diff options
Diffstat (limited to 'dz1.tex')
| -rw-r--r-- | dz1.tex | 75 |
1 files changed, 75 insertions, 0 deletions
@@ -0,0 +1,75 @@ +\documentclass[10pt,a5paper]{article} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian]{babel} + +\usepackage[a4paper, lmargin=0.1666\paperwidth, rmargin=0.1666\paperwidth, tmargin=0.1111\paperheight, bmargin=0.1111\paperheight]{geometry} +\begin{document} + +\begin{flalign*} +\textbf{\textit{Задание 26: }}\textit{Доказать, что } 1.(9) = 2.(0)&& +\end{flalign*} +Представим эти числа как $1.(9) = 1 + 0.(9)$ и $2.(0) = 1 + 1.(0)$\\ +Тогда пусть $x = 0.(9)$: +\begin{align*} +10x &= 9.(9)\\ + 9x &= 9\\ + x &= 1\\ +\end{align*} +Значит, $0.(9) = 1$ и $1.(9) = 2.(0)$, значит $1.(9) = 2.(0)$ + +\clearpage + +\begin{flalign*} +\textbf{\textit{Задание 20: }} +\textit{Доказать, что } +\underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \ldots + \sqrt{a}}}}_{n} \leq \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}& +\end{flalign*} +Обозначим левую часть за $A_n$ и докажем по индукции.\\ +База $(n = 1)$: +\begin{align*} +A_1 = \sqrt{a} &\overset{?}{\leq} \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}&&\\ + a &\overset{?}{\leq} \frac{1 + 2\sqrt{4a + 1} + 4a + 1}{4}&&\\ + 0 &\leq \frac{2 + 2\sqrt{4a + 1}}{4}&&\\ +\end{align*} +Переход: \\ +Пусть для $n$ - верно, тогда: +\begin{align*} +A_{n+1} = \sqrt{a + A_n} &\overset{?}{\leq} \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}&&\\ + \sqrt{a + \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}} &\overset{?}{\leq} \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}&&\\ + a + \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2} &\overset{?}{\leq} \frac{1 + 2\sqrt{4a + 1} + 4a + 1}{4}&&\\ + \frac{2a + 1 + \sqrt{4a + 1}}{2} &\overset{?}{\leq} \frac{2 + 2\sqrt{4a + 1} + 4a}{4}&&\\ + \frac{2a + 1 + \sqrt{4a + 1}}{2} &= \frac{1 + 1\sqrt{4a + 1} + 2a}{2}&&\\ +\end{align*} +Значит, для $n + 1$ - тоже верно + +\clearpage + +\textbf{\textit{Задание 5: }} +$X, Y \subset \mathbb{R}_+, Z = \{xy : x \in X, y \in Y\}.$ +\textit{Доказать, что } $$\inf{Z} = \inf{X}\inf{Y}, \quad \sup{Z} = \sup{X}\sup{Y}$$ + +\textbf{1.} Так как $\sup{X}$ - точная верхняя грань $X$, а $\sup{Y}$ - точная верхняя грань $Y$, то $\forall x \in X, y \in Y$ выполняется $xy \leq x\sup{Y} \leq \sup{X}\sup{Y}$, поэтому $S = \sup{X}\sup{Y}$ - верхняя грань $Z$.\\ + +\textbf{2.} Пусть $\sup{X}\sup{Y} = S_z$. Докажем, что $\forall{\Gamma > 0}\ \exists\ z \in Z$, такое, что $S_z - z < \Gamma$.\\ + +Из определения точной верхней грани $\forall{\delta > 0}\ \exists\ x \in X, y \in Y$ такие, что +$$x > \sup{X} - \delta,\ y > \sup{Y} - \delta,$$ +поэтому существует $z = xy$ и +$$xy > (\sup{X} - \delta)(\sup{Y} - \delta) = \sup{X}\sup{Y} - \delta(\sup{X} + \sup{Y} - \delta)$$\\ +Так как $\sup{X} + \sup{Y} = \text{const}$, то +$$\lim_{\delta \to 0} \delta(\sup{X} + \sup{Y} - \delta) = 0$$ +поэтому для любого $\Gamma$ найдется $\delta$ такой, что +$$S_z - z > S_z - (\sup{X} - \delta)(\sup{Y} - \delta) > \Gamma,$$ +что и требовалось доказать.\\ + +Из (\textbf{1}) и (\textbf{2}) следует, что $S_z = \sup{X}\sup{Y}$ - точная верхняя грань $Z$. +Аналогично, $\inf{Z} = \inf{X}\inf{Y}$ + +\clearpage + + + +\end{document} |