+
+    Для первого шага нужно преобразование, которое умножает одну строку на $2$, а другую на $\frac{1}{2}$. Так мы получим, что все матрицы из центра - диагональные. А для второго шага надо брать матрицу, которая меняет местами две пары строк. Но так как перестановочные матрицы уже не коммутируют, то по строкам мы выполняем преобразование в одном порядке, а по столбцам - в другом:
+
+    Пусть мы хотим менять строки перестановкой $(12)(23)$, тогда мы меняем столбцы перестановкой $(23)(12)$:
+
+\clearpage
+
+    По строкам:
+    \[
+        \begin{bmatrix}
+            1 &   &  \\
+              & 2 &  \\
+              &   & 3\\
+        \end{bmatrix}
+        \overset{(23)}{\mapsto}
+        \begin{bmatrix}
+            1 &   &  \\
+              &   & 3\\
+              & 2 &  \\
+        \end{bmatrix}
+        \overset{(12)}{\mapsto}
+        \begin{bmatrix}
+              &   & 3\\
+            1 &   &  \\
+              & 2 &  \\
+        \end{bmatrix}
+    \]
+
+    По столбцам:
+    \[
+        \begin{bmatrix}
+            1 &   &  \\
+              & 2 &  \\
+              &   & 3\\
+        \end{bmatrix}
+        \overset{(12)}{\mapsto}
+        \begin{bmatrix}
+              & 1 &  \\
+            2 &   &  \\
+              &   & 3\\
+        \end{bmatrix}
+        \overset{(23)}{\mapsto}
+        \begin{bmatrix}
+              &   & 1\\
+            2 &   &  \\
+              & 3 &  \\
+        \end{bmatrix}
+    \]
+
+    Отсюда получаем, что все элементы на диагонали равны, а значит
+    \[
+        Z(\SL) = \begin{cases}
+        \{E\}, &n = 2k + 1\\
+        \{E, -E\}, &n = 2k
+        \end{cases}
+    \]
+
+\dmquestion{4}
+
+    Воспользуемся тем фактом, что группа целых чисел - циклическая
+    \[
+        (\mathbb{Z}, + ) = \cycle{1}
+    \]
+
+    и любая подгруппа имеет вид $(k\mathbb{Z}, + )$.
+
+    Пусть $(\mathbb{Z}, + ) \overset{\phi}{\simeq} (m\mathbb{Z}, + ) \times (n\mathbb{Z}, + )$.
+    Но так как $\phi$ -- гомоморфизм, то
+    $
+        \cycle{1} \mapsto \cycle{\phi(1)}
+    $.
+
+    Но тогда в образе $\phi$ обе координаты всегда пропорциональны, а это явно не вся группа, если ни один из множителей не $\{e\}$. Противоречие.
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

