Init commit

3 files changed, 553 insertions, 0 deletions

diff --git a/dm-14.tex b/dm-14.tex
new file mode 100644
index 0000000..cb48628
--- /dev/null
+++ b/dm-14.tex
@@ -0,0 +1,113 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage[x11names, svgnames, rgb]{xcolor}
+%\usepackage{tikz}
+%\usetikzlibrary{arrows,shapes}
+
+\usepackage{scrextend}
+
+\input{intro}
+
+\lhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль 192}
+\rhead{\color{gray} дм-14 (\texttt{cw14\_plus})}
+\title{Дискретная математика 14}
+\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ192}
+\date{билд: \today}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\twocolumn
+\begin{center} \textbf{1} \end{center}
+
+    По условию, $\expected{\text{prize}} = 40$
+    Значит,
+    \[
+        \expected{\text{prize} \geqslant 5000} \leqslant \frac{40}{5000} < 0.01
+    \]
+
+    \qed
+
+\begin{center} \textbf{2} \end{center}
+
+    \begin{align*}
+        \expected{X} =
+        \sum_{x \in \Omega} p(x) f(x) =\\
+        \sum_{f(x) \geqslant 5} p(x) f(x) + \sum_{f(x) < 5} p(x) f(x) \geqslant\\
+        \sum_{f(x) \geqslant 5} p(x) f(x) \geqslant
+        \sum_{f(x) \geqslant 5} p(x) 5 =\\
+        5\sum_{f(x) \geqslant 5} p(x) =
+        5\ \frac{1}{2} = 2.5
+    \end{align*}
+
+    Для любого $ 2.5 \leqslant Y < \infty $ матожидание $f_Y$ равно $Y$, если:
+
+    \begin{align*}
+        \Omega &= \{1, 2\} \\
+        f_Y (1) &= 0 \\
+        f_Y (2) &= 2Y \\
+        p_Y (1) &= \frac{1}{2} \\
+        p_Y (2) &= \frac{1}{2} \\
+    \end{align*}
+
+
+\begin{center} \textbf{3} \end{center}
+    Обозначим выбор чисел как двоичное число размера 30.
+    Тогда почти к каждому слову есть другое, симметричное,
+    то есть для почти каждого выбора $C$ 10 чисел есть симметричный выбор $C'$.
+    Пусть в $C$ находятся числа
+    \[
+        \{c_1, \ldots, c_{10}\}
+    \]
+    Тогда в $C'$ находятся числа
+    \[
+        \{29 - c_1, \ldots, 29 - c_{10}\}
+    \]
+    И сумма чисел в $C \text{ и } C'$ равна
+    \[
+        10 \cdot (c_1 + \ldots + c_{10} + 29 - c_1 + \ldots + 29 - c_{10}) = 290
+    \]
+
+    Симметричное слово есть для любого, но для некоторых оно совпадает.
+    Заметим, что так происходит только когда само слово было палиндромом,
+    Но тогда сумма чисел в выборе, соответствующем такому слову равна 145.
+
+    Значит, матожидание суммы чисел равно 145.
+
+\begin{center} \textbf{4} \end{center}
+    Возьмем некоторое слово. Напишем перед ним букву b, а после - a.
+    Теперь расставим в получившейся конструкции перегородки между разными буквами.
+    Тогда количество подслов ab равно количеству перегородок, у которых слева стоит a, а справа - b. Заметим, что для таких перегородок соседние перегородки обязательно делят подслова ba (b слева, a справа), иначе наша перегородка имела бы слева букву b или справа букву a. Значит, количество слов с $n$ подсловами равно $ \binom{21}{2n + 1} $
+    Тогда матожидание равно
+    \[
+        \frac{\displaystyle \sum_{i = 1}^{10} \binom{21}{2i + 1} i }{2^{20}} = 4.75
+    \]
+    (Ничего лучше, чем посчитать на калькуляторе, я не придумал)
+
+\begin{center} \textbf{5} \end{center}
+    \[
+        \probability{X \geqslant 6} =
+        \probability{2^X \geqslant 2^6}
+    \]
+    По неравенству Маркова:
+    \[
+        \probability{2^X \geqslant 64} \leqslant \frac{5}{64} < \frac{1}{10}
+    \]
+    \qed
+
+\begin{center} \textbf{6} \end{center}
+    Всего функций $(100n)^n$, из них инъекций: $\displaystyle \frac{(100n)!}{(99n)!}$
+    
+    Так как нам нужно найти предел, можно рассмотреть только $n = 2k, k \in \mathbb{N}$ (просто чтобы $n$ делилось на $2$)
+    \begin{flalign*}
+        A_n = \frac{(100n)!}{(99n)! (100n)^n} &=\\
+        \frac{99n + 1}{100n} \cdot \ldots \cdot \frac{99n + n}{100n} &=\\
+        \frac{99n + 1}{100n} \cdot \ldots \cdot \frac{99n + \frac{n}{2}}{100n} \cdot Q_n &\leqslant \qquad\qquad Q_n < 1\\
+        \braced{ \frac{99n + \frac{n}{2}}{100n} }^{\frac{n}{2}} Q_n =
+        \braced{ \frac{99.5}{100} }^{\frac{n}{2}} Q_n = B_n
+    \end{flalign*}
+    $\displaystyle \lim_{n \to \infty} B_n = 0$, а так как $0 < A_n \leqslant B_n$, то 
+    $\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n = 0$, что и требовалось
+
+\end{document}
diff --git a/intro.tex b/intro.tex
new file mode 100644
index 0000000..02dc951
--- /dev/null
+++ b/intro.tex
@@ -0,0 +1,68 @@
+\usepackage[sfdefault,condensed,scaled=0.9]{roboto}
+\usepackage{inconsolata}
+\setmonofont[Scale=0.9]{Inconsolata}
+
+\setlength\headheight{13.6pt}
+
+\usepackage{
+  amsmath, amsthm, amssymb, mathtools, commath,
+  graphicx, xcolor,
+  fancyhdr, hyperref, enumerate, framed
+}
+\usepackage[shortlabels]{enumitem}
+
+\flushbottom
+\usepackage[bottom]{footmisc}
+\renewcommand{\baselinestretch}{1.06}                % Adjust line spacing
+\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper,          % Set page margins
+    left=0.7in, right=0.7in,
+    top=0.8in, bottom=0.9in,
+    headsep=.1in
+}
+
+\setlength\FrameSep{0.75em}
+\setlength\OuterFrameSep{\partopsep}
+
+\newenvironment{cframed}[1][gray]
+  {\def\FrameCommand{\fboxsep=\FrameSep\fcolorbox{#1}{white}}
+    \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}
+  {\endMakeFramed}
+
+\newcommand{\question}[2]{
+    \bigskip\bigskip
+    \begin{cframed}
+        \noindent \textbf{#1}
+        #2
+    \end{cframed}
+}
+
+\newcommand{\braced}[1]{\left( #1 \right)}
+
+\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil}
+\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}
+
+\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
+\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}
+\DeclareMathOperator{\probop}{Pr}
+\DeclareMathOperator{\expectop}{E}
+
+\newcommand{\probability}[1]{\probop \boldsymbol{[}#1\boldsymbol{]}}
+\newcommand{\expected}[1]{\expectop  \boldsymbol{[}#1\boldsymbol{]}}
+
+\newcommand{\sinx}{\sin x}
+\newcommand{\cosx}{\cos x}
+\newcommand{\tgx}{\tg x}
+\newcommand{\todo}{\texttt{todo!}}
+
+
+\newcommand{\osmall}[1]{\overline{o}\left( #1 \right)}
+
+\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta}
+
+% -- Left/right header text and footer (to appear on every page) --
+\pagestyle{fancy}
+\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
+\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
+
+\cfoot{}
+\rfoot{\thepage}
diff --git a/sol0120.tex b/sol0120.tex
new file mode 100644
index 0000000..10ecfbb
--- /dev/null
+++ b/sol0120.tex
@@ -0,0 +1,372 @@
+\documentclass[10pt,a5paper]{article}
+\usepackage[svgnames, rgb]{xcolor}
+
+\input{intro}
+
+\lhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль 192}
+\rhead{\color{gray} ДЗ к 27.01 (\texttt{sol0113 + sol0120})}
+\title{ДЗ на 27.01}
+\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ-192}
+\date{билд: \today}
+
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}\thispagestyle{empty}
+
+\maketitle
+\clearpage
+\setcounter{page}{1}
+
+\question{Лемма 1}{
+    \[
+        \int \frac{dx}{x^s} = \frac{1}{(1 - s)x^{s - 1}} + C
+    \]
+}
+    \[
+        \braced{ \frac{1}{(1 - s)x^{s - 1}} + C }' =
+        -\frac{0 - (1 - s)(s - 2)x^{s - 2}}{(1 - s)^2 x^{2s - 2}} =
+        \frac{1}{x^s} \qed
+    \]
+
+\question{Лемма 2}{
+    \[
+        \int \frac{dx}{(x^2 + a^2)^2} = \frac{1}{2a^2} \braced{
+            \frac{x}{x^2 + a^2} + \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} 
+        } + C
+    \]
+}
+
+    \begin{align*}
+        \braced{
+            \frac{1}{2a^2} \braced{
+                \frac{x}{x^2 + a^2} + \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}
+            }
+        }' =
+        \frac{1}{2a^2} \braced{
+            \frac{x^2 + a^2 - 2x^2}{(x^2 + a^2)^2} + \frac{1}{x^2 + a^2}
+        } =
+        \frac{1}{2a^2} \braced{
+            \frac{2a^2}{(x^2 + a^2)^2}
+        } =
+        \frac{1}{(x^2 + a^2)^2} \qed
+    \end{align*}
+
+\question{(seminar0113) 7.3}{
+    \[
+        \int \frac{dx}{x^4 + 4} = \frac{
+            \log | x^2 + 2x + 2 | + 2\arctan(x + 1) -
+            \log | x^2 - 2x + 2 | + 2\arctan(x - 1)
+        }{16} + \bar{C}
+    \]
+}
+
+    \[
+        x^4 + 4 = (x - (1 + i))(x - (i - 1))(x - (-i - 1))(x - (-i + 1)) =
+        (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)
+    \]
+
+    \[
+        \frac{1}{x^4 + 4} = \frac{Ax + B}{x^2 + 2x + 2} + \frac{Cx + D}{x^2 - 2x + 2}
+    \]
+
+    \[
+        (Ax + B)(x^2 - 2x + 2) + (Cx + D)(x^2 + 2x + 2) \equiv 1
+    \]
+
+    С помощью давно забытой китайской техники решения систем уравнений получаем:
+    \[\begin{cases*}
+        A = \frac{1}{8}\\
+        B = \frac{1}{4}\\
+        C = -\frac{1}{8}\\
+        D = \frac{1}{4}\\
+    \end{cases*}\]
+
+    \[
+        \int \frac{1}{x^4 + 4} =
+            \frac{1}{8}\int \frac{x + 2}{x^2 + 2x + 2} dx +
+            \frac{1}{8}\int \frac{2 - x}{x^2 - 2x + 2} dx
+    \]
+
+    \begin{minipage}{0.45\textwidth}
+        \setlength{\jot}{16pt}
+        \begin{gather*}
+            \int \frac{x + 2}{x^2 + 2x + 2} dx =\\
+            \int \frac{x + 2}{(x + 1)^2 + 1} dx =\\
+            \int \frac{(x + 1) dx}{(x + 1)^2 + 1} + \int \frac{dx}{(x + 1)^2 + 1} =\\
+            =\begin{bmatrix} \frac{d(x^2 + 2x + 2)}{2} = (x + 1)dx \end{bmatrix} =\\
+            \int \frac{\frac{1}{2}d( (x + 1)^2 + 1 )}{(x + 1)^2 + 1} + \arctan(x + 1) =\\
+            = \frac{1}{2}\log | x^2 + 2x + 2 | + \arctan(x + 1) + C_1
+        \end{gather*}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.45\textwidth}
+        \begin{tabular}{|p{\textwidth}}
+        \setlength{\jot}{16pt}
+        \begin{gather*}
+            \int \frac{2 - x}{x^2 - 2x + 2} dx =\\
+            -\int \frac{x - 2}{(x - 1)^2 + 1} dx =\\
+            -\int \frac{(x - 1) dx}{(x - 1)^2 + 1} + \int \frac{dx}{(x - 1)^2 + 1} =\\
+            =\begin{bmatrix} \frac{d(x^2 - 2x + 2)}{2} = (x - 1)dx \end{bmatrix} =\\
+            -\int \frac{\frac{1}{2}d( (x - 1)^2 + 1 )}{(x - 1)^2 + 1} + \arctan(x - 1) =\\
+            = -\frac{1}{2}\log | x^2 - 2x + 2 | + \arctan(x - 1) + C_2
+        \end{gather*}
+        \end{tabular}
+    \end{minipage}    
+
+    \begin{gather*}
+        \frac{1}{8}\int \frac{x + 2}{x^2 + 2x + 2} dx +
+        \frac{1}{8}\int \frac{2 - x}{x^2 - 2x + 2} dx =\\
+        =\frac{1}{16}\braced{
+            \log | x^2 + 2x + 2 | + 2\arctan(x + 1) -
+            \log | x^2 - 2x + 2 | + 2\arctan(x - 1)
+        } + \bar{C}
+    \end{gather*}
+
+\question{(seminar0113) 8.b}{
+    \[
+        \int \frac{x^5 - x}{x^8 + 1}dx = \frac{\sqrt{2}}{8} \braced{
+            \log |x^4 - \sqrt{2} x^2 + 1| - \log |x^4 + \sqrt{2} x^2 + 1|
+        } + \bar{C}
+    \]
+}
+    
+    \[
+        \int \frac{x^5 - x}{x^8 + 1}dx =
+        \int \frac{x(x^4 - 1}{x^8 + 1}dx =
+        \begin{bmatrix}
+        u = x^2\\
+        dx = \frac{du}{2x}    
+        \end{bmatrix} =
+        \int \frac{x(u^2 - 1)}{u^4 + 1}\frac{du}{2x} =
+        \frac{1}{2} \int \frac{u^2 - 1}{u^4 + 1} du
+    \]
+    \[
+        u^4 + 1 = \braced{u^2 + \sqrt{2} u + 1}\braced{u^2 - \sqrt{2} u + 1}
+    \]
+    \[
+        \frac{u^2 - 1}{u^4 + 1} =
+        \frac{Au + B}{u^2 + \sqrt{2} u + 1} +
+        \frac{Cu + D}{u^2 - \sqrt{2} u + 1}
+    \]
+
+    \[
+        (Au + B)(u^2 - \sqrt{2}u + 1) + (Cu + D)(u^2 + \sqrt{2}u + 1) \equiv u^2 - 1
+    \]
+
+    Все тем же китайским методом:
+    \[\begin{cases*}
+        A = -\frac{\sqrt{2}}{2}\\
+        B = -\frac{1}{2}\\
+        C = \frac{\sqrt{2}}{2}\\
+        D = -\frac{1}{2}\\
+    \end{cases*}\]
+
+    \newcommand{\invsq}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
+    \[
+        \int \frac{u^2 - 1}{u^4 + 1} du =
+        \invsq \int \frac{-u - \invsq}{u^2 + \sqrt{2} u + 1} du +
+        \invsq \int \frac{u - \invsq}{u^2 - \sqrt{2} u + 1} du
+    \]    
+    
+    \begin{minipage}{0.45\textwidth}
+        \setlength{\jot}{16pt}
+        \begin{gather*}
+            \int \frac{-u - \invsq}{u^2 + \sqrt{2} u + 1} du =\\
+            -\int \frac{u + \invsq}{u^2 + \sqrt{2} u + 1} du =\\
+            -\frac{1}{2} \int \frac{d \braced{ u^2 + \sqrt{2} u + 1 }}{u^2 + \sqrt{2} u + 1} =\\
+            -\frac{1}{2} \log |u^2 + \sqrt{2} u + 1| + C_1
+        \end{gather*}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.45\textwidth}
+        \begin{tabular}{|p{\textwidth}}
+        \setlength{\jot}{16pt}
+        \begin{gather*}
+            \int \frac{u - \invsq}{u^2 - \sqrt{2} u + 1} du =\\
+            \int \frac{u + \invsq}{u^2 - \sqrt{2} u + 1} du =\\
+            \frac{1}{2} \int \frac{d \braced{ u^2 - \sqrt{2} u + 1 }}{u^2 - \sqrt{2} u + 1} =\\
+            \frac{1}{2} \log |u^2 - \sqrt{2} u + 1| + C_2
+        \end{gather*}
+        \end{tabular}
+    \end{minipage}
+
+    \[
+        \frac{1}{2} \int \frac{u^2 - 1}{u^4 + 1} du =
+        \frac{\sqrt{2}}{8} \braced{
+            \log |u^2 - \sqrt{2} u + 1| - \log |u^2 + \sqrt{2} u + 1|
+        } + C_3
+    \]
+
+    Обратно к $x$:
+    \[
+        \int \frac{x^5 - x}{x^8 + 1}dx =
+        \frac{\sqrt{2}}{8} \braced{
+            \log |x^4 - \sqrt{2} x^2 + 1| - \log |x^4 + \sqrt{2} x^2 + 1|
+        } + \bar{C}
+    \]
+
+\clearpage
+\question{(seminar0113) 13}{
+    \[
+        \int \frac{x \ dx}{(x^2 + 1)(x + 2)(x + 3)} = \frac{1}{20} \braced{
+            -8 \log |x + 2| + 6 \log |x + 3| + \log (x^2 + 1) + 2\arctan x
+        } + \bar{C}
+    \]
+}
+    \[
+        \frac{x}{(x^2 + 1)(x + 2)(x + 3)} =
+        \frac{Ax + B}{x^2 + 1} + \frac{C}{x + 2} + \frac{D}{x + 3}
+    \]
+
+    \[
+        (Ax + B)(x + 2)(x + 3) + C(x^2 + 1)(x + 3) + D(x^2 + 1)(x + 2) \equiv x
+    \]
+    \[\begin{cases*}
+        A = 0.1\\
+        B = 0.1\\
+        C = -0.4\\
+        D = 0.3\\
+    \end{cases*}\]
+
+    \begin{gather*}
+        \int -\frac{2}{5} \frac{dx}{x + 2} = -\frac{2 \log |x + 2|}{5} + C_1\\[16pt]
+        \int \frac{3}{10} \frac{dx}{x + 3} = \frac{3 \log |x + 3|}{10} + C_2\\[16pt]
+        \int \frac{1}{10} \frac{(x + 1) dx}{x^2 + 1} =
+            \frac{1}{10} \braced{
+                \frac{1}{2}\int \frac{2x \ dx}{x^2 + 1} + \int \frac{dx}{x^2 + 1}
+            } =
+            \frac{1}{10} \braced{
+                \frac{1}{2} \log (x^2 + 1) + \arctan(x)
+            } + C_3
+    \end{gather*}
+
+    \[
+        \int \frac{x \ dx}{(x^2 + 1)(x + 2)(x + 3)} = \frac{1}{20} \braced{
+            -8 \log |x + 2| + 6 \log |x + 3| + \log (x^2 + 1) + 2\arctan x
+        } + \bar{C}
+    \]
+
+\question{(seminar0120) 2.4}{
+    \[
+        \int \frac{dx}{x(x^2 + 1)^2} = -\frac{1}{2} \braced{
+            -\log (x^2 + 1) +
+            \frac{1}{x^2 + 1} +
+            2\log |x|
+        } + \bar{C}
+    \]
+}
+
+    \[
+        \frac{1}{x(x^2 + 1)^2} =
+        \frac{Ax + B}{x^2 + 1} + \frac{Cx + D}{(x^2 + 1)^2} + \frac{E}{x}
+    \]
+
+    \[
+        (Ax + B)(x^2 + 1)x + (Cx + D)x + E(x^2 + 1)^2 \equiv 1
+    \]
+
+    \[\begin{cases*}
+        A = -1\\
+        B = 0\\
+        C = -1\\
+        D = 0\\
+        E = 1
+    \end{cases*}\]
+
+    \begin{gather*}
+        \int - \frac{x \ dx}{x^2 + 1} =
+            -\frac{1}{2} \int \frac{2x \ dx}{x^2 + 1} =
+            -\frac{1}{2} \log (x^2 + 1) + C_1\\[12pt]
+        \int - \frac{x \ dx}{(x^2 + 1)^2} =
+            -\frac{1}{2} \int \frac{2x \ dx}{(x^2 + 1)^2} =
+            \begin{bmatrix}
+                \displaystyle \int \frac{dx}{x^s} = \frac{1}{(1 - s)x^{s - 1}} + C
+            \end{bmatrix} =
+            \frac{1}{2(x^2 + 1)} + C_2\\[12pt]
+        \int \frac{dx}{x} = \log |x| + C_3
+    \end{gather*}
+
+    \[
+        \int \frac{dx}{x(x^2 + 1)^2} =
+            -\frac{1}{2} \log (x^2 + 1) +
+            \frac{1}{2(x^2 + 1)} +
+            \log |x| + \bar{C}
+    \]
+
+\question{(seminar0120) 11}{
+    \[
+        \int \frac{dx}{(x^3 + 1)^2}
+    \]
+}
+
+    \[
+        \frac{1}{(x^3 + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2(x^2 - x + 1)^2} =
+        \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^2} + \frac{Cx + D}{x^2 - x + 1} + \frac{Ex + F}{(x^2 - x + 1)^2}
+    \]
+
+    \[
+        A(x^2 - x + 1)^2(x + 1) +
+        B(x^2 - x + 1)^2 +
+        (Cx + D)(x + 1)^2(x^2 - x + 1) +
+        (Ex + F)(x + 1)^2 \equiv 1
+    \]
+    \[\begin{cases*}
+        A = 2/9\\
+        B = 1/9\\
+        C = -2/9, \ \ 
+        D = 1/3\\
+        E = -1/3, \ \ 
+        F = 1/3\\
+    \end{cases*}\]
+
+    \begin{align}
+        \int \frac{2dx}{9(x + 1)} &= \frac{2}{9} \log |x + 1| + C_1 &\\[8pt]
+        \int \frac{dx}{9(x + 1)^2} & = -\frac{1}{9(x + 1)} + C_2 &
+            \begin{bmatrix}
+                \text{Лемма 1}
+            \end{bmatrix}\\[8pt]
+        \int \frac{-2x + 3}{9(x^2 - x + 1)}dx &=
+            -\frac{1}{9} \braced{
+                \int \frac{(2x - 1) dx}{x^2 - x + 1} -
+                \int \frac{2 dx}{\braced{ x - \frac{1}{2} }^2 + \frac{3}{4}}
+            }\nonumber \\[8pt]
+            &=
+            -\frac{1}{9} \braced{
+                \log (x^2 - x + 1) -
+                \frac{4}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2x - 1}{\sqrt{3}}
+            } + C_3\\[8pt]
+        \frac{1}{3} \int \frac{(1 - x)dx}{(x^2 - x + 1)^2} &=
+            -\frac{1}{6} \braced{
+                \int \frac{(2x - 1)dx}{(x^2 - x + 1)^2} -
+                \int \frac{dx}{\braced{ \braced{ x - \frac{1}{2} }^2 + \frac{3}{4} }^2}
+            }\nonumber \\[8pt]
+            &=
+            -\frac{1}{6} \braced{
+                -\frac{1}{x^2 - x + 1} +
+                \frac{2}{3} \braced{
+                    \frac{x}{x^2 - x + 1} +
+                    \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}
+                }
+            } + C_4
+            &\begin{bmatrix}
+                \text{Лемма 1 на левую часть}\\
+                \text{Лемма 2 на правую часть}
+            \end{bmatrix}
+            \nonumber \\[8pt]
+            &= \frac{1}{9} \braced{
+                \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} -
+                \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2x - 1}{\sqrt{3}}
+            } + C_4
+    \end{align}
+
+    \begin{gather*}
+        \int \frac{1}{(x^3 + 1)^2} =
+        \int \frac{2dx}{9(x + 1)} +
+        \int \frac{dx}{9(x + 1)^2} +
+        \int \frac{-2x + 3}{9(x^2 - x + 1)}dx +
+        \frac{1}{3} \int \frac{(1 - x)dx}{(x^2 - x + 1)^2} =\\[16pt]
+        \frac{1}{9} \braced{
+            2\log |x + 1| - \frac{1}{x + 1}
+            - \log(x^2 - x + 1) + \frac{4}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x - 1}{\sqrt{3}}
+            - \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} - \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}
+        } + C
+    \end{gather*}
+\end{document} 
\ No newline at end of file