\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[x11names, svgnames, rgb]{xcolor}
%\usepackage{tikz}
%\usetikzlibrary{arrows,shapes}

\usepackage{scrextend}

\input{intro}

\lhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль 192}
\rhead{\color{gray} дм-17 (\texttt{cw17\_plus})}
\title{Дискретная математика 17}
\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ192}
\date{билд: \today}

% -- Here bet  dragons --
\begin{document}

\maketitle

\twocolumn

\dmquestion{1}
    
    С семинара:
    \[
        (FG)' = F'G + G'F, \qquad \brac{1}{F}' = -\frac{F'}{F^{2}}
    \]
    Тогда:
    \[
        \brac{F}{G}' =
        \br{ F \cdot \frac{1}{G} }' =
        \frac{F'}{G} - \frac{G'F}{G^2} =
        \frac{F'G - G'F}{G^2}
    \]

\dmquestion{2}
    
    Пусть $F = f_1 x + f_2 x^2 + \ldots$

    Аналогично, $G = g_1 x + g_2 x^2 + \dots$

    Тогда
    \[
        F(G(x)) = f_1 G(x) + f_2 G(x)^2 + \ldots
    \]

    Будем строить $G$ по коэффициэнтам:
    \begin{align*}
        f_1 g_1 &&&&= 1\\
        f_1 g_2 &+ f_2 g_1 &&&= 0\\
        f_1 g_3 &&+ f_3 g_1 &&= 0\\
        f_1 g_4 &+ f_2 g_2 &&+ f_4 g_1 &= 0
    \end{align*}

    Тогда для каждого уравнения есть новый (ещё не определённый) коэффициент из первого члена ($f_1G(x)$), то есть если $f_1 \neq 0$, то мы всегда сможем продолжать строить функцию $G$ таким образом.

    Если $f_1 = 0$, то:
    \begin{enumerate}
        \item $F \equiv 0$, тогда $\forall G: F(G(x)) \equiv 0$
        \item $F \neq 0 $, тогда минимальная степень $x$ в выражении не меньше $2$,
        для любой $G$.
    \end{enumerate}

    Поэтому $F$ ``обратима'' (т.е. $\exists G : F(G(x)) = x$)
    тогда и только тогда, когда $f_1 \neq 0$.

\newpage

\dmquestion{4}
    \begin{align*}
        F &= (1, 1, 1, 1, 1, \ldots)\\
        F' &= (0, 1, 2, 3, 4, \ldots)\\
        F'' &= (0, 0, 2 \cdot 1, 3 \cdot 2, 4 \cdot 3, \ldots)\\
    \end{align*}

    Мы знаем, что $F = \frac{1}{1 - x}$.

    Тогда $F' = \frac{1}{\br{ 1 - x }^2}$
    и $F'' = 2\frac{1 - x}{(1 - x)^4} = 2\frac{1}{(1 - x)^3}$.

    Также мы знаем, что если умножить функцию $G$ на $S = (1 + x + x^2 + \ldots)$, 
    то мы получим функцию, у которой $i$-тый коэффициент равен сумме первых $i$ коэффициентов $G$

    \[
        K = \frac{F''}{1 - x} = \frac{2}{(1 - x)^4}
    \]
    \[
        K^{(n)} = 2\br{ 4 \cdot 5 \cdot \ldots (n + 3)
            \frac{(1 - x)^{n + 2}}{(1 - x)^{2(n + 3)}} } = \frac{2n!}{(1 - x)^{n + 4}}
    \]
    \[
        \frac{K^{(n)}}{n!} = \frac{2(n + 3)!}{3!n!} = \frac{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}{6}
    \]
    Это не совсем то, что мы хотели, потому что в $F''$ были два лишних нуля. Поэтому правильная формула выглядит так:
    \[
        \frac{(n - 1)n(n + 2)}{6} = \frac{n(n^2 - 1)}{6}
    \]

\end{document}
