\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}

\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-2}}
\title{Алгебра 2}

% -- Here bet  dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{50pt}
\clearpage

\dmquestion{1}

    Рассмотрим группу $D_4$. Пусть $H_1$ - группа из симметрий относительно горизонтальной и вертикальной осей симметрий квадрата. В ней находятся $e$, две указанных симметрии и поворот на $\pi$. Методом пристального взгляда убеждаемся, что она нормальна в $D_4$. Теперь возьмем в качестве $H_2$ только одну симметрию. Она нормальна в $H_1$, но не нормальна в $D_4$ например потому, что не коммутирует с любой из диагональных симметрий.

\dmquestion{2}

    Рассмотрим $f = h_1 h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}$.

    $H_1$ нормальна, поэтому $h_2 h_1^{-1} h_2^{-1} \in H_1$. Также, $H_1$ - подгруппа и $h_1 \in H_1$,
        значит, $f = h_1 (h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}) \in H_1$.

    $H_2$ нормальна, поэтому $h_1 h_2 h_1^{-1} \in H_2$. Также, $H_2$ - подгруппа и $h_2 \in H_2$,
        значит, $f = (h_1 h_2 h_1^{-1}) h_2^{-1} \in H_2$.

    Так как $H_1 \cap H_2 = \{e\}$, то $f = e$, поэтому $h_1 h_2 = h_2 h_1$.
\dmquestion{3}

    \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})}
    \newcommand{\SL}{\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})}

    Пусть $M \in \GL$
    принадлежит центру $\GL$.

    Возьмем $A_i$ -- матрицу элементарного преобразования, которая умножает $i$-ю строку на $2$ при умножении на нее слева и столбец при умножении на нее справа.

    тогда так как $M \in Z(\GL)$, то $MA_i = A_iM$.
    Такое равенство выполняется для всех $1 \leqslant i \leqslant n$ тогда, и только тогда, когда в $M$ ненулевые элементы стоят только на диагонали.

    Теперь возьмем $B_{ij}$ -- матрицу, которая меняет строки $i$ и $j$.

    Умножив $M$ на нее справа и слева получим,
    что $i$-ый и $j$-й элементы диагонали равны.

    Перебрав $i$ и $j$ получим, что все элементы на диагонали равны. Поэтому $M$ имеет вид $\lambda E$. А такие матрицы коммутируют с любыми.

    Для $\SL$ ситуация почти аналогичная, только нам надо брать матрицы преобразования с единичным определителем:

    Для первого шага нужно преобразование, которое умножает одну строку на $2$, а другую на $\frac{1}{2}$. Так мы получим, что все матрицы из центра - диагональные. А для второго шага надо брать матрицу, которая меняет местами две пары строк. Но так как перестановочные матрицы уже не коммутируют, то по строкам мы выполняем преобразование в одном порядке, а по столбцам - в другом:

    Пусть мы хотим менять строки перестановкой $(12)(23)$, тогда мы меняем столбцы перестановкой $(23)(12)$:

\clearpage

    По строкам:
    \[
        \begin{bmatrix}
            1 &   &  \\
              & 2 &  \\
              &   & 3\\
        \end{bmatrix}
        \overset{(23)}{\mapsto}
        \begin{bmatrix}
            1 &   &  \\
              &   & 3\\
              & 2 &  \\
        \end{bmatrix}
        \overset{(12)}{\mapsto}
        \begin{bmatrix}
              &   & 3\\
            1 &   &  \\
              & 2 &  \\
        \end{bmatrix}
    \]

    По столбцам:
    \[
        \begin{bmatrix}
            1 &   &  \\
              & 2 &  \\
              &   & 3\\
        \end{bmatrix}
        \overset{(12)}{\mapsto}
        \begin{bmatrix}
              & 1 &  \\
            2 &   &  \\
              &   & 3\\
        \end{bmatrix}
        \overset{(23)}{\mapsto}
        \begin{bmatrix}
              &   & 1\\
            2 &   &  \\
              & 3 &  \\
        \end{bmatrix}
    \]

    Отсюда получаем, что все элементы на диагонали равны, а значит
    \[
        Z(\SL) = \begin{cases}
        \{E\}, &n = 2k + 1\\
        \{E, -E\}, &n = 2k
        \end{cases}
    \]

\dmquestion{4}

    Воспользуемся тем фактом, что группа целых чисел - циклическая
    \[
        (\mathbb{Z}, + ) = \cycle{1}
    \]

    и любая подгруппа имеет вид $(k\mathbb{Z}, + )$.

    Пусть $(\mathbb{Z}, + ) \overset{\phi}{\simeq} (m\mathbb{Z}, + ) \times (n\mathbb{Z}, + )$.
    Но так как $\phi$ -- гомоморфизм, то
    $
        \cycle{1} \mapsto \cycle{\phi(1)}
    $.

    Но тогда в образе $\phi$ обе координаты всегда пропорциональны, а это явно не вся группа, если ни один из множителей не $\{e\}$. Противоречие.

\end{document}