From 5e3520d3c45e56811195f5f418bfb1b8c96ac2a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Fri, 18 Sep 2020 13:27:17 +0300
Subject: Dump more hws

---
 alg/alg-8.tex | 94 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 94 insertions(+)
 create mode 100644 alg/alg-8.tex

(limited to 'alg/alg-8.tex')

diff --git a/alg/alg-8.tex b/alg/alg-8.tex
new file mode 100644
index 0000000..0f757eb
--- /dev/null
+++ b/alg/alg-8.tex
@@ -0,0 +1,94 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{../intro}
+
+\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
+\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-8}}
+\title{Алгебра 8}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+\maketitle
+%\drawcat{30pt}
+\clearpage
+
+\dmquestion{1}
+
+    \[
+        f = x^5 + x^3 + x, \quad g = x^4 + x + 1
+    \]
+
+    \begin{align*}
+        (f, g) = (x^5 + x^3 + x, \quad x^4 + x + 1) =\\
+        (x^3 - x^2, \quad x^4 + x + 1) =\\
+        (x^3 - x^2, \quad x^2 + x + 1) =\\
+        (-2x^2 - x, \quad x^2 + x + 1) =\\
+        (- x, \quad x^2 + x + 1) =\\
+        (x, \quad x^2 + x + 1) = 1\\
+    \end{align*}
+
+\dmquestion{2}
+
+    Так как $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) : \mathbb{Q}] = 3$, то мы можем записать так:
+    \[
+        \frac{1 - \sqrt[3]{3}}{1 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}} = a + b\sqrt[3]{3} + c\sqrt[3]{9}
+    \]
+
+    и умножить на знаменатель обе части ($\alpha = \sqrt[3]{3}$:
+    \[
+        1 - \alpha = (a + b\alpha + c\alpha^2)(1 + \alpha - \alpha^2) =
+        a - b + c + \alpha(a + b - c) + \alpha^2(b + c - a)
+    \]
+
+    Получаем СЛУ
+    \[
+        \left[\begin{array}{@{}ccc|c@{}}
+            1 & -1 & 1 & 1 \\
+            1 & 1 & -1 & -1 \\
+            -1 & 1 & 1 & 0 \\
+        \end{array}\right]
+    \]
+
+    Решаем, получаем
+    \begin{align*}
+        a &= 0\\
+        b &= -\frac{1}{2}\\
+        c &= \frac{1}{2}\\
+    \end{align*}
+
+    \[
+        \frac{1 - \sqrt[3]{3}}{1 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}} = -\frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{\sqrt[3]{9}}{2}
+    \]
+
+\dmquestion{3}
+
+    Аналогично семинарской задаче:
+    \[
+        \mathbb{Q}(\sqrt3 + \sqrt5) = \mathbb{Q}(\sqrt3)(\sqrt{5})
+    \]
+
+    Степень расширения равна $2 \cdot 2 = 4$.
+
+    Поэтому по теореме с лекции минимальный многочлен степени $4$.
+
+    \begin{align*}
+        x = \sqrt3 + \sqrt5\\
+        x^2 = 8 + 2\sqrt{15}\\
+        (x^2 - 8)^2 = 60\\
+        x^4 - 16x^2 + 4 = 0
+    \end{align*}
+
+    У нас есть зануляющий многочлен нужной степени, значит, это то, что нам нужно.
+\dmquestion{4}
+
+    \begin{align*}
+        x^4 + x^2 + 1 =
+        (x^2)^2 + x^2 + 1 \\
+        \text{корни: } x^2 =
+        \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} =
+        -\sqrt[3]{-1}; \sqrt[3]{-1}^2\\
+        x = \left\{ \pm \sqrt[3]{-1}; \pm \sqrt[3]{-1}^2 \right\}
+    \end{align*}
+
+    Теперь видно, что присоединение $\sqrt[3]{-1}$ дает все корни, а степень такого расширения равна $3$.
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

