\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}

\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-3}}
\title{Алгебра 3}

% -- Here bet  dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{50pt}
\clearpage

\dmquestion{1}

    Различных базисов в $B$ всего два: $(\pm a, \ldots, \pm a)$,
    а так как в базисе всего один элемент, то он сразу согласован с $\ \ u_1 = |a|, \ \  e_1 = (\pm 1, \ldots \pm 1)$.

    В $\mathbb{Z}^n$ для элемента $(\pm 1, \ldots, \pm 1)$ мы можем выбрать еще элементов до базиса:
    \begin{align*}
        &(1, 0, \ldots, 0)\\
        &(0, 1, \ldots, 0)\\
        &\quad \quad \ \ \vdots\\
        &(0, \ldots, 1, 0)
    \end{align*}

    Понятно, что это базис и понятно, как получить все остальные - домножить на обратимую над $\mathbb{Z}$ матрицу.
    Мы не могли брать в качестве базисного элемент $(b, \dots b)$, где $b$ - какой-то делитель $a$,
    потому что если бы он был в базисе $\mathbb{Z}^n$, то матрица перехода к нему от стандартного базиса была бы необратимой над $\mathbb{Z}$, а значит это не был бы базис.

\dmquestion{2}

    \begin{align*}
        \begin{bmatrix}
            5 & 5 & 2\\
            11 & 8 & 5\\
            17 & 5 & 8
        \end{bmatrix} \simeq
        \begin{bmatrix}
            1 & 5 & 2\\
            1 & 8 & 5\\
            1 & 5 & 8
        \end{bmatrix} \simeq
        \begin{bmatrix}
            1 & 0 & 0\\
            1 & 3 & 3\\
            1 & 0 & 6
        \end{bmatrix} \simeq
        \begin{bmatrix}
            1 & 0 & 0\\
            0 & 3 & 3\\
            0 & 0 & 6
        \end{bmatrix} \simeq
        \begin{bmatrix}
            1 & 0 & 0\\
            0 & 3 & 0\\
            0 & 0 & 6
        \end{bmatrix} \simeq
    \end{align*}

    Тогда
    \[
        A/B \simeq
        \mathbb{Z}_1 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_6 =
        \{0\} \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_6 \simeq
        \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_6
    \]

\dmquestion{3}

    Рассмотрим группу строго убывающих по модулю последовательностей целых чисел с операцией покоординатного сложения (считаем, что координат бесконечное число).
    Такое множество счетно, потому что последовательностей, начинающихся с определенного числа конечное число, целые числа счетны, а счетное обьединение конечных или счетных множеств счетно. Ну и это группа с нейтральным элементом $\{0\}$. Так как количество координат бесконечно, а каждый элемент имеет только конечное количество ненулевых координат, то и конечной порождающей системы нет.


\end{document}