From 5e3520d3c45e56811195f5f418bfb1b8c96ac2a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Fri, 18 Sep 2020 13:27:17 +0300
Subject: Dump more hws

---
 alg/alg-7.tex | 209 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 209 insertions(+)
 create mode 100644 alg/alg-7.tex

(limited to 'alg/alg-7.tex')

diff --git a/alg/alg-7.tex b/alg/alg-7.tex
new file mode 100644
index 0000000..f28cbc5
--- /dev/null
+++ b/alg/alg-7.tex
@@ -0,0 +1,209 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{../intro}
+
+\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
+\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-6}}
+\title{Алгебра 6}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+\maketitle
+\drawcat{30pt}
+\clearpage
+
+\dmquestion{1}
+
+    Достаточно показать, что многочлен остается на месте для всех транспозиций вида $(i, i + 1)$, тогда он остается на месте для любой перестановки.
+
+    % (x_1 + x_2 - x_3 - x_4)(x_1 - x_2 + x_3 - x_4)(x_1 - x_2 - x_3 + x_4)
+    \begin{itemize}[leftmargin=0.7in]
+        \item[$(x_1, x_2)$:]
+        \begin{tabular}{|c}
+        \(
+            (x_1 + x_2 - x_3 - x_4)(x_2 - x_1 + x_3 - x_4)(x_2 - x_1 - x_3 + x_4)
+        \)\\
+
+        последние две скобки поменялись местами и поменяли знак
+        \end{tabular}
+
+        \item[$(x_2, x_3)$:]
+        \begin{tabular}{|c}
+        \(
+            (x_1 + x_3 - x_2 - x_4)(x_1 - x_3 + x_2 - x_4)(x_1 - x_3 - x_2 + x_4)
+        \)\\
+
+        первые две скобки поменялись местами
+        \end{tabular}
+
+        \item[$(x_3, x_4)$:]
+        \begin{tabular}{|c}
+        \(
+            (x_1 + x_2 - x_4 - x_3)(x_1 - x_2 + x_4 - x_3)(x_1 - x_2 - x_4 + x_3)
+        \)\\
+
+        последние две скобки поменялись местами
+        \end{tabular}
+
+    \end{itemize}
+
+    Значит, многочлен симметрический.
+    \vspace*{20pt}
+
+    Так так многочлен однородный, то мы можем сразу выписать все мономы, которые входят в разложение (возможно, с нулевыми коэффициентами)
+
+    $L(f) = x_1^3$, поэтому на итерациях алгоритма могут получиться
+    три разных старших члена: $x_1^3, \ x_1^2 x_2, \ x_1 x_2 x_3$.
+    Для каждого из них мономы: $\sigma_1^3, \ \sigma_1\sigma_2, \ \sigma_3$.
+    Причем первый из них точно входит с коэффициентом $1$.
+
+    Теперь, методом неопределенных коэффициентов узнаем коэффициенты остальных мономов:
+    \[
+        f = \sigma_1^3 + A\sigma_1\sigma_2 + B\sigma_3
+    \]
+    \[
+        A = -4, \qquad B = 8
+    \]
+
+    Получаем:
+    \[
+        f = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 8\sigma_3
+    \]
+
+\dmquestion{2}
+
+    Пусть $x_1, x_2, x_3$ -- корни многочлена
+    $3\br{ x^3 + \frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{3} }$
+
+    Тогда нас просят посчитать
+    \[
+        \frac{1}{x_1} + 
+        \frac{1}{x_2} + 
+        \frac{1}{x_3} =
+        \frac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_1x_2x_3} = \frac{\sigma_2}{\sigma_3}
+    \]
+
+    По теореме Виета
+    \begin{align*}
+        \sigma_2 = 0\\
+        \sigma_3 = \frac{1}{3}
+    \end{align*}
+
+    Значит, то, что нам нужно равно $0$.
+
+\clearpage
+
+\dmquestion{3}
+
+    Наш многочлен:
+    \[
+        f = x^4 + x - 1
+    \]
+
+    Пусть нужный многочлен имеет вид
+    \[
+        g = x^4 - \alpha_1 x^3 + \alpha_2 x^2 - \alpha_3 x + \alpha_4
+    \]
+
+    а $x_1, x_2, x_3, x_4$ -- корни нашего многочлена
+
+    Тогда от нас хотят, чтобы:
+    \begin{align*}
+        \alpha_4 &= (x_1 x_2 x_3 x_4)^3 =\\
+            &= \sigma_4^3
+            = -1\\[12pt]
+        \alpha_3 &= (x_1 x_2 x_3)^3 + (x_1 x_2 x_4)^3 +
+                    (x_1 x_3 x_4)^3 + (x_2 x_3 x_4)^3 =\\
+            &= 3 \sigma_4^2 \sigma_1 - 3 \sigma_4 \sigma_3 \sigma_2 + \sigma_3^3
+            = -1\\[12pt]
+        \alpha_2 &= (x_1 x_2)^3 + (x_1 x_3)^3 + (x_1 x_4)^3 +
+                    (x_2 x_3)^3 + (x_2 x_4)^3 + (x_3 x_4)^3\\
+            &= 3\sigma_4\sigma_1^2 - 3\sigma_4\sigma_2 -
+               3\sigma_1\sigma_3\sigma_2 + 3\sigma_3^2 +
+               \sigma_2^3
+            = 3\\[12pt]
+        \alpha_1 &= x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + x_4^3 =\\
+            &= 3\sigma_3 + \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2
+            = -3
+    \end{align*}
+
+    Итого, нужный нам многочлен:
+    \[
+        g = x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x - 1
+    \]
+
+\dmquestion{4}
+    
+    \newcommand{\almostD}{\ensuremath{\mathrm{D}_\text{почти}}}
+
+    {\color{lightgray}
+        Здесь было рассуждение про почти дискриминант
+        \[
+            \almostD = (x_1 - x_2)(x_2 - x_3)(x_1 - x_3)
+        \]
+
+        который тоже равен нулю, если есть кратный корень,
+        но он оказался не симметрическим и пришлось считать обычный :(
+    }
+
+    %У честного дискриминанта 6 степень и считать его чото не хочется :(
+
+    %Понятно, что \almostD \ равен нулю тогда же, когда и
+    %$\mathrm{D}_\text{честный}$, а именно, когда есть кратный корень.
+
+    %Как в 1 задаче разложим \almostD \ в элементарные:
+    %\[
+    %    \almostD = \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_3
+    %\]
+
+    \[
+        f = x^3 - 3x + \lambda
+    \]
+
+    \[
+        \sigma_1 = 0, \ \ \sigma_2 = -3, \ \ \sigma_3 = -\lambda
+    \]
+
+    \[
+        \mathrm{D}(f) = - 27 \sigma_3^2 - 4 \sigma_3 \sigma_1^3 +
+        18 \sigma_3 \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_1^2 \sigma_2^2 -
+        4 \sigma_2^3 = -27 \sigma_3^2 - 4 \cdot (-27)
+    \]
+
+    Мы хотим, чтобы дискриминант был равен $0$, значит $-\lambda = \sigma_3 = \pm 2$
+
+\dmquestion{5}
+
+    Докажем по индукции, что $\mathbb{N}^k$ с лексикографическим порядком
+    -- фундированное, из этого сразу будет следовать утверждение задачи.
+
+    База: $\mathbb{N}$ -- очевидно
+
+    Теперь пусть $\mathbb{N}^{k - 1}$ -- фундированное, а $\mathbb{N}^{k}$ -- нет.
+
+    Рассмотрим тогда бесконечно убывающую цепь в $\mathbb{N}^{k}$. Назовем ее $C$. $C_i$ тогда -- строчка из натуральных чисел -- `цифр'.
+
+    Теперь посмотрим на те переходы от $C_i$ к $C_{i + 1}$,
+    когда меняются первые $k - 1$ цифр.
+    Дальше есть два варианта: таких переходов:
+    \begin{itemize}
+    \item[1.] \textit{бесконечное число}
+    \par
+        Тогда при каждом таком переходе явно не увеличивается подслово из первых
+        $k - 1$ цифр, но все-таки, по построению, изменяется. Значит, уменьшается.
+        Тогда, забыв про последнюю цифру,
+        мы получим бесконечно убывающую цепь в $\mathbb{N}^{k - 1}$.
+    \item[2.] \textit{конечное число}
+        Это означает, что начиная с какого-то момента
+        уменьшается только последняя цифра.
+        А так как $\mathbb{N}$ тоже фундированное,
+        то цепь $C$ когда-то закончится.
+    \end{itemize}
+
+    В любом случае приходим к противоречию, значит, $\mathbb{N}^k$ - фундированное. \qed
+
+    \vspace*{30pt}
+
+    Утверждение задачи -- переформулировка фундированности $\mathbb{N}^n$:
+    моном однозначно определяется степенями переменных.
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

