\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}

\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{матан-0427}}
\title{Матанализ 0427 (на 13 мая)}

% -- Here bet  dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{50pt}
\clearpage

\dmquestion{5}{\[
    \text{Найти } f^{(m + n)}_{x^m y^n}(0, 0), \ \ f(x, y) = e^x \sin y
\]}

    \[
        f^{(m)}_{x^m} = e^x \sin y
    \]
    \[
        \br{ f^{(m)}_{x^m} }^{(n)}_{y^n} = e^x \sin\br{y + \frac{n\pi}{2}}
    \]

    В точке $(0, 0)$ производная равна $\sin \brac{n\pi}{2}$.

\dmquestion{6}{\[
    f(x, y) =
    \begin{cases}
        \frac{x^2y^2}{x^2 + y^2}, & \quad x^2 + y^2 > 0\\
        0, & \quad x^2 + y^2 = 0
    \end{cases}
\]}

    В точке $(0, 0)$ производная по $x$ равна 
    \[
        f'_x(0, 0) =
        \lim_{x \to 0}
            \left. \frac{\frac{x^2y^2}{x^2 + y^2}}{x} \right|_{y = 0} =
        \lim_{x \to 0} 0 = 0
    \]

    В остальных точках есть окрестность, не включающая $(0, 0)$,
    а значит производная равна
    \[
        f'_x =
        y^2\brac{x^2}{x^2 + y^2}' =
        y^2\brac{2x(x^2 + y^2) - 2x^3}{(x^2 + y^2)^2} =
        y^2\brac{2xy^2}{(x^2 + y^2)^2} =
        \frac{2xy^4}{(x^2 + y^2)^2}
    \]

    Симметрично,
    \[
        f'_y(0, 0) = 0
    \]\[
        f'_y(x, y) = \frac{2yx^4}{(x^2 + y^2)^2}
    \]

    Теперь, вторая производная по $xy$ в нормальных точках:
    \begin{align*}
        f''_{xy} &=
        \frac{2x\br{ 4y^3(x^2 + y^2)^2 - 2(x^2 + y^2)(2y)y^4 }}{(x^2 + y^2)^4} =\\[8pt]&=
        \frac{2y^4\br{ 4y^3(x^2 + y^2) - 4y^5 }}{(x^2 + y^2)^3} =
        \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3}
    \end{align*}

    и в $(0, 0)$:
    \[
        \lim_{x \to 0} \left. \frac{\frac{2xy^4}{(x^2 + y^2)^2}}{x} \right|_{y=0} =
        \lim_{x \to 0} 0 = 0
    \]

    симметрично по $yx$:
    \[
        f''_{yx}(0, 0) = 0
    \]\[
        f''_{yx}(x, y) = \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3}
    \]

    Получается, что в $(0, 0)$ производные равны.

    Теперь,
    \[
        \lim_{\substack{x \to 0 \\ y = 0}} \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3} = 0
    \]
    \[
        \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0 \\ x = y}} \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3} = 1
    \]

    Получаем, что предела нет и обе производные не непрерывны в $(0, 0)$

\dmquestion{9}

    \[
        \fractial{u}{x} = \fractial{}{x} \frac{1}{r} = -\frac{r'_x}{r^2} =
        \frac{x - a}{r^3}
    \]
    \[
        \fractial{}{x} \frac{x - a}{r^3} = \frac{r^3 - 3r^2 r' (x - a)}{r^6} =
        \frac{r^3 - 3r^2\frac{(x - a)^2}{r}}{r^6} =
        \frac{r^2 - 3(x - a)^2}{r^5}
    \]

    Аналогично,
    \[
        \fractial{^2u}{y^2} = \frac{r^2 - 3(y - b)^2}{r^5}
    \]\[
        \fractial{^2u}{z^2} = \frac{r^2 - 3(z - c)^2}{r^5}
    \]

    и в сумме они равны
    \begin{align*}
        &\frac{r^2 - 3(x - a)^2}{r^5} +
        \frac{r^2 - 3(y - b)^2}{r^5} +
        \frac{r^2 - 3(z - c)^2}{r^5} =\\
     = &\frac{3r^2 - 3\left((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2)\right)}{r^5} =\\
     = &\frac{3r^2 - 3r^2}{r^5} = 0
    \end{align*}
    \qed

\end{document}
