From 5e3520d3c45e56811195f5f418bfb1b8c96ac2a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Fri, 18 Sep 2020 13:27:17 +0300
Subject: Dump more hws

---
 calc/sol0518.tex | 113 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 113 insertions(+)
 create mode 100644 calc/sol0518.tex

(limited to 'calc/sol0518.tex')

diff --git a/calc/sol0518.tex b/calc/sol0518.tex
new file mode 100644
index 0000000..994d81f
--- /dev/null
+++ b/calc/sol0518.tex
@@ -0,0 +1,113 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{../intro}
+
+\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
+\rhead{\color{gray} \small \textit{матан-0518}}
+\title{Матанализ 0518 (на 25 мая)}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+\maketitle
+\drawcat{50pt}
+\clearpage
+
+\dmquestion{1}
+
+    \[
+        F = \begin{cases}
+            x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 - 5 = 0\\
+            x_1 - x_2 + y_1^3 - y_2^3 + y_3^3 - 1 = 0\\
+            x_1^3 + 2x_2^3 + y_2y_3 - 4 = 0
+        \end{cases}
+    \]
+
+    \begin{itemize}[leftmargin=0.5in,rightmargin=0.5in]
+        \item[1.] $F(1, 1, 1, 1, 1) = 0$ -- верно
+        \item[2.] Каждая функция - многочлен,
+                    поэтому дифференцируема бесконечно много раз в любой точке
+        \item[3.]
+        \[% x_1, x_2, y_1
+            \mathrm{Jac}\ (y_2, y_3) \to (x_1, x_2, y_1) = \begin{vmatrix}
+                2x_1 & 2x_2 & 2y_1\\
+                1 & -1 & 3y_1^2\\
+                3x_1^2 & 6x_2^2 & 0
+            \end{vmatrix}_{\substack{x_1 = 1 \\ x_2 = 1 \\ y_1 = 1}} =
+            \begin{vmatrix}
+                2 & 2 & 2\\
+                1 & -1 & 3\\
+                3 & 6 & 0
+            \end{vmatrix} = 0
+        \]
+    \end{itemize}
+
+    Третье условие невыполнено.
+    \vspace{0.3in}
+
+    Для второго отображения первые два условия такие же, поэтому они выполнены.
+    Осталось проверить третье:
+
+    \[% y_1, y_2, y_3
+        \mathrm{Jac}\ (x_1, x_2) \to (y_1, y_2, y_3) = \begin{vmatrix}
+            2y_1 & 2y_2 & 2y_3\\
+            3y_1^2 & -3y_2^3 & 3y_3^2\\
+            0 & y_3 & y_2
+        \end{vmatrix}_{\substack{y_1 = 1 \\ y_2 = 1 \\ y_3 = 1}} =
+        \begin{vmatrix}
+            2 & 2 & 2\\
+            3 & -3 & 3\\
+            0 & 1 & 1
+        \end{vmatrix} = -12
+    \]
+
+    Третье условие выполнено $\Rightarrow$ отображение существует.
+
+\dmquestion{4}
+
+    \[
+        z(1 + x^2) = y(1 + z^4)
+    \]
+
+    возьмем производную от обеих частей уравнения по обеим переменным (по очереди, конечно):
+
+    \begin{align*}
+        z'_x(1 + x^2) + 2zx &= y'_x(1 + z^4) + y \cdot 4z^3 z'_x\\
+        2zx &= z'_x(4yz^3 - x^2 - 1)\\
+        z'_x &= \frac{2zx}{4yz^3 - x^2 - 1}
+    \end{align*}
+
+    \begin{align*}
+        z'_y(1 + x^2) &= y'_y(1 + z^4) + y \cdot 4z^3 z'_y\\
+        z'_y(1 + x^2 - 4yz^3) &= 1 + z^4\\
+        z'_y &= \frac{1 + z^4}{1 + x^2 - 4yz^3}
+    \end{align*}
+
+    Используем полученное:
+    \begin{align*}
+        \dif z &= z'_x \dif x + z'_y \dif y =\\
+        &=\frac{2zx}{4yz^3 - x^2 - 1} \dif x + \frac{1 + z^4}{1 + x^2 - 4yz^3} \dif y
+    \end{align*}
+
+\dmquestion{8}
+
+    \[
+        F = \begin{cases}
+            u^3 + 2xv - 1 = 0\\
+            v^3 - xu + 1 = 0
+        \end{cases}
+    \]
+
+    \begin{itemize}
+        \item[1.] $F(x = 0, u = 1, v = -1)$ -- условие выполнено
+        \item[2.] функции - многочлены, поэтому бесконечно дифференцируемы
+        \item[3.]
+        \[
+            \begin{vmatrix}
+                3u^2 & 2x\\
+                -x & 3v^2
+            \end{vmatrix}_{\substack{x = 0 \\ u = 1 \\ v = -1}} =
+            9
+        \] условие выполнено.
+    \end{itemize}
+
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

