From 5e3520d3c45e56811195f5f418bfb1b8c96ac2a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Fri, 18 Sep 2020 13:27:17 +0300
Subject: Dump more hws

---
 alg/alg-6.tex | 117 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 117 insertions(+)
 create mode 100644 alg/alg-6.tex

(limited to 'alg/alg-6.tex')

diff --git a/alg/alg-6.tex b/alg/alg-6.tex
new file mode 100644
index 0000000..03cdbca
--- /dev/null
+++ b/alg/alg-6.tex
@@ -0,0 +1,117 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{../intro}
+
+\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
+\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-6}}
+\title{Алгебра 6}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+\maketitle
+\drawcat{30pt}
+\clearpage
+
+\dmquestion{1.1}
+
+    Из линейной алгебры мы знаем кучу эквивалентных условий для обратимости матрицы, например, что её определитель не равен нулю.
+
+\dmquestion{1.2}
+    
+    $A$ делитель нуля $\Leftrightarrow$ $A$ необратима
+
+    \begin{itemize}
+        \item[$\Rightarrow$] Факт с лекции: для любого кольца делитель нуля необратим
+        \item[$\Leftarrow$] Пусть $A$ необратима,
+        тогда у системы $Ax = 0$ есть ненулевое решение $(x_1, x_2)$.
+        Но тогда 
+        \[
+            A \begin{bmatrix} x_1 & 0\\ x_2 & 0\end{bmatrix} = 0
+        \]
+
+        Обе матрицы ненулевые, а значит $A$ - делитель нуля.
+    \end{itemize}
+
+\dmquestion{1.3}
+
+    Рассмотрим оператор, задаваемый матрицей $A \in M_{2\times2}(\mathbb{C})$ и посчитаем его характеристический многочлен:
+    \[
+        \chi(x) = x^2 + ax + b
+    \]
+
+    У него над полем $\mathbb{C}$ два корня:
+    \[
+        x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4c}}{2}
+    \]
+    откуда следует, что мнимые части отличаются только знаком.
+    Значит, либо оба корня ненулевые и не действительные, либо оба действительные.
+
+    Докажем, что они оба действительные: предположим противное, они оба комплексные. Тогда над полем $\mathbb{C}$ ЖНФ оператора имеет вид \[
+        \begin{bmatrix}
+            x_1 & 0\\
+            0 & x_2
+        \end{bmatrix}
+    \]
+    ранг которой равен $2$, но тогда и ранг $A$ равен $2$, значит она обратима,
+    а значит не может быть нильпотентом.
+
+    Тогда оба корня действительные и, по аналогичным соображениям,
+    один из них равен $0$.
+    
+    Получается, что $A = CJC^{-1}$, где $J$ - ее Жорданова форма, имеющая вид
+    \[
+        \begin{bmatrix}
+            t & 0\\
+            0 & 0
+        \end{bmatrix}
+        \text{ или }
+        \begin{bmatrix}
+            0 & 1\\
+            0 & 0
+        \end{bmatrix}
+        \text{ или }
+        \begin{bmatrix}
+            0 & 0\\
+            0 & 0
+        \end{bmatrix}
+    \]
+
+    Ну и понятно, что $A = CJC^{-1}$ - нильпотент для любой обратимой $C$:
+    \[
+        A^2 = (CJC^{-1})^2 = CJC^{-1}CJC^{-1} = CJJC^{-1} = 0
+    \]
+
+\dmquestion{2}
+
+    Докажем такой факт: $p \in I \Rightarrow \gcd(p, n) \in I$.
+
+    Мы хотим: $\exists x \suchthat px = \gcd(p, n)$ или в целых числах:
+    $px - yn = \gcd(p, n)$. Но это обычное диофантово уравнение относительно $x$ и $y$,
+    и оно имеет решения $(x_0 + mn, y_0 + mp), m \in \mathbb{Z}$.
+
+    $x$ из решений отличаются на $n$, поэтому найдется $0 \leqslant x < n$, для которого
+    выполняется $px = \gcd(p, n) (\mathrm{mod}\  n)$, а значит, $\gcd(p, n) \in I$.
+
+    Тогда видно, что любой идеал натянут на какие-то делители $n$.
+
+    \medskip
+
+    Идеал, порожденный каким-то делитель $d$ -- все остатки, делящиеся на $d$:
+    \begin{itemize}[leftmargin=1in,rightmargin=1in]
+        \item[1] все, что мы можем получить, умножая $d$ на другие элементы - только остатки, делящиеся на $d$.
+        \item[2] любой остаток, делящийся на $d$ мы можем получить, просто умножив его на первые несколько остатков ($0d, 1d, 2d, \ldots$)
+    \end{itemize}
+
+\dmquestion{3}
+    
+    Пусть $f = (x - 1), \ g = (x - 2)$. Тогда $I = (\{f, g\})$ - идеал. 
+
+    $f$ (и $g$) единственным образом раскладывается в произведение
+    двух элементов кольца: $1(x - 1)$ (и $1(x - 2)$).
+
+    $f$ и $g$ могут быть порождены только $1$,
+    поскольку это единственный их общий множитель.
+    Так как $(1) = \mathbb{Z}[x] \neq I$,
+    то $I$ не порожден $1$, а значит не порожден никаким элементом кольца. \qed
+
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

