First bunch

4 files changed, 746 insertions, 0 deletions

diff --git a/.gitignore b/.gitignore
new file mode 100644
index 0000000..c18dd8d
--- /dev/null
+++ b/.gitignore
@@ -0,0 +1 @@
+__pycache__/
diff --git a/intro.tex b/intro.tex
new file mode 100644
index 0000000..f718571
--- /dev/null
+++ b/intro.tex
@@ -0,0 +1,68 @@
+\usepackage[sfdefault,condensed,scaled=0.85]{roboto}
+\usepackage{inconsolata}
+\setmonofont[Scale=0.85]{Inconsolata}
+
+\setlength\headheight{13.6pt}
+
+\usepackage{
+  amsmath, amsthm, amssymb, mathtools,
+  graphicx, subfig, float,
+  listings, xcolor,
+  fancyhdr, sectsty, hyperref, enumerate, framed,
+  comment
+}
+\usepackage[shortlabels]{enumitem}
+
+\flushbottom                                         % Uncomment to make text fill the entire page
+\usepackage[bottom]{footmisc}                        % Anchor footnotes to bottom of page
+\renewcommand{\baselinestretch}{1.06}                % Adjust line spacing
+%\setlength\parindent{0pt} % Remove paragraph indentation
+\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper,          % Set page margins
+    left=0.7in, right=0.7in,
+    top=0.8in, bottom=0.9in,
+    headsep=.1in
+}
+
+
+\setlength\FrameSep{0.75em}
+\setlength\OuterFrameSep{\partopsep}
+
+\newenvironment{cframed}[1][gray]
+  {\def\FrameCommand{\fboxsep=\FrameSep\fcolorbox{#1}{white}}%
+    \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}
+  {\endMakeFramed}
+
+\newcommand{\question}[2]{
+  \doubleskip\begin{cframed}
+    \noindent \textbf{#1}
+    #2
+  \end{cframed}
+}
+
+\newcommand{\braced}[1]{\left( #1 \right)}
+
+\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil}
+\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}
+
+\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
+\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}
+
+\newcommand{\sinx}{\sin x}
+\newcommand{\cosx}{\cos x}
+\newcommand{\tgx}{\tg x}
+
+\newcommand{\doubleskip}{\bigskip \bigskip}
+\newcommand{\osmall}[1]{\overline{o}\left( #1 \right)}
+
+\DeclareRobustCommand{\rchi}{{\mathpalette\irchi\relax}}
+\newcommand{\irchi}[2]{\raisebox{\depth}{$#1\chi$}} % inner command, used by \rchi
+
+\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta}
+
+% -- Left/right header text and footer (to appear on every page) --
+\pagestyle{fancy}
+\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
+\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
+
+\cfoot{}
+\rfoot{\thepage}
\ No newline at end of file
diff --git a/libsolve.py b/libsolve.py
new file mode 100644
index 0000000..d932dd6
--- /dev/null
+++ b/libsolve.py
@@ -0,0 +1,298 @@
+from __future__ import annotations
+from typing import Iterable, Union
+from fractions import Fraction
+from itertools import zip_longest
+
+
+def is_scalar(obj):
+    return isinstance(obj, (Fraction, int))
+
+POLY_COLOR = None
+# POLY_COLOR = '36'  # Uncomment to have color
+
+
+# may not work. see
+# https://en.wikipedia.org/wiki/Unicode_subscripts_and_superscripts
+# to test with your font
+superscripts = '⁰¹²³⁴⁵⁶⁷⁸⁹' # must be <sup>0123456789</sup>
+
+
+def int2sup(n):
+    res = []
+    while n > 0:
+        res.append(superscripts[n % 10])
+        n //= 10
+    return ''.join(reversed(res))
+
+
+class Poly:
+    def __init__(self, vec: Iterable, letter='x'):
+        '''
+        vec: big-endian coefficients
+        '''
+        self.vec = list(vec)
+        self.letter = letter
+        self._trim_zeros()
+
+    def _trim_zeros(self):
+        '''
+        Trim trailing zeros in coefficients: [0, 1, 1, 0] -> [0, 1, 1]
+        Needed for multiplication to work correctly
+        '''
+        len_zeros = 0
+        for c in reversed(self.vec):
+            if c != 0:
+                break
+            len_zeros += 1
+        if len_zeros > 0:
+            self.vec = self.vec[:-len_zeros]
+
+    def __mul__(self, rhs: Union[Poly, Fraction, int]):
+        if is_scalar(rhs):
+            return Poly([c * rhs for c in self.vec])
+
+        elif isinstance(rhs, Poly):
+            # no fft 4 u
+            result = [0] * (self.deg() + rhs.deg() + 1)
+            self._trim_zeros()
+            rhs._trim_zeros()
+            for i in range(len(self.vec)):
+                for j in range(len(rhs.vec)):
+                    if all(c != 0 for c in (self.vec[i], rhs.vec[j])):
+                        result[i + j] += self.vec[i] * rhs.vec[j]
+            return Poly(result)
+
+        else:
+            raise TypeError(f'{type(rhs)} not supported')
+
+    def __truediv__(self, rhs: Union[Fraction, int]):
+        if is_scalar(rhs):
+            return Poly([c * Fraction(1, rhs) for c in self.vec])
+        else:
+            raise TypeError(f'{type(rhs)} not supported')
+
+    def __add__(self, rhs: Union[Poly, Fraction, int]):
+        if is_scalar(rhs):
+            return Poly([self.vec[0] + rhs] + self.vec[1:])
+        elif isinstance(rhs, Poly):
+            result = []
+            for pair in zip_longest(self.vec, rhs.vec):
+                result.append(sum(c for c in pair if c is not None))
+            return Poly(result)
+
+    def __sub__(self, rhs: Union[Poly, Fraction, int]):
+        return self + (-rhs)
+
+    def __neg__(self):
+        return Poly(-c for c in self.vec)
+
+    def deg(self):
+        '''
+        Get degree of poly
+        '''
+        d = len(self.vec) - 1
+        for c in reversed(self.vec):
+            if c != 0:
+                return d
+            else:
+                d -= 1
+        return max(d, 0)
+
+    def shift(self, deg):
+        '''
+        divide by x^deg, drop rest
+        '''
+        for i in range(deg):
+            del self.vec[0]
+
+    def __repr__(self):
+        return self.get_hint()
+
+    def get_hint(self):
+        '''
+        Get raw text hints for outer structures to align items
+        '''
+        rev = list(reversed(self.vec))
+        if all(r == 0 for r in rev):
+            return '0'
+        d = self.deg()
+        res = []
+        for i in range(len(rev)):
+            if rev[i] == 0:
+                continue
+            if i == 0:
+                if rev[i] < 0:
+                    res.append('-')
+            else:
+                if rev[i] < 0:
+                    res.append(' - ')
+                else:
+                    res.append(' + ')
+
+            if abs(rev[i]) != 1 or i == d:
+                res.append(str(abs(rev[i])))
+            if i != d:
+                res.append(self.letter)
+            if d - i != 1:
+                res.append(int2sup(d - i))
+        return ''.join(res)
+
+
+class Row:
+    '''
+    Matrix row.
+    '''
+
+    def __init__(self, it: Iterable):
+        def make_poly(obj):
+            if isinstance(obj, (int, Fraction)):
+                return Poly([obj])
+            elif isinstance(obj, Poly):
+                return obj
+            else:
+                raise TypeError(f'{type(obj)} not supported')
+
+        self.lst = list(map(make_poly, it))
+        self.hints = 1 * len(self.lst)
+
+    def __add__(self, obj: Row):
+        '''
+        Add another row
+        '''
+        assert isinstance(obj, Row)
+        assert len(obj.lst) == len(self.lst)
+        pairs = zip(self.lst, obj.lst)
+        return Row(map(lambda x: x[0] + x[1], pairs))
+
+    def __mul__(self, k: Union[int, Fraction]):
+        '''
+        Multiply by int or fractions.Fraction
+        '''
+        assert isinstance(k, (int, Fraction))
+        return Row(map(lambda x: x * k, self.lst))
+
+    def __iter__(self):
+        return iter(self.lst)
+
+    def __getitem__(self, key):
+        return self.lst[key]
+
+    def __setitem__(self, key, val):
+        self.lst[key] = val
+
+    def __len__(self):
+        return len(self.lst)
+
+    def __repr__(self):
+        parts = []
+        for el, hint in zip(self.lst, self.hints):
+            part = '{el: >{hint}}'.format(el=repr(el), hint=hint)
+            if el.deg() > 0 and POLY_COLOR is not None:
+                    part = '\x1b[' + POLY_COLOR + 'm' + part + '\x1b[0m'
+            parts.append(part)
+
+        return ('[' + '  '.join(parts) + ']')
+
+    def get_hints(self):
+        '''
+        Get hints for other structures to align items
+        '''
+        return [len(el.get_hint()) for el in self.lst]
+
+    def set_hints(self, hints):
+        '''
+        Set hints to align items within row
+        '''
+        self.hints = hints
+
+
+class Matrix:
+    '''
+    Matrix. You can apply three elementary transforms to self.
+    '''
+
+    def __init__(self, rows):
+        def make_row(obj):
+            if isinstance(obj, Row):
+                return obj
+            else:
+                return Row(obj)
+
+        self.rows = list(map(make_row, rows))
+        assert all(len(row) == len(self.rows[0]) for row in self.rows)
+
+    def make_S(self, i: int, j: int, lbd: Union[int, Fraction], axis=0):
+        '''
+        if axis == 0, do transform on rows, else on cols
+        M[i] = M[i] + M[j] * lbd
+        '''
+        if axis == 0:
+            self.rows[i] = self.rows[i] + self.rows[j] * lbd
+        else:
+            for row in self.rows:
+                row[i] = row[i] + row[j] * lbd
+
+    def make_U(self, i: int, j: int, axis=0):
+        '''
+        if axis == 0, do transform on rows, else on cols
+        Swap M[i] and M[j]
+        '''
+        if axis == 0:
+            self.rows[i], self.rows[j] = self.rows[j], self.rows[i]
+        else:
+            for row in self.rows:
+                row[i], row[j] = row[j], row[i]
+
+    def make_D(self, i: int, lbd: Union[int, Fraction], axis=0):
+        '''
+        if axis == 0, do transform on rows, else on cols
+        Multiply M[i] by rational lbd
+        '''
+        if axis == 0:
+            self.rows[i] = self.rows[i] * lbd
+        else:
+            for row in self.rows:
+                row[i] = row[i] * lbd
+
+    def det(self) -> Poly:
+        '''
+        Get determinant of matrix
+        '''
+        assert all(len(row) == len(self.rows) for row in self.rows)
+        if len(self.rows) == 1:
+            return self.rows[0][0]
+        res = Poly([0])
+        try:
+            for i in range(len(self.rows[0])):
+                cofactor = Matrix([
+                    self.rows[j][:i] + self.rows[j][i + 1:]
+                    for j in range(1, len(self.rows))
+                ])
+                res += cofactor.det() * (-1) ** i * self.rows[0][i]
+        except Exception as e:
+            print(self)
+            raise e
+
+        return res
+    
+    def __sub__(self, oth):
+        return self + (-oth)
+
+    def __neg__(self):
+        rows = [row * (-1) for row in self.rows]
+        return Matrix(rows)
+
+    def __add__(self, oth):
+        rows = [row1 + row2 for row1, row2 in zip(self.rows, oth.rows)]
+        return Matrix(rows)
+
+    def __repr__(self):
+        hints = [row.get_hints() for row in self.rows]
+        max_hints = []
+        for i in range(len(hints)):
+            max_hints.append(max(hints[j][i] for j in range(len(hints))))
+
+        for row in self.rows:
+            row.set_hints(max_hints)
+
+        return '\n'.join(repr(row) for row in self.rows)
diff --git a/phw2.tex b/phw2.tex
new file mode 100644
index 0000000..1138761
--- /dev/null
+++ b/phw2.tex
@@ -0,0 +1,379 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+%\usepackage[T2A]{fontenc}
+%\usepackage[utf8]{inputenc}
+%\usepackage[russian]{babel}
+
+
+\input{intro}
+
+\lhead{\color{gray} Линейная алгебра}
+\rhead{\color{gray} ИДЗ-2}
+
+\makeatletter
+\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
+  \hskip -\arraycolsep
+  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
+  \array{#1}}
+\makeatother
+
+
+\DeclareMathOperator{\chr}{char}
+
+\title{ИДЗ-2 по линейной алгебре}
+\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ-192}
+\date{\today}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+\maketitle
+%\section*{Abstract}
+
+\clearpage
+
+\question{2}{
+\[
+    \begin{pmatrix}
+        -1 & 1 & 2 & 3\\
+        3 & -3 & -2 & -3\\
+        -2 & -3 & 2 & 2\\
+        1 & -1 & -3 & -3
+    \end{pmatrix}
+    \braced{
+        X + 
+        \begin{pmatrix}
+            -10 & 8 & -5 & 1\\
+            8 & -1 & -1 & 6\\
+            4 & -5 & 4 & -5\\
+            10 & -9 & 8 & 3
+        \end{pmatrix}
+    }^{-1}
+    \begin{pmatrix}
+        2 & -3 & -1 & -2\\
+        -3 & 2 & -2 & 3\\
+        -1 & 2 & 3 & 3\\
+        3 & -3 & -2 & -3
+    \end{pmatrix}
+    =
+    \begin{pmatrix}
+        1 & 1 & -1 & 1\\
+        -1 & -2 & 2 & -2\\
+        1 & 2 & -1 & 3\\
+        -1 & -2 & 1 & -2
+    \end{pmatrix}
+\]
+}
+
+    Обозначим как-нибудь матрицы:
+    \[
+        A (X + B)^{-1} C = D
+    \]
+
+    Предположим, что $A$ и $D$ обратимы ($D^{-1}$ мне все равно придется найти, а $\Delta A = -30$). Тогда
+    \begin{align*}
+        A (X + B)^{-1} C &= D\\
+        (X + B)^{-1} C &= A^{-1} D\\
+        C &= (X + B) A^{-1} D\\
+        C D^{-1} &= (X + B) A^{-1}\\
+        C D^{-1} A &= X + B\\
+        X &= C D^{-1} A - B
+    \end{align*}
+
+    Найдем $D^{-1}$. Запишем матрицу $(D|E)$ и будем элементарными преобразованиями приводить ее к $(E|D^{-1})$.
+    \[
+        \begin{pmatrix}[cccc|cccc]
+            1 & 1 & -1 & 1      &    1 & 0 & 0 & 0\\
+            -1 & -2 & 2 & -2    &    0 & 1 & 0 & 0\\
+            1 & 2 & -1 & 3      &    0 & 0 & 1 & 0\\
+            -1 & -2 & 1 & -2    &    0 & 0 & 0 & 1
+        \end{pmatrix} \overset{\texttt{main2.py}}\sim % TODO
+        \begin{pmatrix}[cccc|cccc]
+            1 & 0 & 0 & 0    &    2 & 1 & 0 & 0\\
+            0 & 1 & 0 & 0    &    -1 & 0 & -1 & -2\\
+            0 & 0 & 1 & 0    &    0 & 1 & 0 & -1\\
+            0 & 0 & 0 & 1    &    0 & 0 & 1 & 1
+        \end{pmatrix}
+    \]
+
+    Осталось просто перемножить $CD^{-1}A$ и вычесть $B$
+    \[
+        X = CD^{-1}A - B =
+        \begin{pmatrix}
+            -1 &  -4 &  -1 & 5\\
+            -8 &  3  & -7 & -10\\
+            4  & -9  & 2 & -4\\
+            -1 &  1  & 1 & 9
+        \end{pmatrix} - B =
+        \begin{pmatrix}
+            9   &  -12 & 4  & 4\\
+            -16 &  4   & -6 & -16\\
+            0   & -4   & -2 & 1\\
+            -11 & 10   & -7 & 6
+        \end{pmatrix}
+    \]
+
+\question{3}{
+    \[
+        A = 
+        \begin{pmatrix}
+            -4 & 3 & -2 & 1\\
+            -5 & 5 & -4 & 1\\
+            2 & -2 & 1 & -2\\
+            0 & 0 & 2 & 2
+        \end{pmatrix}
+    \]
+    Найти характеристический многочлен $A$ и определитель $(A^2 - 3A + 1)^{-2}$
+}
+
+    \[
+        \det\braced{A - \lambda E} =
+        \begin{vmatrix}
+            -4 -\lambda & 3 & -2 & 1\\
+            -5 & 5 -\lambda & -4 & 1\\
+            2 & -2 & 1 -\lambda & -2\\
+            0 & 0 & 2 & 2 -\lambda
+        \end{vmatrix}
+    \]
+
+    Разложим по последней строке
+    \begin{align*}
+       &\begin{vmatrix}
+            -4 -\lambda & 3 & -2 & 1\\
+            -5 & 5 -\lambda & -4 & 1\\
+            2 & -2 & 1 -\lambda & -2\\
+            0 & 0 & 2 & 2 -\lambda
+        \end{vmatrix} =
+        -2 \begin{vmatrix}
+            -4 -\lambda & 3          & 1\\
+            -5          & 5 -\lambda & 1\\
+            2           & -2         & -2\\
+        \end{vmatrix} + (2 - \lambda)
+        \begin{vmatrix}
+            -4 -\lambda & 3 & -2\\
+            -5 & 5 -\lambda & -4\\
+            2 & -2 & 1 -\lambda\\
+        \end{vmatrix} =\\\\
+     = &(-2)(-2\lambda^2 + 2\lambda + 8) + (2 - \lambda)(-\lambda^3 + 2\lambda^2 + 8\lambda + 3) =
+        \lambda^4 - 4\lambda^3 + 9\lambda - 10
+    \end{align*}
+
+    Посмотрим внимательно на $(A^2 - 3A + 2)^{-2}$. Пусть $B = A^2 - 3A + 2 = (A - 1)(A - 2)$.
+    \[
+        \det(B^{-2}) =
+        \det(B^{-1})^2 =
+        \braced{ \frac{1}{\det(B)} }^2 =
+        \braced{ \frac{1}{\det(A - 1)\det(A - 2)} }^2
+    \]
+
+    Осталось посчитать $\det(A - 1)$ и $\det(A - 2)$
+    \[
+        \det(A - 1) =
+        \begin{vmatrix}
+            -5 & 3 & -2 & 1\\
+            -5 & 4 & -4 & 1\\
+            2 & -2 & 0 & -2\\
+            0 & 0 & 2 & 1
+        \end{vmatrix} =
+        -2
+        \begin{vmatrix}
+            -5 & 3 & 1\\
+            -5 & 4 & 1\\
+            2 & -2 & -2
+        \end{vmatrix} +
+        \begin{vmatrix}
+            -5 & 3 & -2\\
+            -5 & 4 & -4\\
+            2 & -2 & 0
+        \end{vmatrix} = -4
+    \]
+
+    \[
+        \det(A - 2) =
+        \begin{vmatrix}
+            -6 & 3 & -2 & 1\\
+            -5 & 3 & -4 & 1\\
+            2 & -2 & -1 & -2\\
+            0 & 0 & 2 & 0
+        \end{vmatrix} =
+        -2
+        \begin{vmatrix}
+            -6 & 3 & 1\\
+            -5 & 3 & 1\\
+            2 & -2 & -2
+        \end{vmatrix} = -8
+    \]
+
+    \[
+        \det\braced{A^2 - 3A + 2}^{-2} = \braced{ \frac{1}{32} }^2 = \frac{1}{1024}
+    \]
+
+
+\question{4}{
+    Найти коэффициент при $x^5$ в
+    \[
+        \begin{vmatrix}
+             x  &  4  & -5  &  5  & -7  &  8  &  1\\
+             1  &  5  &  8  & -8  & -5  &  x  &  5\\
+            -4  &  7  &  x  & -6  & -1  & -2  &  1\\
+            -8  &  4  &  7  &  7  &  6  &  x  &  8\\
+            -9  & -6  &  8  & -5  & -5  &  8  &  x\\
+            -2  &  7  &  1  &  4  &  x  &  3  &  4\\
+             2  &  x  &  6  &  x  &  9  & -2  &  3\\
+        \end{vmatrix}
+    \]
+}
+
+    Сделаем пару преобразований, чтобы сократить количество иксов:
+    \begin{align*}
+       &\begin{vmatrix}
+             x  &  4  & -5  &  5  & -7  &  8  &  1\\
+             1  &  5  &  8  & -8  & -5  &  x  &  5\\
+            -4  &  7  &  x  & -6  & -1  & -2  &  1\\
+            -8  &  4  &  7  &  7  &  6  &  x  &  8\\
+            -9  & -6  &  8  & -5  & -5  &  8  &  x\\
+            -2  &  7  &  1  &  4  &  x  &  3  &  4\\
+             2  &  x  &  6  &  x  &  9  & -2  &  3\\
+        \end{vmatrix} \overset{\text{2 строка -= 4 строка}}=
+        \begin{vmatrix}
+             x  &  4  & -5  &   5 &  -7 &  8  &  1\\
+             9  &  1  &  1  & -15 & -11 &  0  & -3\\
+            -4  &  7  &  x  &  -6 &  -1 & -2  &  1\\
+            -8  &  4  &  7  &   7 &   6 &  x  &  8\\
+            -9  & -6  &  8  &  -5 &  -5 &  8  &  x\\
+            -2  &  7  &  1  &   4 &   x &  3  &  4\\
+             2  &  x  &  6  &   x &   9 & -2  &  3\\
+        \end{vmatrix} =\\\\
+     \overset{\text{2 столбец -= 4 столбец}}= &\begin{vmatrix}
+             x & -1 &  -5  &   5  & -7  &  8  &  1\\
+             9 & 16 &   1  & -15  &-11  &  0  & -3\\
+            -4 & 13 &   x  &  -6  & -1  & -2  &  1\\
+            -8 & -3 &   7  &   7  &  6  &  x  &  8\\
+            -9 & -1 &   8  &  -5  & -5  &  8  &  x\\
+            -2 &  3 &   1  &   4  &  x  &  3  &  4\\
+             2 &  0 &   6  &   x  &  9  & -2  &  3\\
+        \end{vmatrix}
+    \end{align*}
+
+    Заметим, что иксов осталось 6 - по одному в каждом стобце и строке кроме одного.
+    $x^5$ возникает в сумме членов определителя, когда вместо одного из иксов мы берем другое число из строки.
+    Соотвестственно, надо выписать все перестановки, в которых остается 5 иксов, или, что равносильно, в которых
+    отсутствует ровно один икс. таких перестановок 6, так как без каждого икса есть ровно две перестановки, но одна
+    из них содержит шестой икс, поэтому нам подходит только вторая.
+
+    Итак, перестановки, содержащие 5 иксов:
+    \begin{align*}
+       &\begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+            2 & 1 & 3 & 6 & 7 & 5 & 4
+        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+       &\begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+            1 & 3 & 2 & 6 & 7 & 5 & 4
+        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+       &\begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+            1 & 6 & 3 & 2 & 7 & 5 & 4
+        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+       &\begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+            1 & 7 & 3 & 6 & 2 & 5 & 4
+        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+       &\begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+            1 & 5 & 3 & 6 & 7 & 2 & 4
+        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+       &\begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+            1 & 4 & 3 & 6 & 7 & 5 & 2
+        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+    \end{align*}
+
+    Осталось просто просуммировать произведения константных коэффициентов:
+    \[
+        -9 + 13 + 0 + 3 - 33 + 0 = -26
+    \]
+
+    Это и будет коэффициентом при $x^5$
+
+\question{5}{
+    \[
+        A = \begin{pmatrix}
+            -4 & 4\\
+            1  & -1\\
+            3  & -3\\
+            2  & -2\\
+            4  & -4
+        \end{pmatrix},
+        B = \begin{pmatrix}
+            3 & -1 & 1 & -2 & 2\\
+            1 & 3 & -2 & 2 & -1
+        \end{pmatrix},
+        \qquad \text{Найти: } \rchi_{AB}(\lambda)
+    \]
+}
+
+    Перемножим $AB$ (это несложно, в каждой ячейке всего 2 множителя):
+    \[
+        AB = \begin{pmatrix}
+            -8 & 16 & -12 & 16 & -12\\
+            2 & -4 & 3 & -4 & 3\\
+            6 & 12 & 9 & -12 & 9\\
+            4 & -8 & 6 & -8 & 6\\
+            8 & -16 & 12 & -16 & 12
+        \end{pmatrix}
+    \]
+
+    Нам нужно посчитать определитель $AB - \lambda E$, поэтому мы можем умножать оба слагаемых на $S_{ij}(k)$ и определитель не изменится
+    \begin{align*}
+        \begin{pmatrix}[ccccc|ccccc]
+            -8 & 16 & -12 & 16 & -12  &  \lambda & 0 & 0 & 0 & 0\\
+            2 & -4 & 3 & -4 & 3       &  0 & \lambda & 0 & 0 & 0\\
+            6 & 12 & 9 & -12 & 9      &  0 & 0 & \lambda & 0 & 0\\
+            4 & -8 & 6 & -8 & 6       &  0 & 0 & 0 & \lambda & 0\\
+            8 & -16 & 12 & -16 & 12   &  0 & 0 & 0 & 0 & \lambda
+        \end{pmatrix}\\\\
+        \text{Прибавим вторую строку к остальным с коэффициентом}\\\\
+        \begin{pmatrix}[ccccc|ccccc]
+            0 & 0 & 0 & 0 & 0         &  \lambda & 4\lambda & 0 & 0 & 0\\
+            2 & -4 & 3 & -4 & 3       &  0 & \lambda & 0 & 0 & 0\\
+            0 & 0 & 0 & 0 & 0         &  0 & -3\lambda & \lambda & 0 & 0\\
+            0 & 0 & 0 & 0 & 0         &  0 & -2\lambda & 0 & \lambda & 0\\
+            0 & 0 & 0 & 0 & 0         &  0 & -4\lambda & 0 & 0 & \lambda
+        \end{pmatrix}\\
+    \end{align*}
+
+    Теперь можно сложить и просто привести к треугольному виду,
+    пользуясь полилинейностью по строкам и столбцам
+
+    \begin{align*}
+       &\begin{vmatrix}
+            -\lambda & -4\lambda & 0 & 0 & 0\\
+            2 & -4 -\lambda & 3 & -4 & 3\\
+            0 & 3\lambda & -\lambda & 0 & 0\\
+            0 & 2\lambda & 0 & -\lambda & 0\\
+            0 & 4\lambda & 0 & 0 & -\lambda
+        \end{vmatrix} = 
+        \lambda^4 \begin{vmatrix}
+            -1 & -4 & 0 & 0 & 0\\
+            2 & -4 -\lambda & 3 & -4 & 3\\
+            0 & 3 & -1 & 0 & 0\\
+            0 & 2 & 0 & -1 & 0\\
+            0 & 4 & 0 & 0 & -1
+        \end{vmatrix} =
+        \lambda^4 \begin{vmatrix}
+            -1 & -4 & 0 & 0 & 0\\
+            2 & 9 -\lambda & 0 & 0 & 0\\
+            0 & 3 & -1 & 0 & 0\\
+            0 & 2 & 0 & -1 & 0\\
+            0 & 4 & 0 & 0 & -1
+        \end{vmatrix} =\\
+       &\lambda^4 \begin{vmatrix}
+            -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+            2 & 1 -\lambda & 0 & 0 & 0\\
+            0 & 3 & -1 & 0 & 0\\
+            0 & 2 & 0 & -1 & 0\\
+            0 & 4 & 0 & 0 & -1
+        \end{vmatrix} =
+        \lambda^4 (1 - \lambda) = -\lambda^5 + \lambda^4
+    \end{align*}
+
+\end{document}