From 5e3520d3c45e56811195f5f418bfb1b8c96ac2a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Fri, 18 Sep 2020 13:27:17 +0300
Subject: Dump more hws

---
 calc/sol0427.tex | 122 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 122 insertions(+)
 create mode 100644 calc/sol0427.tex

(limited to 'calc/sol0427.tex')

diff --git a/calc/sol0427.tex b/calc/sol0427.tex
new file mode 100644
index 0000000..3fa191c
--- /dev/null
+++ b/calc/sol0427.tex
@@ -0,0 +1,122 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{../intro}
+
+\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
+\rhead{\color{gray} \small \textit{матан-0427}}
+\title{Матанализ 0427 (на 13 мая)}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+\maketitle
+\drawcat{50pt}
+\clearpage
+
+\dmquestion{5}{\[
+    \text{Найти } f^{(m + n)}_{x^m y^n}(0, 0), \ \ f(x, y) = e^x \sin y
+\]}
+
+    \[
+        f^{(m)}_{x^m} = e^x \sin y
+    \]
+    \[
+        \br{ f^{(m)}_{x^m} }^{(n)}_{y^n} = e^x \sin\br{y + \frac{n\pi}{2}}
+    \]
+
+    В точке $(0, 0)$ производная равна $\sin \brac{n\pi}{2}$.
+
+\dmquestion{6}{\[
+    f(x, y) =
+    \begin{cases}
+        \frac{x^2y^2}{x^2 + y^2}, & \quad x^2 + y^2 > 0\\
+        0, & \quad x^2 + y^2 = 0
+    \end{cases}
+\]}
+
+    В точке $(0, 0)$ производная по $x$ равна 
+    \[
+        f'_x(0, 0) =
+        \lim_{x \to 0}
+            \left. \frac{\frac{x^2y^2}{x^2 + y^2}}{x} \right|_{y = 0} =
+        \lim_{x \to 0} 0 = 0
+    \]
+
+    В остальных точках есть окрестность, не включающая $(0, 0)$,
+    а значит производная равна
+    \[
+        f'_x =
+        y^2\brac{x^2}{x^2 + y^2}' =
+        y^2\brac{2x(x^2 + y^2) - 2x^3}{(x^2 + y^2)^2} =
+        y^2\brac{2xy^2}{(x^2 + y^2)^2} =
+        \frac{2xy^4}{(x^2 + y^2)^2}
+    \]
+
+    Симметрично,
+    \[
+        f'_y(0, 0) = 0
+    \]\[
+        f'_y(x, y) = \frac{2yx^4}{(x^2 + y^2)^2}
+    \]
+
+    Теперь, вторая производная по $xy$ в нормальных точках:
+    \begin{align*}
+        f''_{xy} &=
+        \frac{2x\br{ 4y^3(x^2 + y^2)^2 - 2(x^2 + y^2)(2y)y^4 }}{(x^2 + y^2)^4} =\\[8pt]&=
+        \frac{2y^4\br{ 4y^3(x^2 + y^2) - 4y^5 }}{(x^2 + y^2)^3} =
+        \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3}
+    \end{align*}
+
+    и в $(0, 0)$:
+    \[
+        \lim_{x \to 0} \left. \frac{\frac{2xy^4}{(x^2 + y^2)^2}}{x} \right|_{y=0} =
+        \lim_{x \to 0} 0 = 0
+    \]
+
+    симметрично по $yx$:
+    \[
+        f''_{yx}(0, 0) = 0
+    \]\[
+        f''_{yx}(x, y) = \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3}
+    \]
+
+    Получается, что в $(0, 0)$ производные равны.
+
+    Теперь,
+    \[
+        \lim_{\substack{x \to 0 \\ y = 0}} \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3} = 0
+    \]
+    \[
+        \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0 \\ x = y}} \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3} = 1
+    \]
+
+    Получаем, что предела нет и обе производные не непрерывны в $(0, 0)$
+
+\dmquestion{9}
+
+    \[
+        \fractial{u}{x} = \fractial{}{x} \frac{1}{r} = -\frac{r'_x}{r^2} =
+        \frac{x - a}{r^3}
+    \]
+    \[
+        \fractial{}{x} \frac{x - a}{r^3} = \frac{r^3 - 3r^2 r' (x - a)}{r^6} =
+        \frac{r^3 - 3r^2\frac{(x - a)^2}{r}}{r^6} =
+        \frac{r^2 - 3(x - a)^2}{r^5}
+    \]
+
+    Аналогично,
+    \[
+        \fractial{^2u}{y^2} = \frac{r^2 - 3(y - b)^2}{r^5}
+    \]\[
+        \fractial{^2u}{z^2} = \frac{r^2 - 3(z - c)^2}{r^5}
+    \]
+
+    и в сумме они равны
+    \begin{align*}
+        &\frac{r^2 - 3(x - a)^2}{r^5} +
+        \frac{r^2 - 3(y - b)^2}{r^5} +
+        \frac{r^2 - 3(z - c)^2}{r^5} =\\
+     = &\frac{3r^2 - 3\left((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2)\right)}{r^5} =\\
+     = &\frac{3r^2 - 3r^2}{r^5} = 0
+    \end{align*}
+    \qed
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

