\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}

\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-4}}
\title{Алгебра 4}

% -- Here bet  dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{30pt}
\clearpage

\dmquestion{1}

    \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

    Решим уравнение $2x = 0, \ \ x \in \Z_2 \oplus \Z_4 \oplus \Z_3$:
    из $\Z_2$ мы можем взять любой элемент,
    из $\Z_4$ можем взять $\{0, 2\}$,
    из $\Z_3$ только $0$. Тогда уравнению удовлетворяют $4$ элемента.
    Каждый из этих элементов имеет порядок или $1$ или $2$, но порядок $1$ имеет только нейтральный, поэтому из этих четырех нам не подходит только один. Поэтому элементов порядка $2$ всего $3$: $(0, 2, 0), \ (1, 0, 0), \ (1, 2, 0)$

    Аналогично, $3x = 0$ имеет два ненулевых решения: $(0, 0, 1), \ (0, 0, 2)$

    $4x = 0$ имеет $8$ решений, из которых $4$ удовлетворяют уравнению $2x = 0$, поэтому их порядок никак не больше $2$, поэтому элементов порядка $4$ всего $4$.

    Уравнению $6x = 0$ удовлетворяют $12$ элементов, но из них:
    один нейтральный, три имеют порядок $2$, и еще $2$ имеют порядок $3$,
    поэтому элементов порядка $6$ всего $6$ штук.

    Ответ: $3, 2, 4, 6$.

\dmquestion{2}

    $H$ изоморфна либо $\Z_3 \oplus \Z_{25}$, либо $\Z_3 \oplus \Z_5 \oplus \Z_5$, но в первом случае группа циклическая, что противоречит условию, значит $H \simeq \Z_3 \oplus \Z_5 \oplus \Z_5$.

    По теореме с лекции, любая подгруппа порядка $5$ или $15$ - это $\Z_5$ или $\Z_5 \oplus \Z_3$ соответственно. В частности, это значит, что такие подгруппы циклические, и порождены одним элементом порядка $5$ или $15$ соответственно.

    Как в первой задаче, находим количество элементов нужных порядков.
    Их будет соответственно $24$ и $48$.
    Но в подгруппе порядка $5$ есть $4$ разных порождающих, потому что они все имеют порядок $5$,
    а в подгруппе размера $15$ есть $\varphi(15) = 8$ разных порождающих.
    Поэтому разных подгрупп порядка $5$: $\frac{24}{4} = 6$, а порядка $15$: $\frac{48}{8} = 6$.

\dmquestion{3}

    Перейдем к другому базису: запишем порождающие $B$ в строки и снизу припишем координаты представителя:
    \begin{align*}
        &\begin{pmatrix}
            2 & 1 & -50\\
            4 & 5 & 60\\
            \hline
            32 & 0 & 31
        \end{pmatrix} \sim
        \begin{pmatrix}
            1 & 2 & -50\\
            5 & 4 & 60\\
            \hline
            0 & 32 & 31
        \end{pmatrix} \sim
        \begin{pmatrix}
            1 & 0 & -50\\
            5 & -6 & 60\\
            \hline
            0 & 32 & 31
        \end{pmatrix} \sim\\
        \sim&\begin{pmatrix}
            1 & 0 & -50\\
            0 & -6 & 310\\
            \hline
            0 & 32 & 31
        \end{pmatrix} \sim
        \begin{pmatrix}
            1 & 0 & 0\\
            0 & -6 & 310\\
            \hline
            0 & 32 & 31
        \end{pmatrix} \sim
        \begin{pmatrix}
            1 & 0 & 0\\
            0 & 6 & -310\\
            \hline
            0 & 32 & 31
        \end{pmatrix} \sim\\
        \sim&\begin{pmatrix}
            1 & 0 & 0\\
            0 & 6 & 2\\
            \hline
            0 & 32 & 1695
        \end{pmatrix} \sim
        \begin{pmatrix}
            1 & 0 & 0\\
            0 & 2 & 6\\
            \hline
            0 & 1695 & 32
        \end{pmatrix} \sim
        \begin{pmatrix}
            1 & 0 & 0\\
            0 & 2 & 0\\
            \hline
            0 & 1695 & -5053
        \end{pmatrix}
    \end{align*}

    Получается, что $A/B \simeq \{0\} \oplus \Z_2 \oplus \Z$, а так как последняя координата ненулевая, то $\mathrm{ord}((32e_1 + 31e_3) + B) = \infty$
\end{document}