\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}

\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-5}}
\title{Алгебра 5}

% -- Here bet  dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{30pt}
\clearpage

\dmquestion{1}

    Такое действие - просто умножение на три разных ненулевых коэффициента координат данного вектора. Поэтому орбита какого-то вектора - все векторы, у которых в тех же местах стоят ненулевые координаты (получается, всего $8$ орбит).

    По тем же соображениям, стабилизатор элемента $(x_1, x_2, x_3)$ -- матрицы вида $\mathrm{diag}(a_1, a_2, a_3) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ со следующим условием: если $x_i \neq 0$, то $a_i = 1$.

    Простая проверка показывает, что любая такая матрица лежит в стабилизаторе;
    любая другая не оставляет вектор на месте,
    потому что не оставляет соответствующую координату на месте.

\dmquestion{2}

    Ядро неэффективности такого действия - это такие $g$, что
    \[
        \forall h \in G : ghg^{-1} = h
    \]

    Умножая на $g$ справа получаем
    \[
        \forall h \in G : gh = hg
    \]

    а это в точности определение элемента из центра. \qed

\dmquestion{3}

    Упорядочим $G = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ лексикографически.
    Тогда посмотрим на действие $G$ на себя левыми сдвигами
    и для каждого элемента найдем соответствующую перестановку:

    \begin{align*}
        &(0, 0): \begin{bmatrix}
            (0, 0) \mapsto (0, 0)\\
            (0, 1) \mapsto (0, 1)\\
            (1, 0) \mapsto (1, 0)\\
            (1, 1) \mapsto (1, 1)\\
        \end{bmatrix} = \mathrm{id}\\
        &(0, 1): \begin{bmatrix}
            (0, 0) \mapsto (0, 1)\\
            (0, 1) \mapsto (0, 0)\\
            (1, 0) \mapsto (1, 1)\\
            (1, 1) \mapsto (1, 0)\\
        \end{bmatrix} = (1\ 2)(3\ 4)\\
        &(1, 0): \begin{bmatrix}
            (0, 0) \mapsto (1, 0)\\
            (0, 1) \mapsto (1, 1)\\
            (1, 0) \mapsto (0, 0)\\
            (1, 1) \mapsto (0, 1)\\
        \end{bmatrix} = (1\ 3)(2\ 4)\\
        &(1, 1): \begin{bmatrix}
            (0, 0) \mapsto (1, 1)\\
            (0, 1) \mapsto (1, 0)\\
            (1, 0) \mapsto (0, 1)\\
            (1, 1) \mapsto (0, 0)\\
        \end{bmatrix} = (1\ 4)(2\ 3)\\
    \end{align*}

    Это и есть подгруппа $S_n$, изоморфная $G$

\dmquestion{4}

    Пусть $\tau = (1\ 2\ 3\ \ldots\ n)$.
    Тогда нам надо найти все такие $\sigma \in S_n$, что 
    \[
        \sigma \tau \sigma^{-1} = \tau  \Leftrightarrow \sigma \tau = \tau \sigma
    \]
    
    Понятно, что $\tau$ коммутирует со всеми своими степенями.

    Пусть единица при $\sigma$ переходит в $k$.
    Тогда, чтобы не терять коммутативность, $2$ переходит в $k + 1$.
    Чтобы теперь не противоречить коммутативности нового перехода для $2$,
    $3$ должна переходить в $k + 2$ и так далее$^\dagger$. Тогда каждый элемент переходит на $k$ позиций вправо, а это и есть $k$-ая степень $\tau$. \qed

    $^\dagger$ $k + 1, k + 2$ берутся по модулю $n$, с прибавлением единички, если надо, чтобы не выходить из $[1..n]$

\end{document}