From 5e3520d3c45e56811195f5f418bfb1b8c96ac2a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Fri, 18 Sep 2020 13:27:17 +0300
Subject: Dump more hws

---
 alg/alg-5.tex | 90 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 90 insertions(+)
 create mode 100644 alg/alg-5.tex

(limited to 'alg/alg-5.tex')

diff --git a/alg/alg-5.tex b/alg/alg-5.tex
new file mode 100644
index 0000000..4832df7
--- /dev/null
+++ b/alg/alg-5.tex
@@ -0,0 +1,90 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{../intro}
+
+\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
+\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-5}}
+\title{Алгебра 5}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+\maketitle
+\drawcat{30pt}
+\clearpage
+
+\dmquestion{1}
+
+    Такое действие - просто умножение на три разных ненулевых коэффициента координат данного вектора. Поэтому орбита какого-то вектора - все векторы, у которых в тех же местах стоят ненулевые координаты (получается, всего $8$ орбит).
+
+    По тем же соображениям, стабилизатор элемента $(x_1, x_2, x_3)$ -- матрицы вида $\mathrm{diag}(a_1, a_2, a_3) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ со следующим условием: если $x_i \neq 0$, то $a_i = 1$.
+
+    Простая проверка показывает, что любая такая матрица лежит в стабилизаторе;
+    любая другая не оставляет вектор на месте,
+    потому что не оставляет соответствующую координату на месте.
+
+\dmquestion{2}
+
+    Ядро неэффективности такого действия - это такие $g$, что
+    \[
+        \forall h \in G : ghg^{-1} = h
+    \]
+
+    Умножая на $g$ справа получаем
+    \[
+        \forall h \in G : gh = hg
+    \]
+
+    а это в точности определение элемента из центра. \qed
+
+\dmquestion{3}
+
+    Упорядочим $G = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ лексикографически.
+    Тогда посмотрим на действие $G$ на себя левыми сдвигами
+    и для каждого элемента найдем соответствующую перестановку:
+
+    \begin{align*}
+        &(0, 0): \begin{bmatrix}
+            (0, 0) \mapsto (0, 0)\\
+            (0, 1) \mapsto (0, 1)\\
+            (1, 0) \mapsto (1, 0)\\
+            (1, 1) \mapsto (1, 1)\\
+        \end{bmatrix} = \mathrm{id}\\
+        &(0, 1): \begin{bmatrix}
+            (0, 0) \mapsto (0, 1)\\
+            (0, 1) \mapsto (0, 0)\\
+            (1, 0) \mapsto (1, 1)\\
+            (1, 1) \mapsto (1, 0)\\
+        \end{bmatrix} = (1\ 2)(3\ 4)\\
+        &(1, 0): \begin{bmatrix}
+            (0, 0) \mapsto (1, 0)\\
+            (0, 1) \mapsto (1, 1)\\
+            (1, 0) \mapsto (0, 0)\\
+            (1, 1) \mapsto (0, 1)\\
+        \end{bmatrix} = (1\ 3)(2\ 4)\\
+        &(1, 1): \begin{bmatrix}
+            (0, 0) \mapsto (1, 1)\\
+            (0, 1) \mapsto (1, 0)\\
+            (1, 0) \mapsto (0, 1)\\
+            (1, 1) \mapsto (0, 0)\\
+        \end{bmatrix} = (1\ 4)(2\ 3)\\
+    \end{align*}
+
+    Это и есть подгруппа $S_n$, изоморфная $G$
+
+\dmquestion{4}
+
+    Пусть $\tau = (1\ 2\ 3\ \ldots\ n)$.
+    Тогда нам надо найти все такие $\sigma \in S_n$, что 
+    \[
+        \sigma \tau \sigma^{-1} = \tau  \Leftrightarrow \sigma \tau = \tau \sigma
+    \]
+    
+    Понятно, что $\tau$ коммутирует со всеми своими степенями.
+
+    Пусть единица при $\sigma$ переходит в $k$.
+    Тогда, чтобы не терять коммутативность, $2$ переходит в $k + 1$.
+    Чтобы теперь не противоречить коммутативности нового перехода для $2$,
+    $3$ должна переходить в $k + 2$ и так далее$^\dagger$. Тогда каждый элемент переходит на $k$ позиций вправо, а это и есть $k$-ая степень $\tau$. \qed
+
+    $^\dagger$ $k + 1, k + 2$ берутся по модулю $n$, с прибавлением единички, если надо, чтобы не выходить из $[1..n]$
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

