From 8e14231532896365806e440e5610b7b2d69dc83a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: syn <isaqtm@gmail.com>
Date: Wed, 26 Feb 2020 09:32:04 +0300
Subject: New bunch

---
 dm-17.tex | 100 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 100 insertions(+)
 create mode 100644 dm-17.tex

(limited to 'dm-17.tex')

diff --git a/dm-17.tex b/dm-17.tex
new file mode 100644
index 0000000..8d5e101
--- /dev/null
+++ b/dm-17.tex
@@ -0,0 +1,100 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage[x11names, svgnames, rgb]{xcolor}
+%\usepackage{tikz}
+%\usetikzlibrary{arrows,shapes}
+
+\usepackage{scrextend}
+
+\input{intro}
+
+\lhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль 192}
+\rhead{\color{gray} дм-17 (\texttt{cw17\_plus})}
+\title{Дискретная математика 17}
+\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ192}
+\date{билд: \today}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\twocolumn
+
+\dmquestion{1}
+    
+    С семинара:
+    \[
+        (FG)' = F'G + G'F, \qquad \brac{1}{F}' = -\frac{F'}{F^{2}}
+    \]
+    Тогда:
+    \[
+        \brac{F}{G}' =
+        \br{ F \cdot \frac{1}{G} }' =
+        \frac{F'}{G} - \frac{G'F}{G^2} =
+        \frac{F'G - G'F}{G^2}
+    \]
+
+\dmquestion{2}
+    
+    Пусть $F = f_1 x + f_2 x^2 + \ldots$
+
+    Аналогично, $G = g_1 x + g_2 x^2 + \dots$
+
+    Тогда
+    \[
+        F(G(x)) = f_1 G(x) + f_2 G(x)^2 + \ldots
+    \]
+
+    Будем строить $G$ по коэффициэнтам:
+    \begin{align*}
+        f_1 g_1 &&&&= 1\\
+        f_1 g_2 &+ f_2 g_1 &&&= 0\\
+        f_1 g_3 &&+ f_3 g_1 &&= 0\\
+        f_1 g_4 &+ f_2 g_2 &&+ f_4 g_1 &= 0
+    \end{align*}
+
+    Тогда для каждого уравнения есть новый (ещё не определённый) коэффициент из первого члена ($f_1G(x)$), то есть если $f_1 \neq 0$, то мы всегда сможем продолжать строить функцию $G$ таким образом.
+
+    Если $f_1 = 0$, то:
+    \begin{enumerate}
+        \item $F \equiv 0$, тогда $\forall G: F(G(x)) \equiv 0$
+        \item $F \neq 0 $, тогда минимальная степень $x$ в выражении не меньше $2$,
+        для любой $G$.
+    \end{enumerate}
+
+    Поэтому $F$ ``обратима'' (т.е. $\exists G : F(G(x)) = x$)
+    тогда и только тогда, когда $f_1 \neq 0$.
+
+\newpage
+
+\dmquestion{4}
+    \begin{align*}
+        F &= (1, 1, 1, 1, 1, \ldots)\\
+        F' &= (0, 1, 2, 3, 4, \ldots)\\
+        F'' &= (0, 0, 2 \cdot 1, 3 \cdot 2, 4 \cdot 3, \ldots)\\
+    \end{align*}
+
+    Мы знаем, что $F = \frac{1}{1 - x}$.
+
+    Тогда $F' = \frac{1}{\br{ 1 - x }^2}$
+    и $F'' = 2\frac{1 - x}{(1 - x)^4} = 2\frac{1}{(1 - x)^3}$.
+
+    Также мы знаем, что если умножить функцию $G$ на $S = (1 + x + x^2 + \ldots)$, 
+    то мы получим функцию, у которой $i$-тый коэффициент равен сумме первых $i$ коэффициентов $G$
+
+    \[
+        K = \frac{F''}{1 - x} = \frac{2}{(1 - x)^4}
+    \]
+    \[
+        K^{(n)} = 2\br{ 4 \cdot 5 \cdot \ldots (n + 3)
+            \frac{(1 - x)^{n + 2}}{(1 - x)^{2(n + 3)}} } = \frac{2n!}{(1 - x)^{n + 4}}
+    \]
+    \[
+        \frac{K^{(n)}}{n!} = \frac{2(n + 3)!}{3!n!} = \frac{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}{6}
+    \]
+    Это не совсем то, что мы хотели, потому что в $F''$ были два лишних нуля. Поэтому правильная формула выглядит так:
+    \[
+        \frac{(n - 1)n(n + 2)}{6} = \frac{n(n^2 - 1)}{6}
+    \]
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.1-18-gbd029

