\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}

\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-6}}
\title{Алгебра 6}

% -- Here bet  dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{30pt}
\clearpage

\dmquestion{1}

    Достаточно показать, что многочлен остается на месте для всех транспозиций вида $(i, i + 1)$, тогда он остается на месте для любой перестановки.

    % (x_1 + x_2 - x_3 - x_4)(x_1 - x_2 + x_3 - x_4)(x_1 - x_2 - x_3 + x_4)
    \begin{itemize}[leftmargin=0.7in]
        \item[$(x_1, x_2)$:]
        \begin{tabular}{|c}
        \(
            (x_1 + x_2 - x_3 - x_4)(x_2 - x_1 + x_3 - x_4)(x_2 - x_1 - x_3 + x_4)
        \)\\

        последние две скобки поменялись местами и поменяли знак
        \end{tabular}

        \item[$(x_2, x_3)$:]
        \begin{tabular}{|c}
        \(
            (x_1 + x_3 - x_2 - x_4)(x_1 - x_3 + x_2 - x_4)(x_1 - x_3 - x_2 + x_4)
        \)\\

        первые две скобки поменялись местами
        \end{tabular}

        \item[$(x_3, x_4)$:]
        \begin{tabular}{|c}
        \(
            (x_1 + x_2 - x_4 - x_3)(x_1 - x_2 + x_4 - x_3)(x_1 - x_2 - x_4 + x_3)
        \)\\

        последние две скобки поменялись местами
        \end{tabular}

    \end{itemize}

    Значит, многочлен симметрический.
    \vspace*{20pt}

    Так так многочлен однородный, то мы можем сразу выписать все мономы, которые входят в разложение (возможно, с нулевыми коэффициентами)

    $L(f) = x_1^3$, поэтому на итерациях алгоритма могут получиться
    три разных старших члена: $x_1^3, \ x_1^2 x_2, \ x_1 x_2 x_3$.
    Для каждого из них мономы: $\sigma_1^3, \ \sigma_1\sigma_2, \ \sigma_3$.
    Причем первый из них точно входит с коэффициентом $1$.

    Теперь, методом неопределенных коэффициентов узнаем коэффициенты остальных мономов:
    \[
        f = \sigma_1^3 + A\sigma_1\sigma_2 + B\sigma_3
    \]
    \[
        A = -4, \qquad B = 8
    \]

    Получаем:
    \[
        f = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 8\sigma_3
    \]

\dmquestion{2}

    Пусть $x_1, x_2, x_3$ -- корни многочлена
    $3\br{ x^3 + \frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{3} }$

    Тогда нас просят посчитать
    \[
        \frac{1}{x_1} + 
        \frac{1}{x_2} + 
        \frac{1}{x_3} =
        \frac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_1x_2x_3} = \frac{\sigma_2}{\sigma_3}
    \]

    По теореме Виета
    \begin{align*}
        \sigma_2 = 0\\
        \sigma_3 = \frac{1}{3}
    \end{align*}

    Значит, то, что нам нужно равно $0$.

\clearpage

\dmquestion{3}

    Наш многочлен:
    \[
        f = x^4 + x - 1
    \]

    Пусть нужный многочлен имеет вид
    \[
        g = x^4 - \alpha_1 x^3 + \alpha_2 x^2 - \alpha_3 x + \alpha_4
    \]

    а $x_1, x_2, x_3, x_4$ -- корни нашего многочлена

    Тогда от нас хотят, чтобы:
    \begin{align*}
        \alpha_4 &= (x_1 x_2 x_3 x_4)^3 =\\
            &= \sigma_4^3
            = -1\\[12pt]
        \alpha_3 &= (x_1 x_2 x_3)^3 + (x_1 x_2 x_4)^3 +
                    (x_1 x_3 x_4)^3 + (x_2 x_3 x_4)^3 =\\
            &= 3 \sigma_4^2 \sigma_1 - 3 \sigma_4 \sigma_3 \sigma_2 + \sigma_3^3
            = -1\\[12pt]
        \alpha_2 &= (x_1 x_2)^3 + (x_1 x_3)^3 + (x_1 x_4)^3 +
                    (x_2 x_3)^3 + (x_2 x_4)^3 + (x_3 x_4)^3\\
            &= 3\sigma_4\sigma_1^2 - 3\sigma_4\sigma_2 -
               3\sigma_1\sigma_3\sigma_2 + 3\sigma_3^2 +
               \sigma_2^3
            = 3\\[12pt]
        \alpha_1 &= x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + x_4^3 =\\
            &= 3\sigma_3 + \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2
            = -3
    \end{align*}

    Итого, нужный нам многочлен:
    \[
        g = x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x - 1
    \]

\dmquestion{4}
    
    \newcommand{\almostD}{\ensuremath{\mathrm{D}_\text{почти}}}

    {\color{lightgray}
        Здесь было рассуждение про почти дискриминант
        \[
            \almostD = (x_1 - x_2)(x_2 - x_3)(x_1 - x_3)
        \]

        который тоже равен нулю, если есть кратный корень,
        но он оказался не симметрическим и пришлось считать обычный :(
    }

    %У честного дискриминанта 6 степень и считать его чото не хочется :(

    %Понятно, что \almostD \ равен нулю тогда же, когда и
    %$\mathrm{D}_\text{честный}$, а именно, когда есть кратный корень.

    %Как в 1 задаче разложим \almostD \ в элементарные:
    %\[
    %    \almostD = \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_3
    %\]

    \[
        f = x^3 - 3x + \lambda
    \]

    \[
        \sigma_1 = 0, \ \ \sigma_2 = -3, \ \ \sigma_3 = -\lambda
    \]

    \[
        \mathrm{D}(f) = - 27 \sigma_3^2 - 4 \sigma_3 \sigma_1^3 +
        18 \sigma_3 \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_1^2 \sigma_2^2 -
        4 \sigma_2^3 = -27 \sigma_3^2 - 4 \cdot (-27)
    \]

    Мы хотим, чтобы дискриминант был равен $0$, значит $-\lambda = \sigma_3 = \pm 2$

\dmquestion{5}

    Докажем по индукции, что $\mathbb{N}^k$ с лексикографическим порядком
    -- фундированное, из этого сразу будет следовать утверждение задачи.

    База: $\mathbb{N}$ -- очевидно

    Теперь пусть $\mathbb{N}^{k - 1}$ -- фундированное, а $\mathbb{N}^{k}$ -- нет.

    Рассмотрим тогда бесконечно убывающую цепь в $\mathbb{N}^{k}$. Назовем ее $C$. $C_i$ тогда -- строчка из натуральных чисел -- `цифр'.

    Теперь посмотрим на те переходы от $C_i$ к $C_{i + 1}$,
    когда меняются первые $k - 1$ цифр.
    Дальше есть два варианта: таких переходов:
    \begin{itemize}
    \item[1.] \textit{бесконечное число}
    \par
        Тогда при каждом таком переходе явно не увеличивается подслово из первых
        $k - 1$ цифр, но все-таки, по построению, изменяется. Значит, уменьшается.
        Тогда, забыв про последнюю цифру,
        мы получим бесконечно убывающую цепь в $\mathbb{N}^{k - 1}$.
    \item[2.] \textit{конечное число}
        Это означает, что начиная с какого-то момента
        уменьшается только последняя цифра.
        А так как $\mathbb{N}$ тоже фундированное,
        то цепь $C$ когда-то закончится.
    \end{itemize}

    В любом случае приходим к противоречию, значит, $\mathbb{N}^k$ - фундированное. \qed

    \vspace*{30pt}

    Утверждение задачи -- переформулировка фундированности $\mathbb{N}^n$:
    моном однозначно определяется степенями переменных.

\end{document}
