\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}

\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{матан-0420}}
\title{Матанализ 0420}

% -- Here bet  dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{50pt}
\clearpage

\dmquestion{1c}{\[
    f(x, y, z) = \frac{z}{x^2 + y^2}
\]}

    \begin{align*}
        \fractial{f}{x} &= -\frac{2 x z}{(x^2 + y^2)^2}\\[8pt]
        \fractial{f}{y} &= -\frac{2 y z}{(x^2 + y^2)^2}\\[8pt]
        \fractial{f}{z} &= \frac{1}{x^2 + y^2}\\
    \end{align*}
    \[
        \dif f =
            -\frac{2 x z}{(x^2 + y^2)^2} \dif x
            -\frac{2 y z}{(x^2 + y^2)^2} \dif y
            +\frac{1}{x^2 + y^2} \dif z
    \]

\dmquestion{5}

    Нормаль к плоскости из условия: $n = (1, -4, 6)$.

    Пусть $F = x^2 - 2y^2 - z^2 - 12 = 0, \nabla F = (2x, -4y, -2z)$.

    Нам требуется решить систему
    \[
        \begin{cases}
            \nabla F (x_0, y_0, z_0)\  \|\  n\\[6pt]
            F(x_0, y_0, z_0) = 0
        \end{cases}
    \]

    Из первого:
    \[
        y_0 = 2x_0, \qquad -\frac{1}{3}z_0 = 2x_0, \quad z_0 = -6x_0
    \]

    Второе:
    \[
        x_0^2 - 8x_0^2 - 36x_0^2 - 12 = 0
    \]
    \[
        -43x_0^2 = 12
    \]

    Но такого в $\mathbb{R}$ не бывает, поэтому у поверхности нет точек, в которых касательная плоскость параллельна плоскости из условия.

\dmquestion{15b}{\[
    x^y = y^x
\]}
\clearpage

\dmquestion{16c}{\[
    x + y + z = e^z
\]}

    Продифференцируем обе части равенства по $x$
    \[
        1 + \fractial{z}{x} = \fractial{z}{x} e^z
    \]
    \[
        \fractial{z}{x} = \frac{1}{e^z - 1}
    \]

    Аналогично по $y$, 
    \[
        \fractial{z}{y} = \frac{1}{e^z - 1}
    \]
\end{document}