From cde574c74030b0f633d2c25f8446f8967ed13696 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Fri, 8 May 2020 22:19:04 +0300
Subject: Dump some shit

---
 alg/alg-4.tex | 107 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 107 insertions(+)
 create mode 100644 alg/alg-4.tex

(limited to 'alg/alg-4.tex')

diff --git a/alg/alg-4.tex b/alg/alg-4.tex
new file mode 100644
index 0000000..7e21970
--- /dev/null
+++ b/alg/alg-4.tex
@@ -0,0 +1,107 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{../intro}
+
+\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
+\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-4}}
+\title{Алгебра 4}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+\maketitle
+\drawcat{30pt}
+\clearpage
+
+\dmquestion{1}
+
+    \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
+
+    Решим уравнение $2x = 0, \ \ x \in \Z_2 \oplus \Z_4 \oplus \Z_3$:
+    из $\Z_2$ мы можем взять любой элемент,
+    из $\Z_4$ можем взять $\{0, 2\}$,
+    из $\Z_3$ только $0$. Тогда уравнению удовлетворяют $4$ элемента.
+    Каждый из этих элементов имеет порядок или $1$ или $2$, но порядок $1$ имеет только нейтральный, поэтому из этих четырех нам не подходит только один. Поэтому элементов порядка $2$ всего $3$: $(0, 2, 0), \ (1, 0, 0), \ (1, 2, 0)$
+
+    Аналогично, $3x = 0$ имеет два ненулевых решения: $(0, 0, 1), \ (0, 0, 2)$
+
+    $4x = 0$ имеет $8$ решений, из которых $4$ удовлетворяют уравнению $2x = 0$, поэтому их порядок никак не больше $2$, поэтому элементов порядка $4$ всего $4$.
+
+    Уравнению $6x = 0$ удовлетворяют $12$ элементов, но из них:
+    один нейтральный, три имеют порядок $2$, и еще $2$ имеют порядок $3$,
+    поэтому элементов порядка $6$ всего $6$ штук.
+
+    Ответ: $3, 2, 4, 6$.
+
+\dmquestion{2}
+
+    $H$ изоморфна либо $\Z_3 \oplus \Z_{25}$, либо $\Z_3 \oplus \Z_5 \oplus \Z_5$, но в первом случае группа циклическая, что противоречит условию, значит $H \simeq \Z_3 \oplus \Z_5 \oplus \Z_5$.
+
+    По теореме с лекции, любая подгруппа порядка $5$ или $15$ - это $\Z_5$ или $\Z_5 \oplus \Z_3$ соответственно. В частности, это значит, что такие подгруппы циклические, и порождены одним элементом порядка $5$ или $15$ соответственно.
+
+    Как в первой задаче, находим количество элементов нужных порядков.
+    Их будет соответственно $24$ и $48$.
+    Но в подгруппе порядка $5$ есть $4$ разных порождающих, потому что они все имеют порядок $5$,
+    а в подгруппе размера $15$ есть $\varphi(15) = 8$ разных порождающих.
+    Поэтому разных подгрупп порядка $5$: $\frac{24}{4} = 6$, а порядка $15$: $\frac{48}{8} = 6$.
+
+\dmquestion{3}
+
+    Перейдем к другому базису: запишем порождающие $B$ в строки и снизу припишем координаты представителя:
+    \begin{align*}
+        &\begin{pmatrix}
+            2 & 1 & -50\\
+            4 & 5 & 60\\
+            \hline
+            32 & 0 & 31
+        \end{pmatrix} \sim
+        \begin{pmatrix}
+            1 & 2 & -50\\
+            5 & 4 & 60\\
+            \hline
+            0 & 32 & 31
+        \end{pmatrix} \sim
+        \begin{pmatrix}
+            1 & 0 & -50\\
+            5 & -6 & 60\\
+            \hline
+            0 & 32 & 31
+        \end{pmatrix} \sim\\
+        \sim&\begin{pmatrix}
+            1 & 0 & -50\\
+            0 & -6 & 310\\
+            \hline
+            0 & 32 & 31
+        \end{pmatrix} \sim
+        \begin{pmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            0 & -6 & 310\\
+            \hline
+            0 & 32 & 31
+        \end{pmatrix} \sim
+        \begin{pmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            0 & 6 & -310\\
+            \hline
+            0 & 32 & 31
+        \end{pmatrix} \sim\\
+        \sim&\begin{pmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            0 & 6 & 2\\
+            \hline
+            0 & 32 & 1695
+        \end{pmatrix} \sim
+        \begin{pmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            0 & 2 & 6\\
+            \hline
+            0 & 1695 & 32
+        \end{pmatrix} \sim
+        \begin{pmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            0 & 2 & 0\\
+            \hline
+            0 & 1695 & -5053
+        \end{pmatrix}
+    \end{align*}
+
+    Получается, что $A/B \simeq \{0\} \oplus \Z_2 \oplus \Z$, а так как последняя координата ненулевая, то $\mathrm{ord}((32e_1 + 31e_3) + B) = \infty$
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

