From cde574c74030b0f633d2c25f8446f8967ed13696 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Fri, 8 May 2020 22:19:04 +0300
Subject: Dump some shit

---
 alg/alg-3.tex | 75 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 75 insertions(+)
 create mode 100644 alg/alg-3.tex

(limited to 'alg/alg-3.tex')

diff --git a/alg/alg-3.tex b/alg/alg-3.tex
new file mode 100644
index 0000000..e2cce12
--- /dev/null
+++ b/alg/alg-3.tex
@@ -0,0 +1,75 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{../intro}
+
+\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
+\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-3}}
+\title{Алгебра 3}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+\maketitle
+\drawcat{50pt}
+\clearpage
+
+\dmquestion{1}
+
+    Различных базисов в $B$ всего два: $(\pm a, \ldots, \pm a)$,
+    а так как в базисе всего один элемент, то он сразу согласован с $\ \ u_1 = |a|, \ \  e_1 = (\pm 1, \ldots \pm 1)$.
+
+    В $\mathbb{Z}^n$ для элемента $(\pm 1, \ldots, \pm 1)$ мы можем выбрать еще элементов до базиса:
+    \begin{align*}
+        &(1, 0, \ldots, 0)\\
+        &(0, 1, \ldots, 0)\\
+        &\quad \quad \ \ \vdots\\
+        &(0, \ldots, 1, 0)
+    \end{align*}
+
+    Понятно, что это базис и понятно, как получить все остальные - домножить на обратимую над $\mathbb{Z}$ матрицу.
+    Мы не могли брать в качестве базисного элемент $(b, \dots b)$, где $b$ - какой-то делитель $a$,
+    потому что если бы он был в базисе $\mathbb{Z}^n$, то матрица перехода к нему от стандартного базиса была бы необратимой над $\mathbb{Z}$, а значит это не был бы базис.
+
+\dmquestion{2}
+
+    \begin{align*}
+        \begin{bmatrix}
+            5 & 5 & 2\\
+            11 & 8 & 5\\
+            17 & 5 & 8
+        \end{bmatrix} \simeq
+        \begin{bmatrix}
+            1 & 5 & 2\\
+            1 & 8 & 5\\
+            1 & 5 & 8
+        \end{bmatrix} \simeq
+        \begin{bmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            1 & 3 & 3\\
+            1 & 0 & 6
+        \end{bmatrix} \simeq
+        \begin{bmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            0 & 3 & 3\\
+            0 & 0 & 6
+        \end{bmatrix} \simeq
+        \begin{bmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            0 & 3 & 0\\
+            0 & 0 & 6
+        \end{bmatrix} \simeq
+    \end{align*}
+
+    Тогда
+    \[
+        A/B \simeq
+        \mathbb{Z}_1 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_6 =
+        \{0\} \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_6 \simeq
+        \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_6
+    \]
+
+\dmquestion{3}
+
+    Рассмотрим группу строго убывающих по модулю последовательностей целых чисел с операцией покоординатного сложения (считаем, что координат бесконечное число).
+    Такое множество счетно, потому что последовательностей, начинающихся с определенного числа конечное число, целые числа счетны, а счетное обьединение конечных или счетных множеств счетно. Ну и это группа с нейтральным элементом $\{0\}$. Так как количество координат бесконечно, а каждый элемент имеет только конечное количество ненулевых координат, то и конечной порождающей системы нет.
+
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

