Add stuffHEADmaster

1 files changed, 379 insertions, 0 deletions

diff --git a/phw2.tex b/phw2.tex
new file mode 100644
index 0000000..1138761
--- /dev/null
+++ b/phw2.tex
@@ -0,0 +1,379 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+%\usepackage[T2A]{fontenc}
+%\usepackage[utf8]{inputenc}
+%\usepackage[russian]{babel}
+
+
+\input{intro}
+
+\lhead{\color{gray} Линейная алгебра}
+\rhead{\color{gray} ИДЗ-2}
+
+\makeatletter
+\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
+  \hskip -\arraycolsep
+  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
+  \array{#1}}
+\makeatother
+
+
+\DeclareMathOperator{\chr}{char}
+
+\title{ИДЗ-2 по линейной алгебре}
+\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ-192}
+\date{\today}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+\maketitle
+%\section*{Abstract}
+
+\clearpage
+
+\question{2}{
+\[
+    \begin{pmatrix}
+        -1 & 1 & 2 & 3\\
+        3 & -3 & -2 & -3\\
+        -2 & -3 & 2 & 2\\
+        1 & -1 & -3 & -3
+    \end{pmatrix}
+    \braced{
+        X + 
+        \begin{pmatrix}
+            -10 & 8 & -5 & 1\\
+            8 & -1 & -1 & 6\\
+            4 & -5 & 4 & -5\\
+            10 & -9 & 8 & 3
+        \end{pmatrix}
+    }^{-1}
+    \begin{pmatrix}
+        2 & -3 & -1 & -2\\
+        -3 & 2 & -2 & 3\\
+        -1 & 2 & 3 & 3\\
+        3 & -3 & -2 & -3
+    \end{pmatrix}
+    =
+    \begin{pmatrix}
+        1 & 1 & -1 & 1\\
+        -1 & -2 & 2 & -2\\
+        1 & 2 & -1 & 3\\
+        -1 & -2 & 1 & -2
+    \end{pmatrix}
+\]
+}
+
+    Обозначим как-нибудь матрицы:
+    \[
+        A (X + B)^{-1} C = D
+    \]
+
+    Предположим, что $A$ и $D$ обратимы ($D^{-1}$ мне все равно придется найти, а $\Delta A = -30$). Тогда
+    \begin{align*}
+        A (X + B)^{-1} C &= D\\
+        (X + B)^{-1} C &= A^{-1} D\\
+        C &= (X + B) A^{-1} D\\
+        C D^{-1} &= (X + B) A^{-1}\\
+        C D^{-1} A &= X + B\\
+        X &= C D^{-1} A - B
+    \end{align*}
+
+    Найдем $D^{-1}$. Запишем матрицу $(D|E)$ и будем элементарными преобразованиями приводить ее к $(E|D^{-1})$.
+    \[
+        \begin{pmatrix}[cccc|cccc]
+            1 & 1 & -1 & 1      &    1 & 0 & 0 & 0\\
+            -1 & -2 & 2 & -2    &    0 & 1 & 0 & 0\\
+            1 & 2 & -1 & 3      &    0 & 0 & 1 & 0\\
+            -1 & -2 & 1 & -2    &    0 & 0 & 0 & 1
+        \end{pmatrix} \overset{\texttt{main2.py}}\sim % TODO
+        \begin{pmatrix}[cccc|cccc]
+            1 & 0 & 0 & 0    &    2 & 1 & 0 & 0\\
+            0 & 1 & 0 & 0    &    -1 & 0 & -1 & -2\\
+            0 & 0 & 1 & 0    &    0 & 1 & 0 & -1\\
+            0 & 0 & 0 & 1    &    0 & 0 & 1 & 1
+        \end{pmatrix}
+    \]
+
+    Осталось просто перемножить $CD^{-1}A$ и вычесть $B$
+    \[
+        X = CD^{-1}A - B =
+        \begin{pmatrix}
+            -1 &  -4 &  -1 & 5\\
+            -8 &  3  & -7 & -10\\
+            4  & -9  & 2 & -4\\
+            -1 &  1  & 1 & 9
+        \end{pmatrix} - B =
+        \begin{pmatrix}
+            9   &  -12 & 4  & 4\\
+            -16 &  4   & -6 & -16\\
+            0   & -4   & -2 & 1\\
+            -11 & 10   & -7 & 6
+        \end{pmatrix}
+    \]
+
+\question{3}{
+    \[
+        A = 
+        \begin{pmatrix}
+            -4 & 3 & -2 & 1\\
+            -5 & 5 & -4 & 1\\
+            2 & -2 & 1 & -2\\
+            0 & 0 & 2 & 2
+        \end{pmatrix}
+    \]
+    Найти характеристический многочлен $A$ и определитель $(A^2 - 3A + 1)^{-2}$
+}
+
+    \[
+        \det\braced{A - \lambda E} =
+        \begin{vmatrix}
+            -4 -\lambda & 3 & -2 & 1\\
+            -5 & 5 -\lambda & -4 & 1\\
+            2 & -2 & 1 -\lambda & -2\\
+            0 & 0 & 2 & 2 -\lambda
+        \end{vmatrix}
+    \]
+
+    Разложим по последней строке
+    \begin{align*}
+       &\begin{vmatrix}
+            -4 -\lambda & 3 & -2 & 1\\
+            -5 & 5 -\lambda & -4 & 1\\
+            2 & -2 & 1 -\lambda & -2\\
+            0 & 0 & 2 & 2 -\lambda
+        \end{vmatrix} =
+        -2 \begin{vmatrix}
+            -4 -\lambda & 3          & 1\\
+            -5          & 5 -\lambda & 1\\
+            2           & -2         & -2\\
+        \end{vmatrix} + (2 - \lambda)
+        \begin{vmatrix}
+            -4 -\lambda & 3 & -2\\
+            -5 & 5 -\lambda & -4\\
+            2 & -2 & 1 -\lambda\\
+        \end{vmatrix} =\\\\
+     = &(-2)(-2\lambda^2 + 2\lambda + 8) + (2 - \lambda)(-\lambda^3 + 2\lambda^2 + 8\lambda + 3) =
+        \lambda^4 - 4\lambda^3 + 9\lambda - 10
+    \end{align*}
+
+    Посмотрим внимательно на $(A^2 - 3A + 2)^{-2}$. Пусть $B = A^2 - 3A + 2 = (A - 1)(A - 2)$.
+    \[
+        \det(B^{-2}) =
+        \det(B^{-1})^2 =
+        \braced{ \frac{1}{\det(B)} }^2 =
+        \braced{ \frac{1}{\det(A - 1)\det(A - 2)} }^2
+    \]
+
+    Осталось посчитать $\det(A - 1)$ и $\det(A - 2)$
+    \[
+        \det(A - 1) =
+        \begin{vmatrix}
+            -5 & 3 & -2 & 1\\
+            -5 & 4 & -4 & 1\\
+            2 & -2 & 0 & -2\\
+            0 & 0 & 2 & 1
+        \end{vmatrix} =
+        -2
+        \begin{vmatrix}
+            -5 & 3 & 1\\
+            -5 & 4 & 1\\
+            2 & -2 & -2
+        \end{vmatrix} +
+        \begin{vmatrix}
+            -5 & 3 & -2\\
+            -5 & 4 & -4\\
+            2 & -2 & 0
+        \end{vmatrix} = -4
+    \]
+
+    \[
+        \det(A - 2) =
+        \begin{vmatrix}
+            -6 & 3 & -2 & 1\\
+            -5 & 3 & -4 & 1\\
+            2 & -2 & -1 & -2\\
+            0 & 0 & 2 & 0
+        \end{vmatrix} =
+        -2
+        \begin{vmatrix}
+            -6 & 3 & 1\\
+            -5 & 3 & 1\\
+            2 & -2 & -2
+        \end{vmatrix} = -8
+    \]
+
+    \[
+        \det\braced{A^2 - 3A + 2}^{-2} = \braced{ \frac{1}{32} }^2 = \frac{1}{1024}
+    \]
+
+
+\question{4}{
+    Найти коэффициент при $x^5$ в
+    \[
+        \begin{vmatrix}
+             x  &  4  & -5  &  5  & -7  &  8  &  1\\
+             1  &  5  &  8  & -8  & -5  &  x  &  5\\
+            -4  &  7  &  x  & -6  & -1  & -2  &  1\\
+            -8  &  4  &  7  &  7  &  6  &  x  &  8\\
+            -9  & -6  &  8  & -5  & -5  &  8  &  x\\
+            -2  &  7  &  1  &  4  &  x  &  3  &  4\\
+             2  &  x  &  6  &  x  &  9  & -2  &  3\\
+        \end{vmatrix}
+    \]
+}
+
+    Сделаем пару преобразований, чтобы сократить количество иксов:
+    \begin{align*}
+       &\begin{vmatrix}
+             x  &  4  & -5  &  5  & -7  &  8  &  1\\
+             1  &  5  &  8  & -8  & -5  &  x  &  5\\
+            -4  &  7  &  x  & -6  & -1  & -2  &  1\\
+            -8  &  4  &  7  &  7  &  6  &  x  &  8\\
+            -9  & -6  &  8  & -5  & -5  &  8  &  x\\
+            -2  &  7  &  1  &  4  &  x  &  3  &  4\\
+             2  &  x  &  6  &  x  &  9  & -2  &  3\\
+        \end{vmatrix} \overset{\text{2 строка -= 4 строка}}=
+        \begin{vmatrix}
+             x  &  4  & -5  &   5 &  -7 &  8  &  1\\
+             9  &  1  &  1  & -15 & -11 &  0  & -3\\
+            -4  &  7  &  x  &  -6 &  -1 & -2  &  1\\
+            -8  &  4  &  7  &   7 &   6 &  x  &  8\\
+            -9  & -6  &  8  &  -5 &  -5 &  8  &  x\\
+            -2  &  7  &  1  &   4 &   x &  3  &  4\\
+             2  &  x  &  6  &   x &   9 & -2  &  3\\
+        \end{vmatrix} =\\\\
+     \overset{\text{2 столбец -= 4 столбец}}= &\begin{vmatrix}
+             x & -1 &  -5  &   5  & -7  &  8  &  1\\
+             9 & 16 &   1  & -15  &-11  &  0  & -3\\
+            -4 & 13 &   x  &  -6  & -1  & -2  &  1\\
+            -8 & -3 &   7  &   7  &  6  &  x  &  8\\
+            -9 & -1 &   8  &  -5  & -5  &  8  &  x\\
+            -2 &  3 &   1  &   4  &  x  &  3  &  4\\
+             2 &  0 &   6  &   x  &  9  & -2  &  3\\
+        \end{vmatrix}
+    \end{align*}
+
+    Заметим, что иксов осталось 6 - по одному в каждом стобце и строке кроме одного.
+    $x^5$ возникает в сумме членов определителя, когда вместо одного из иксов мы берем другое число из строки.
+    Соотвестственно, надо выписать все перестановки, в которых остается 5 иксов, или, что равносильно, в которых
+    отсутствует ровно один икс. таких перестановок 6, так как без каждого икса есть ровно две перестановки, но одна
+    из них содержит шестой икс, поэтому нам подходит только вторая.
+
+    Итак, перестановки, содержащие 5 иксов:
+    \begin{align*}
+       &\begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+            2 & 1 & 3 & 6 & 7 & 5 & 4
+        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+       &\begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+            1 & 3 & 2 & 6 & 7 & 5 & 4
+        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+       &\begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+            1 & 6 & 3 & 2 & 7 & 5 & 4
+        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+       &\begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+            1 & 7 & 3 & 6 & 2 & 5 & 4
+        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+       &\begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+            1 & 5 & 3 & 6 & 7 & 2 & 4
+        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+       &\begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+            1 & 4 & 3 & 6 & 7 & 5 & 2
+        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+    \end{align*}
+
+    Осталось просто просуммировать произведения константных коэффициентов:
+    \[
+        -9 + 13 + 0 + 3 - 33 + 0 = -26
+    \]
+
+    Это и будет коэффициентом при $x^5$
+
+\question{5}{
+    \[
+        A = \begin{pmatrix}
+            -4 & 4\\
+            1  & -1\\
+            3  & -3\\
+            2  & -2\\
+            4  & -4
+        \end{pmatrix},
+        B = \begin{pmatrix}
+            3 & -1 & 1 & -2 & 2\\
+            1 & 3 & -2 & 2 & -1
+        \end{pmatrix},
+        \qquad \text{Найти: } \rchi_{AB}(\lambda)
+    \]
+}
+
+    Перемножим $AB$ (это несложно, в каждой ячейке всего 2 множителя):
+    \[
+        AB = \begin{pmatrix}
+            -8 & 16 & -12 & 16 & -12\\
+            2 & -4 & 3 & -4 & 3\\
+            6 & 12 & 9 & -12 & 9\\
+            4 & -8 & 6 & -8 & 6\\
+            8 & -16 & 12 & -16 & 12
+        \end{pmatrix}
+    \]
+
+    Нам нужно посчитать определитель $AB - \lambda E$, поэтому мы можем умножать оба слагаемых на $S_{ij}(k)$ и определитель не изменится
+    \begin{align*}
+        \begin{pmatrix}[ccccc|ccccc]
+            -8 & 16 & -12 & 16 & -12  &  \lambda & 0 & 0 & 0 & 0\\
+            2 & -4 & 3 & -4 & 3       &  0 & \lambda & 0 & 0 & 0\\
+            6 & 12 & 9 & -12 & 9      &  0 & 0 & \lambda & 0 & 0\\
+            4 & -8 & 6 & -8 & 6       &  0 & 0 & 0 & \lambda & 0\\
+            8 & -16 & 12 & -16 & 12   &  0 & 0 & 0 & 0 & \lambda
+        \end{pmatrix}\\\\
+        \text{Прибавим вторую строку к остальным с коэффициентом}\\\\
+        \begin{pmatrix}[ccccc|ccccc]
+            0 & 0 & 0 & 0 & 0         &  \lambda & 4\lambda & 0 & 0 & 0\\
+            2 & -4 & 3 & -4 & 3       &  0 & \lambda & 0 & 0 & 0\\
+            0 & 0 & 0 & 0 & 0         &  0 & -3\lambda & \lambda & 0 & 0\\
+            0 & 0 & 0 & 0 & 0         &  0 & -2\lambda & 0 & \lambda & 0\\
+            0 & 0 & 0 & 0 & 0         &  0 & -4\lambda & 0 & 0 & \lambda
+        \end{pmatrix}\\
+    \end{align*}
+
+    Теперь можно сложить и просто привести к треугольному виду,
+    пользуясь полилинейностью по строкам и столбцам
+
+    \begin{align*}
+       &\begin{vmatrix}
+            -\lambda & -4\lambda & 0 & 0 & 0\\
+            2 & -4 -\lambda & 3 & -4 & 3\\
+            0 & 3\lambda & -\lambda & 0 & 0\\
+            0 & 2\lambda & 0 & -\lambda & 0\\
+            0 & 4\lambda & 0 & 0 & -\lambda
+        \end{vmatrix} = 
+        \lambda^4 \begin{vmatrix}
+            -1 & -4 & 0 & 0 & 0\\
+            2 & -4 -\lambda & 3 & -4 & 3\\
+            0 & 3 & -1 & 0 & 0\\
+            0 & 2 & 0 & -1 & 0\\
+            0 & 4 & 0 & 0 & -1
+        \end{vmatrix} =
+        \lambda^4 \begin{vmatrix}
+            -1 & -4 & 0 & 0 & 0\\
+            2 & 9 -\lambda & 0 & 0 & 0\\
+            0 & 3 & -1 & 0 & 0\\
+            0 & 2 & 0 & -1 & 0\\
+            0 & 4 & 0 & 0 & -1
+        \end{vmatrix} =\\
+       &\lambda^4 \begin{vmatrix}
+            -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+            2 & 1 -\lambda & 0 & 0 & 0\\
+            0 & 3 & -1 & 0 & 0\\
+            0 & 2 & 0 & -1 & 0\\
+            0 & 4 & 0 & 0 & -1
+        \end{vmatrix} =
+        \lambda^4 (1 - \lambda) = -\lambda^5 + \lambda^4
+    \end{align*}
+
+\end{document}