Add some hw's

3 files changed, 436 insertions, 0 deletions

diff --git a/dm-15.tex b/dm-15.tex
new file mode 100644
index 0000000..db0de91
--- /dev/null
+++ b/dm-15.tex
@@ -0,0 +1,146 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage[x11names, svgnames, rgb]{xcolor}
+%\usepackage{tikz}
+%\usetikzlibrary{arrows,shapes}
+
+\usepackage{scrextend}
+
+\input{intro}
+
+\lhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль 192}
+\rhead{\color{gray} дм-15 (\texttt{cw15\_plus})}
+\title{Дискретная математика 15}
+\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ192}
+\date{билд: \today}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\twocolumn
+
+\dmquestion{1}
+    \[
+        99^{1000} = (-1)^{1000} = 1 \pmod{100}
+    \]
+
+\dmquestion{2}
+    \begin{align*}
+        x + 10y &=\\
+        &= x + 10y - 13x - 13y\\
+        &= -12x - 3y\\
+        &= -3(4x + y) \pmod{13}
+    \end{align*}
+
+    Так как $(3; 13) = 1$, то $x + 10y = 0 \pmod{13}$ тогда и только тогда,
+    когда $4x + y = 0 \pmod{13}$
+
+\dmquestion{3}
+    \begin{align*}
+        53x &= 1 &\pmod{42}\\
+        11x &= 1 + 42 \cdot 6 &\pmod{42}\\
+        11x &= 253 &\pmod{42}\\
+        x &= 23 &\pmod{42}
+    \end{align*}
+
+\dmquestion{4}
+    \begin{align*}
+        74x + 47y = 2900\\
+        27x = 2900  \pmod{47}\\
+        27x = 33    \pmod{47}\\
+        9x = 11     \pmod{47}\\
+        9x = -36    \pmod{47}\\
+        x = -4 = 43 \pmod{47}\\\\
+        74 \cdot 43 + 47y = 2900\\
+        47y = -282\\
+        y = -6
+    \end{align*}
+
+    Все решения имеют вид
+    \[
+        (x_0 + 47k; y_0 - 74k), \qquad k \in \mathbb{Z}
+    \]
+
+    Поэтому неотрицательных решений у этого уравнения нет
+
+\dmquestion{5}
+    \[
+        \frac{n^2 - n + 1}{n^2 + 1}
+    \]
+    
+    Предположим противное: пусть такая дробь сократима.
+    
+    Пусть существует $p > 1$ такое, что
+    \[
+        p \mid (n^2 + 1), p \mid (n^2 - n + 1)
+    \]
+    
+    Значит,
+    \[
+        n = (n^2 + 1) - (n^2 - n + 1) \text{ тоже делится на $p$.}
+    \]
+    
+    Значит, $p \mid n^2$.
+
+    Но $n^2 + 1 = 1 \pmod{p}$. Противоречие.
+
+\dmquestion{6}
+
+    \textbf{Лемма}
+    \[
+        3^m - 1 = 3^{m - n} - 1 \pmod{3^n - 1}
+    \]
+    
+    Доказательство:
+    \begin{align*}
+        3^{m - n}(3^n - 1) = 0 \pmod{3^n - 1}\\
+        3^m - 3^{m - n} = 0 \pmod{3^n - 1}\\
+        3^m = 3^{m - n} \pmod{3^n - 1}\\
+        3^m - 1 = 3^{m - n} - 1 \pmod{3^n - 1}\\
+        \qed
+    \end{align*}
+
+    По алгоритму Евклида и лемме (просто вычитаем одну степень из другой):
+    \begin{align*}
+        (3^{133} - 1, 3^{101} - 1) =\\
+        (3^{101} - 1, 3^{32} - 1) =\\
+        (3^{32} - 1, 3^5 - 1) =\\
+        (3^2 - 1, 3^5 - 1) =\\
+        (3^1 - 1, 3^2 - 1) =\\
+        (2, 8) = 2
+    \end{align*}
+
+\dmquestion{7}
+
+    \[
+        \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{p - 1} =
+        \frac{\frac{(p - 1)!}{1} + \frac{(p - 1)!}{2} + \ldots + \frac{(p - 1)!}{p - 1}}{(p - 1)!}
+    \]
+
+    Сгруппируем слагаемые в числителе так, чтобы их знаменатели в сумме равнялись $p$.
+    Так можно сделать, потому что их четное число.
+    \[
+        \frac{
+            \br{ \frac{(p - 1)!}{1} + \frac{(p - 1)!}{p - 1} } +
+            \br{ \frac{(p - 1)!}{2} + \frac{(p - 1)!}{p - 2} } + \ldots
+        }{(p - 1)!}
+    \]
+
+    Заметим, что каждая скобка тогда делится на $p$:
+    \begin{gather*}
+        \frac{(p - 1)!}{k} + \frac{(p - 1)!}{p - k} =\\[8pt]
+        (p - 1)! \br{ \frac{(p - k) + k}{k(p - k)}} =\\[8pt]
+        p\frac{(p - 1)!}{k(p - k)}
+    \end{gather*}
+
+    Так как это сумма факториалов, деленных на одно число, меньшее аргумента факториала, то это все еще целое число, а так как $p$ - простое и точно не делится на $k$ и $p - k$, то его можно вынести за скобку.
+
+    Тогда наша сумма представляется в виде
+
+    \[
+        \frac{p \cdot Q}{(p - 1)!}
+    \]
+
+    Так как в факториале нет множителей, делящих $p$, то $p$ останется в числителе, значит, числитель делится на $p$ \qed
+\end{document}
diff --git a/sol0113.tex b/sol0113.tex
new file mode 100644
index 0000000..06ac8d6
--- /dev/null
+++ b/sol0113.tex
@@ -0,0 +1,22 @@
+\documentclass[10pt,a5paper]{article}
+\usepackage[svgnames, rgb]{xcolor}
+
+\input{intro}
+
+\lhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль 192}
+\rhead{\color{gray} ДЗ к 27.01 (\texttt{sol0113 + sol0120})}
+\title{ДЗ на 27.01}
+\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ-192}
+\date{билд: \today}
+
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}\thispagestyle{empty}
+
+\maketitle
+\clearpage
+\setcounter{page}{1}
+\[
+    \abs{\frac{1}{2}}
+\]
+\end{document}
diff --git a/sol0127.tex b/sol0127.tex
new file mode 100644
index 0000000..1098687
--- /dev/null
+++ b/sol0127.tex
@@ -0,0 +1,268 @@
+\documentclass[10pt,a5paper]{article}
+\usepackage[svgnames, rgb]{xcolor}
+
+\input{intro}
+
+\lhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль 192}
+\rhead{\color{gray} \texttt{sol0127}}
+\title{ДЗ на 03.02}
+\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ-192}
+\date{билд: \today}
+
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}\thispagestyle{empty}
+
+\maketitle
+\clearpage
+\setcounter{page}{1}
+
+%\question{8.a}{
+%    \[
+%        \int \frac{2\sin^3 x + \cos^2 x \sin 2x}{\sin^4 x + 3 \cos^4 x} \dif x = \todo + C
+%    \]
+%}
+
+    
+
+\question{8.c}{
+    \[
+        \int \frac{\dif x}{\cosh^3 x + 3\cosh x} = \frac{
+            2\arctan \sinh x - \arctan \frac{\sinh x}{2}
+        }{6} + C
+    \]
+}
+    \begin{align*}
+        \int \frac{\dif x}{\cosh^3 x + 3\cosh x}
+        &= \int \frac{\frac{\dif \sinh x}{\cosh x}}{\cosh^3 x + 3\cosh x}
+            &\explain{
+                \dif \sinh x = \cosh x \dif x
+            } \\[8pt]
+        &= \int \frac{\dif \sinh x}{\cosh^4 x + 3\cosh^2 x} \\[8pt]
+        &= \int \frac{\dif \sinh x}{\br{ 1 + \sinh^2 x }^2 + 3\br {1 + \sinh^2 x}}
+            &\explain{
+                \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1
+            } \\[8pt]
+        &= \int \frac{\dif u}{\br{ 1 + u^2 }^2 + 3\br {1 + u^2}}
+            &\explain{
+                u = \sinh x
+            } \\[8pt]
+        &= \int \frac{\dif u}{4 + 5u^2 + u^4} \\[8pt]
+        &= \int \frac{\dif u}{\br{ u^2 + 1 } \br{ u^2 + 4 }} \\[8pt]
+        &= \int \frac{\dif u}{3} \br{
+            \frac{1}{ u^2 + 1 } - \frac{1}{ u^2 + 4 }
+        } \\[8pt]
+        &= \frac{1}{3} \br{
+            \int \frac{du}{u^2 + 1} - \int \frac{du}{u^2 + 4}
+        } \\[8pt]
+        &= \frac{1}{3} \br{
+            \arctan u - \frac{1}{2}\arctan \frac{u}{2}
+        } + C
+            &\explain{
+                u = \sinh x
+            }\\[8pt]
+        &= \frac{1}{6} \br{
+            2\arctan \sinh x - \arctan \frac{\sinh x}{2}
+        } + C
+    \end{align*}
+
+\clearpage
+\question{8.e}{
+    \[
+        \int \frac{\dif x}{\sin^4 x + \cos^4 x} = \frac{\sqrt{2}}{2} \br{
+            \arctan \br{ \sqrt{2} \tan x + 1 } + \arctan  \br{ \sqrt{2} \tan x - 1 }
+        } + C
+    \]
+}
+
+    \[
+        \sin^4 x + \cos^4 x =
+        \br{ 1 - \cos^2 x }^2 + \cos^4 x =
+        1 - 2\cos^2 x + 2\cos^4 x
+    \]
+    \[
+        \dif x = \cos^2 x \dif\ (\tan x)
+    \]
+    \[
+        1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}
+    \]
+
+    \begin{align*}
+        \int \frac{\dif x}{\sin^4 x + \cos^4 x}
+            &= \int \frac{\cos^2 x \dif\ (\tan x)}{1 - 2\cos^2 x + 2\cos^4 x} \\[8pt]
+            &= \int \frac{\dif\ (\tan x)}{\frac{1}{\cos^2 x} - 2 + 2\cos^2 x} \\[8pt]
+            &= \int \frac{\dif\ (\tan x)}{1 + \tan^2 x - 2 + \frac{2}{1 + \tan^2 x}} \\[8pt]
+            &= \int \frac{\dif u}{-1 + u^2 + \frac{2}{1 + u^2}} & [u = \tan x]\\[8pt]
+            &= \int \frac{(1 + u^2) \dif u}{u^4 + 1} \\[8pt]
+    \end{align*}
+
+    По прошлой домашке мы знаем, что
+    \[
+        x^4 + 1 = (x^2 - \sqrt{2} x + 1)(x^2 + \sqrt{2} x + 1)
+    \]
+
+    Разложим на слагаемые:
+    \[
+        \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} =
+        \frac{1}{2} \br{ \frac{1}{x^2 + \sqrt{2} x + 1} + \frac{1}{x^2 - \sqrt{2} + 1} }
+    \]
+
+    \begin{align*}
+        \int \frac{1}{u^2 + \sqrt{2} u + 1}\dif u
+            &= \int \frac{1}{\br{ u + \frac{\sqrt{2}}{2} }^2 + \frac{1}{2}}\dif u \\[8pt]
+            &= \sqrt{2} \arctan \br{ \sqrt{2} u + 1 } + C_1 \\[16pt]
+        \int \frac{1}{u^2 - \sqrt{2} u + 1}\dif u
+            &= \int \frac{1}{\br{ u - \frac{\sqrt{2}}{2} }^2 + \frac{1}{2}}\dif u \\[8pt]
+            &= \sqrt{2} \arctan \br{ \sqrt{2} u - 1 } + C_2 \\[8pt]
+    \end{align*}
+
+    \begin{gather*}
+        \int \frac{\dif x}{\sin^4 x + \cos^4 x} =
+        \int \frac{(\tan^2 x + 1) \dif\ \tan x}{\tan^4 x + 1} =\\[8pt] =
+        \frac{\sqrt{2}}{2} \br{
+            \arctan \br{ \sqrt{2} \tan x + 1 } + \arctan  \br{ \sqrt{2} \tan x - 1 }
+        } + C
+    \end{gather*}
+
+\question{8.g}{
+    \[
+        \int \frac{\dif x}{a \sin x + b \cos x + c}, \qquad c > \sqrt{a^2 + b^2}
+    \]
+}
+
+    Найдем такой интеграл в предположении $a > 1$:
+
+    \begin{align*}
+        \int \frac{\dif x}{\sin x + a}
+        &= \int \frac{\frac{2 \dif u}{1 + u^2}}{\frac{2u}{1 + u^2} + a}
+            &\explain{
+                \displaystyle u = \tan \frac{x}{2}\\[8pt]
+                \displaystyle \dif x = \frac{2 \dif u}{1 + u^2}\\[8pt]
+                \displaystyle \sin x = \frac{2u}{1 + u^2}
+            } \\[8pt]
+        &= \int \frac{2\dif u}{2u + a + au^2} \\[8pt]
+        &= \int \frac{2\dif u}
+            {\br{ \sqrt{a} u + \frac{1}{\sqrt{a}} }^2 + 1 - \frac{1}{a}} \\[8pt]
+        &= \int \frac{2\dif u}
+            {\br{ \sqrt{a} u + \frac{1}{\sqrt{a}} }^2 + \frac{a^2 - 1}{a}} \\[8pt]
+        &= \frac{2}{\sqrt{a}}\int \frac{\dif v}{v^2 + \frac{a^2 - 1}{a}}
+            &\explain{
+                v = \sqrt{a} u + \frac{1}{\sqrt{a}}\\
+                \dif v = \sqrt{a} \dif u
+            } \\[8pt]
+        &= \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{a^2 - 1}}
+            \arctan \br{ \frac{\sqrt{a} v}{\sqrt{a^2 - 1}} } + C \\[8pt]
+        &= \frac{2}{\sqrt{a^2 - 1}}
+            \arctan \br{ \frac{\sqrt{a} v}{\sqrt{a^2 - 1}} } + C \\[8pt]
+        &= \frac{2}{\sqrt{a^2 - 1}}
+            \arctan \br{ \frac{au + 1}{\sqrt{a^2 - 1}} } + C
+            &\explain{
+                v = \sqrt{a} u + \frac{1}{\sqrt{a}}
+            } \\[8pt]
+        &= \frac{2}{\sqrt{a^2 - 1}}
+            \arctan \br{ \frac{a \tan \frac{x}{2} + 1}{\sqrt{a^2 - 1}} } + C
+    \end{align*}
+
+    Теперь, непосредственно задание
+
+    \begin{align*}
+        \int \frac{\dif x}{a \sin x + b \cos x + c}
+        &= \int \frac{\dif x}{r \br{ \frac{a}{r} \sin x + \frac{b}{r} \cos x} + c }
+            &\explain{
+                \displaystyle r = \sqrt{a^2 + b^2}
+            } \\[8pt]
+        &= \frac{1}{r} \int \frac{\dif x}{\cos \phi \sin x + \sin \phi \cos x + c/r}
+            &\explain{
+                \displaystyle \phi = \arccos \frac{a}{r} = \arcsin \frac{b}{r}
+            } \\[8pt]
+        &= \frac{1}{r} \int \frac{\dif x}{\sin \br{ \phi + x } + c/r} \\[8pt]
+        &= \frac{1}{r} \int \frac{\dif u}{\sin \br{ u } + c/r}
+            &\explain{
+                u = \phi + x\\
+                du = dx
+            } \\[8pt]
+        &= \frac{2}{r\sqrt{\dfrac{c^2}{r^2} - 1}}
+            \arctan \br{
+                \frac
+                    {\displaystyle \frac{c}{r} \tan \frac{u}{2} + 1}
+                    {\displaystyle \sqrt{\frac{c^2}{r^2} - 1}}
+            } + C
+            &\explain{\text{По доказанному}}\\[8pt]
+        &= \frac{2}{\sqrt{c^2 - r^2}}
+            \arctan \br{
+                \frac
+                    {\displaystyle \frac{c}{r} \tan \frac{\arccos \dfrac{a}{r}}{2} + 1}
+                    {\displaystyle \sqrt{\frac{c^2}{r^2} - 1}}
+            } + C \\[8pt]
+        &= \frac{2}{\sqrt{c^2 - r^2}}
+            \arctan \br{
+                \frac
+                    {\displaystyle c \tan \frac{\arccos \dfrac{a}{r}}{2} + r}
+                    {\displaystyle \sqrt{c^2 - r^2}}
+            } + C \\[8pt]
+        &= \frac{2}{\sqrt{c^2 - a^2 - b^2}}
+            \arctan \br{
+                \frac
+                    {\displaystyle c \tan \frac{\arccos \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}}{2} + \sqrt{a^2 + b^2}}
+                    {\displaystyle \sqrt{c^2 - a^2 - b^2}}
+            } + C \\[8pt]
+    \end{align*}
+
+\clearpage
+
+\question{10}{
+    \[
+        \int \frac{\dif x}{(a\sin x + b\cos x)^n}
+    \]
+}
+
+    Найдем рекуррентную формулу для следующего интеграла:
+    \begin{align*}
+        \int \frac{\dif x}{\sin^n x}
+        &= -\int \frac{\dif \cos x}{\sin^{n + 1} x}\\[6pt]
+        &= -\frac{\cos x}{\sin^{n + 1} x} -
+            \int \br{ \frac{1}{\sin^{n + 1} x} }' \cos x \dif x
+            &\explain{
+                \displaystyle \int Fg \dif x = FG - \int fG \dif x\\
+                \displaystyle F = \frac{1}{\sin^{n + 1} x}\\[10pt]
+                \displaystyle g = \frac{\dif \cos x}{\dif x}\\
+                \displaystyle G = \cos x
+            } \\[8pt]
+        &= -\frac{\cos x}{\sin^{n + 1} x} -
+            (n + 1) \int \frac{\cos^2 x \dif x}{\sin^{n + 2} x} \\[8pt]
+        &= -\frac{\cos x}{\sin^{n + 1} x} -
+            (n + 1) \int \frac{(1 - \sin^2 x) \dif x}{\sin^{n + 2} x} \\[8pt]
+        &= -\frac{\cos x}{\sin^{n + 1} x} -
+            (n + 1) \int \frac{\dif x}{\sin^{n + 2} x} +
+            (n + 1) \int \frac{\dif x}{\sin^n x}
+    \end{align*}
+
+    Пусть $\displaystyle J_n = \int \frac{\dif x}{\sin^n x}$.
+
+    Переобозначим $n = n + 2$ в полученном интеграле, чтобы формула получилась красивой
+    \begin{align*}
+        J_{n - 2} &= -\frac{\cos x}{\sin^{n - 1} x} - (n - 1) J_n + (n - 1) J_{n - 2}\\[8pt]
+        (n - 1)J_n &= -\frac{\cos x}{\sin^{n - 1} x} + (n - 2)J_{n - 2}\\[8pt]
+        J_n &= \frac{\cos x}{(1 - n) \sin^{n - 1} x} + \frac{n - 2}{n - 1}J_{n - 2}
+    \end{align*}
+
+    Тогда:
+    \begin{align*}
+        I_n = \int \frac{\dif x}{(a\sin x + b\cos x)^n}
+        &= \frac{1}{r} \int \frac{\dif x}{(\frac{a}{r}\sin x + \frac{b}{r}\cos x)^n}
+            &\explain{
+                \displaystyle r = \sqrt{a^2 + b^2}
+            } \\[8pt]
+        &= \frac{1}{r} \int \frac{\dif x}{(\cos \phi \sin x + \sin \phi \cos x)^n}
+            &\explain{
+                \displaystyle \phi = \arccos \frac{a}{r} = \arcsin \frac{b}{r}
+            } \\[8pt]
+        &= \frac{1}{r} \int \frac{\dif x}{(\sin (\phi + x))^n} \\[8pt]
+        &= \frac{\cos (\phi + x)}{r(1 - n) \sin^{n - 1} (\phi + x)} +
+            \frac{n - 2}{n - 1} I_{n - 2} \\[8pt]
+        &= \frac{\cos (\arccos{\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}} + x)}
+                {\sqrt{a^2 + b^2}(1 - n) \sin^{n - 1} (\arccos{\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}} + x)} +
+            \frac{n - 2}{n - 1} I_{n - 2}
+    \end{align*}
+
+\end{document}