\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}

\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{матан-0518}}
\title{Матанализ 0518 (на 25 мая)}

% -- Here bet  dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{50pt}
\clearpage

\dmquestion{1}

    \[
        F = \begin{cases}
            x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 - 5 = 0\\
            x_1 - x_2 + y_1^3 - y_2^3 + y_3^3 - 1 = 0\\
            x_1^3 + 2x_2^3 + y_2y_3 - 4 = 0
        \end{cases}
    \]

    \begin{itemize}[leftmargin=0.5in,rightmargin=0.5in]
        \item[1.] $F(1, 1, 1, 1, 1) = 0$ -- верно
        \item[2.] Каждая функция - многочлен,
                    поэтому дифференцируема бесконечно много раз в любой точке
        \item[3.]
        \[% x_1, x_2, y_1
            \mathrm{Jac}\ (y_2, y_3) \to (x_1, x_2, y_1) = \begin{vmatrix}
                2x_1 & 2x_2 & 2y_1\\
                1 & -1 & 3y_1^2\\
                3x_1^2 & 6x_2^2 & 0
            \end{vmatrix}_{\substack{x_1 = 1 \\ x_2 = 1 \\ y_1 = 1}} =
            \begin{vmatrix}
                2 & 2 & 2\\
                1 & -1 & 3\\
                3 & 6 & 0
            \end{vmatrix} = 0
        \]
    \end{itemize}

    Третье условие невыполнено.
    \vspace{0.3in}

    Для второго отображения первые два условия такие же, поэтому они выполнены.
    Осталось проверить третье:

    \[% y_1, y_2, y_3
        \mathrm{Jac}\ (x_1, x_2) \to (y_1, y_2, y_3) = \begin{vmatrix}
            2y_1 & 2y_2 & 2y_3\\
            3y_1^2 & -3y_2^3 & 3y_3^2\\
            0 & y_3 & y_2
        \end{vmatrix}_{\substack{y_1 = 1 \\ y_2 = 1 \\ y_3 = 1}} =
        \begin{vmatrix}
            2 & 2 & 2\\
            3 & -3 & 3\\
            0 & 1 & 1
        \end{vmatrix} = -12
    \]

    Третье условие выполнено $\Rightarrow$ отображение существует.

\dmquestion{4}

    \[
        z(1 + x^2) = y(1 + z^4)
    \]

    возьмем производную от обеих частей уравнения по обеим переменным (по очереди, конечно):

    \begin{align*}
        z'_x(1 + x^2) + 2zx &= y'_x(1 + z^4) + y \cdot 4z^3 z'_x\\
        2zx &= z'_x(4yz^3 - x^2 - 1)\\
        z'_x &= \frac{2zx}{4yz^3 - x^2 - 1}
    \end{align*}

    \begin{align*}
        z'_y(1 + x^2) &= y'_y(1 + z^4) + y \cdot 4z^3 z'_y\\
        z'_y(1 + x^2 - 4yz^3) &= 1 + z^4\\
        z'_y &= \frac{1 + z^4}{1 + x^2 - 4yz^3}
    \end{align*}

    Используем полученное:
    \begin{align*}
        \dif z &= z'_x \dif x + z'_y \dif y =\\
        &=\frac{2zx}{4yz^3 - x^2 - 1} \dif x + \frac{1 + z^4}{1 + x^2 - 4yz^3} \dif y
    \end{align*}

\dmquestion{8}

    \[
        F = \begin{cases}
            u^3 + 2xv - 1 = 0\\
            v^3 - xu + 1 = 0
        \end{cases}
    \]

    \begin{itemize}
        \item[1.] $F(x = 0, u = 1, v = -1)$ -- условие выполнено
        \item[2.] функции - многочлены, поэтому бесконечно дифференцируемы
        \item[3.]
        \[
            \begin{vmatrix}
                3u^2 & 2x\\
                -x & 3v^2
            \end{vmatrix}_{\substack{x = 0 \\ u = 1 \\ v = -1}} =
            9
        \] условие выполнено.
    \end{itemize}


\end{document}