1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
|
\documentclass[10pt,a5paper]{article}
\usepackage[svgnames, rgb]{xcolor}
\input{intro}
\lhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль 192}
\rhead{\color{gray} \texttt{hw3}}
\title{ИДЗ-3 по линейной алгебре}
\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ-192}
\date{билд: \today}
% -- Here bet dragons --
\begin{document}\thispagestyle{empty}
\maketitle
\clearpage
\setcounter{page}{1}
\dmquestion{1}
Проверим, что векторы из условия являются решением системы
\input{figures/fig_one_proof_v0.tex}
\input{figures/fig_one_proof_v0.tex}
Найдем ФСР системы:
\input{figures/fig_one_init_to_triang}
ФСР:
\begin{flalign*}
\lambda_2 = 1 \qquad& (4, 1, 0, 0, 0, 0)\\
\lambda_4 = 1 \qquad& (-1, 0, 1, 1, 0, 0)\\
\lambda_5 = 1 \qquad& (-1, 0, -2, 0, 2, 0)\\
\lambda_6 = 1 \qquad& (1, 0, -2, 0, 0, 1)
\end{flalign*}
Выразим векторы $v_1$ и $v_2$ (из условия) через ФСР (мы так можем, потому что ФСР - базис этого подпространства)
Для этого нужно решить две системы:
\input{figures/fig_one_convert_v1}
\[
u_1 = (1, -3, 3, -1)
\]
\input{figures/fig_one_convert_v2}
\[
u_2 = (2, 3, 1, -2)
\]
Теперь надо дополнить эту систему до базиса $\mathbb{R}^4$:
\input{figures/fig_one_solve_last}
Дополнить до базиса можно векторами $(0, 0, 1, 0)$ и $(0, 0, 0, 1)$
То есть последние два вектора из ФСР - дополнение до базиса подпространства.
\begin{flalign*}
(-1, 0, -2, 0, 2, 0)\\
(1, 0, -2, 0, 0, 1)
\end{flalign*}
\dmquestion{2}
$\Image \varphi$ - линейная оболочка столбцов.
Найдем матрицу, задающую $\Image \varphi$ по алгоритму от Димы:
Найдем ФСР $A^Tx = 0$:
\input{figures/fig_two_fsr_A_T}
ФСР:
\[
(2, -1, 1, 0), \quad \br{ \frac{7}{5}, -\frac{4}{5}, 0, 1 } = (7, -4, 0, 5)
\]
Значит, $\Image \varphi = \left\{ x \ | \ Bx = 0\right\}$, где
\[
B = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 1 & 0\\
7 & -4 & 0 & 5
\end{bmatrix}
\]
Тогда $\Image \varphi \cap \ker \varphi = \left\{x | Ax = 0, Bx = 0\right\}$
\input{figures/fig_two_AB_sol}
ФСР такой системы - $(-3, -4, 2, 1)$
Значит, $\Image \varphi \cap \ker \varphi = \langle(-3, -4, 2, 1)\rangle$
$\Image \varphi$ - линейная оболочка столбцов,
а $\ker \varphi$ - линейная оболочка ФСР $Ax = 0$.
Тогда $\Image \varphi + \ker \varphi$ - линейная оболочка всех этих векторов.
Надо только найти в них базис:
\input{figures/fig_two_ker_A}
$
\ker \varphi = \langle (-\frac{3}{2}, -3, 1, 0), (0, 2, 0, 1) \rangle
=
\ker \varphi = \langle (-3, -6, 2, 0), (0, 2, 0, 1) \rangle
$
Теперь надо найти базис из столбцов $A$ и базиса в $\ker \varphi$:
\input{figures/fig_two_imker}
Ненулевые строки - базис (возьмем векторы из левой матрицы).
Поэтому
$
\Image \varphi + \ker \varphi =
\langle
(-2, 14, 18, 14),
(-3, -9, -3, -3),
(-3, -6, 2, 0)
\rangle
$
%\dmquestion{4}
% Найдем хар. многочлен $\varphi$:
% \[
% \mathrm{det} (\varphi - \lambda E)
% \overset{\texttt{four.py}}=
% \lambda^4 - \lambda^3 + \lambda^2 =
% \lambda^2(\lambda - 1)^2
% \]
%
% $
% V^1 = \ker ((\varphi - E)^2)
% $, так как у каждого собственного значения степень 2
% \input{figures/fig_four_fsr_A_T}
\end{document}
|
