\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}

\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-8}}
\title{Алгебра 8}

% -- Here bet  dragons --
\begin{document}
\maketitle
%\drawcat{30pt}
\clearpage

\dmquestion{1}

    \[
        f = x^5 + x^3 + x, \quad g = x^4 + x + 1
    \]

    \begin{align*}
        (f, g) = (x^5 + x^3 + x, \quad x^4 + x + 1) =\\
        (x^3 - x^2, \quad x^4 + x + 1) =\\
        (x^3 - x^2, \quad x^2 + x + 1) =\\
        (-2x^2 - x, \quad x^2 + x + 1) =\\
        (- x, \quad x^2 + x + 1) =\\
        (x, \quad x^2 + x + 1) = 1\\
    \end{align*}

\dmquestion{2}

    Так как $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) : \mathbb{Q}] = 3$, то мы можем записать так:
    \[
        \frac{1 - \sqrt[3]{3}}{1 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}} = a + b\sqrt[3]{3} + c\sqrt[3]{9}
    \]

    и умножить на знаменатель обе части ($\alpha = \sqrt[3]{3}$:
    \[
        1 - \alpha = (a + b\alpha + c\alpha^2)(1 + \alpha - \alpha^2) =
        a - b + c + \alpha(a + b - c) + \alpha^2(b + c - a)
    \]

    Получаем СЛУ
    \[
        \left[\begin{array}{@{}ccc|c@{}}
            1 & -1 & 1 & 1 \\
            1 & 1 & -1 & -1 \\
            -1 & 1 & 1 & 0 \\
        \end{array}\right]
    \]

    Решаем, получаем
    \begin{align*}
        a &= 0\\
        b &= -\frac{1}{2}\\
        c &= \frac{1}{2}\\
    \end{align*}

    \[
        \frac{1 - \sqrt[3]{3}}{1 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}} = -\frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{\sqrt[3]{9}}{2}
    \]

\dmquestion{3}

    Аналогично семинарской задаче:
    \[
        \mathbb{Q}(\sqrt3 + \sqrt5) = \mathbb{Q}(\sqrt3)(\sqrt{5})
    \]

    Степень расширения равна $2 \cdot 2 = 4$.

    Поэтому по теореме с лекции минимальный многочлен степени $4$.

    \begin{align*}
        x = \sqrt3 + \sqrt5\\
        x^2 = 8 + 2\sqrt{15}\\
        (x^2 - 8)^2 = 60\\
        x^4 - 16x^2 + 4 = 0
    \end{align*}

    У нас есть зануляющий многочлен нужной степени, значит, это то, что нам нужно.
\dmquestion{4}

    \begin{align*}
        x^4 + x^2 + 1 =
        (x^2)^2 + x^2 + 1 \\
        \text{корни: } x^2 =
        \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} =
        -\sqrt[3]{-1}; \sqrt[3]{-1}^2\\
        x = \left\{ \pm \sqrt[3]{-1}; \pm \sqrt[3]{-1}^2 \right\}
    \end{align*}

    Теперь видно, что присоединение $\sqrt[3]{-1}$ дает все корни, а степень такого расширения равна $3$.

\end{document}