\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}

\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-6}}
\title{Алгебра 6}

% -- Here bet  dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{30pt}
\clearpage

\dmquestion{1.1}

    Из линейной алгебры мы знаем кучу эквивалентных условий для обратимости матрицы, например, что её определитель не равен нулю.

\dmquestion{1.2}
    
    $A$ делитель нуля $\Leftrightarrow$ $A$ необратима

    \begin{itemize}
        \item[$\Rightarrow$] Факт с лекции: для любого кольца делитель нуля необратим
        \item[$\Leftarrow$] Пусть $A$ необратима,
        тогда у системы $Ax = 0$ есть ненулевое решение $(x_1, x_2)$.
        Но тогда 
        \[
            A \begin{bmatrix} x_1 & 0\\ x_2 & 0\end{bmatrix} = 0
        \]

        Обе матрицы ненулевые, а значит $A$ - делитель нуля.
    \end{itemize}

\dmquestion{1.3}

    Рассмотрим оператор, задаваемый матрицей $A \in M_{2\times2}(\mathbb{C})$ и посчитаем его характеристический многочлен:
    \[
        \chi(x) = x^2 + ax + b
    \]

    У него над полем $\mathbb{C}$ два корня:
    \[
        x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4c}}{2}
    \]
    откуда следует, что мнимые части отличаются только знаком.
    Значит, либо оба корня ненулевые и не действительные, либо оба действительные.

    Докажем, что они оба действительные: предположим противное, они оба комплексные. Тогда над полем $\mathbb{C}$ ЖНФ оператора имеет вид \[
        \begin{bmatrix}
            x_1 & 0\\
            0 & x_2
        \end{bmatrix}
    \]
    ранг которой равен $2$, но тогда и ранг $A$ равен $2$, значит она обратима,
    а значит не может быть нильпотентом.

    Тогда оба корня действительные и, по аналогичным соображениям,
    один из них равен $0$.
    
    Получается, что $A = CJC^{-1}$, где $J$ - ее Жорданова форма, имеющая вид
    \[
        \begin{bmatrix}
            t & 0\\
            0 & 0
        \end{bmatrix}
        \text{ или }
        \begin{bmatrix}
            0 & 1\\
            0 & 0
        \end{bmatrix}
        \text{ или }
        \begin{bmatrix}
            0 & 0\\
            0 & 0
        \end{bmatrix}
    \]

    Ну и понятно, что $A = CJC^{-1}$ - нильпотент для любой обратимой $C$:
    \[
        A^2 = (CJC^{-1})^2 = CJC^{-1}CJC^{-1} = CJJC^{-1} = 0
    \]

\dmquestion{2}

    Докажем такой факт: $p \in I \Rightarrow \gcd(p, n) \in I$.

    Мы хотим: $\exists x \suchthat px = \gcd(p, n)$ или в целых числах:
    $px - yn = \gcd(p, n)$. Но это обычное диофантово уравнение относительно $x$ и $y$,
    и оно имеет решения $(x_0 + mn, y_0 + mp), m \in \mathbb{Z}$.

    $x$ из решений отличаются на $n$, поэтому найдется $0 \leqslant x < n$, для которого
    выполняется $px = \gcd(p, n) (\mathrm{mod}\  n)$, а значит, $\gcd(p, n) \in I$.

    Тогда видно, что любой идеал натянут на какие-то делители $n$.

    \medskip

    Идеал, порожденный каким-то делитель $d$ -- все остатки, делящиеся на $d$:
    \begin{itemize}[leftmargin=1in,rightmargin=1in]
        \item[1] все, что мы можем получить, умножая $d$ на другие элементы - только остатки, делящиеся на $d$.
        \item[2] любой остаток, делящийся на $d$ мы можем получить, просто умножив его на первые несколько остатков ($0d, 1d, 2d, \ldots$)
    \end{itemize}

\dmquestion{3}
    
    Пусть $f = (x - 1), \ g = (x - 2)$. Тогда $I = (\{f, g\})$ - идеал. 

    $f$ (и $g$) единственным образом раскладывается в произведение
    двух элементов кольца: $1(x - 1)$ (и $1(x - 2)$).

    $f$ и $g$ могут быть порождены только $1$,
    поскольку это единственный их общий множитель.
    Так как $(1) = \mathbb{Z}[x] \neq I$,
    то $I$ не порожден $1$, а значит не порожден никаким элементом кольца. \qed


\end{document}