From f642380d55c66e4e5deaaa6c7cef15f6dbfe36c6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Wed, 15 Apr 2020 04:35:30 +0300
Subject: Reorganize & alg-1

---
 dm-14.tex | 113 --------------------------------------------------------------
 1 file changed, 113 deletions(-)
 delete mode 100644 dm-14.tex

(limited to 'dm-14.tex')

diff --git a/dm-14.tex b/dm-14.tex
deleted file mode 100644
index 313e693..0000000
--- a/dm-14.tex
+++ /dev/null
@@ -1,113 +0,0 @@
-\documentclass[11pt]{article}
-\usepackage[x11names, svgnames, rgb]{xcolor}
-%\usepackage{tikz}
-%\usetikzlibrary{arrows,shapes}
-
-\usepackage{scrextend}
-
-\input{intro}
-
-\lhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль 192}
-\rhead{\color{gray} дм-14 (\texttt{cw14\_plus})}
-\title{Дискретная математика 14}
-\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ192}
-\date{билд: \today}
-
-% -- Here bet  dragons --
-\begin{document}
-
-\maketitle
-
-\twocolumn
-\begin{center} \textbf{1} \end{center}
-
-    По условию, $\expected{\textrm{prize}} = 40$
-    Значит,
-    \[
-        \expected{\text{prize} \geqslant 5000} \leqslant \frac{40}{5000} < 0.01
-    \]
-
-    \qed
-
-\begin{center} \textbf{2} \end{center}
-
-    \begin{align*}
-        \expected{X} =
-        \sum_{x \in \Omega} p(x) f(x) =\\
-        \sum_{f(x) \geqslant 5} p(x) f(x) + \sum_{f(x) < 5} p(x) f(x) \geqslant\\
-        \sum_{f(x) \geqslant 5} p(x) f(x) \geqslant
-        \sum_{f(x) \geqslant 5} p(x) 5 =\\
-        5\sum_{f(x) \geqslant 5} p(x) =
-        5\ \frac{1}{2} = 2.5
-    \end{align*}
-
-    Для любого $ 2.5 \leqslant Y < \infty $ матожидание $f_Y$ равно $Y$, если:
-
-    \begin{align*}
-        \Omega &= \{1, 2\} \\
-        f_Y (1) &= 0 \\
-        f_Y (2) &= 2Y \\
-        p_Y (1) &= \frac{1}{2} \\
-        p_Y (2) &= \frac{1}{2} \\
-    \end{align*}
-
-
-\begin{center} \textbf{3} \end{center}
-    Обозначим выбор чисел как двоичное число размера 30.
-    Тогда почти к каждому слову есть другое, симметричное,
-    то есть для почти каждого выбора $C$ 10 чисел есть симметричный выбор $C'$.
-    Пусть в $C$ находятся числа
-    \[
-        \{c_1, \ldots, c_{10}\}
-    \]
-    Тогда в $C'$ находятся числа
-    \[
-        \{29 - c_1, \ldots, 29 - c_{10}\}
-    \]
-    И сумма чисел в $C \text{ и } C'$ равна
-    \[
-        10 \cdot (c_1 + \ldots + c_{10} + 29 - c_1 + \ldots + 29 - c_{10}) = 290
-    \]
-
-    Симметричное слово есть для любого, но для некоторых оно совпадает.
-    Заметим, что так происходит только когда само слово было палиндромом,
-    Но тогда сумма чисел в выборе, соответствующем такому слову равна 145.
-
-    Значит, матожидание суммы чисел равно 145.
-
-\begin{center} \textbf{4} \end{center}
-    Возьмем некоторое слово. Напишем перед ним букву b, а после - a.
-    Теперь расставим в получившейся конструкции перегородки между разными буквами.
-    Тогда количество подслов ab равно количеству перегородок, у которых слева стоит a, а справа - b. Заметим, что для таких перегородок соседние перегородки обязательно делят подслова ba (b слева, a справа), иначе наша перегородка имела бы слева букву b или справа букву a. Значит, количество слов с $n$ подсловами равно $ \binom{21}{2n + 1} $
-    Тогда матожидание равно
-    \[
-        \frac{\displaystyle \sum_{i = 1}^{10} \binom{21}{2i + 1} i }{2^{20}} = 4.75
-    \]
-    (Ничего лучше, чем посчитать на калькуляторе, я не придумал)
-
-\begin{center} \textbf{5} \end{center}
-    \[
-        \probability{X \geqslant 6} =
-        \probability{2^X \geqslant 2^6}
-    \]
-    По неравенству Маркова:
-    \[
-        \probability{2^X \geqslant 64} \leqslant \frac{5}{64} < \frac{1}{10}
-    \]
-    \qed
-
-\begin{center} \textbf{6} \end{center}
-    Всего функций $(100n)^n$, из них инъекций: $\displaystyle \frac{(100n)!}{(99n)!}$
-    
-    Так как нам нужно найти предел, можно рассмотреть только $n = 2k, k \in \mathbb{N}$ (просто чтобы $n$ делилось на $2$)
-    \begin{flalign*}
-        A_n = \frac{(100n)!}{(99n)! (100n)^n} &=\\
-        \frac{99n + 1}{100n} \cdot \ldots \cdot \frac{99n + n}{100n} &=\\
-        \frac{99n + 1}{100n} \cdot \ldots \cdot \frac{99n + \frac{n}{2}}{100n} \cdot Q_n &\leqslant \qquad\qquad Q_n < 1\\
-        \br{ \frac{99n + \frac{n}{2}}{100n} }^{\frac{n}{2}} Q_n =
-        \br{ \frac{99.5}{100} }^{\frac{n}{2}} Q_n = B_n
-    \end{flalign*}
-    $\displaystyle \lim_{n \to \infty} B_n = 0$, а так как $0 < A_n \leqslant B_n$, то 
-    $\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n = 0$, что и требовалось
-
-\end{document}
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

