Dump more hwsHEADmaster

2 files changed, 235 insertions, 0 deletions

diff --git a/calc/sol0427.tex b/calc/sol0427.tex
new file mode 100644
index 0000000..3fa191c
--- /dev/null
+++ b/calc/sol0427.tex
@@ -0,0 +1,122 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{../intro}
+
+\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
+\rhead{\color{gray} \small \textit{матан-0427}}
+\title{Матанализ 0427 (на 13 мая)}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+\maketitle
+\drawcat{50pt}
+\clearpage
+
+\dmquestion{5}{\[
+    \text{Найти } f^{(m + n)}_{x^m y^n}(0, 0), \ \ f(x, y) = e^x \sin y
+\]}
+
+    \[
+        f^{(m)}_{x^m} = e^x \sin y
+    \]
+    \[
+        \br{ f^{(m)}_{x^m} }^{(n)}_{y^n} = e^x \sin\br{y + \frac{n\pi}{2}}
+    \]
+
+    В точке $(0, 0)$ производная равна $\sin \brac{n\pi}{2}$.
+
+\dmquestion{6}{\[
+    f(x, y) =
+    \begin{cases}
+        \frac{x^2y^2}{x^2 + y^2}, & \quad x^2 + y^2 > 0\\
+        0, & \quad x^2 + y^2 = 0
+    \end{cases}
+\]}
+
+    В точке $(0, 0)$ производная по $x$ равна 
+    \[
+        f'_x(0, 0) =
+        \lim_{x \to 0}
+            \left. \frac{\frac{x^2y^2}{x^2 + y^2}}{x} \right|_{y = 0} =
+        \lim_{x \to 0} 0 = 0
+    \]
+
+    В остальных точках есть окрестность, не включающая $(0, 0)$,
+    а значит производная равна
+    \[
+        f'_x =
+        y^2\brac{x^2}{x^2 + y^2}' =
+        y^2\brac{2x(x^2 + y^2) - 2x^3}{(x^2 + y^2)^2} =
+        y^2\brac{2xy^2}{(x^2 + y^2)^2} =
+        \frac{2xy^4}{(x^2 + y^2)^2}
+    \]
+
+    Симметрично,
+    \[
+        f'_y(0, 0) = 0
+    \]\[
+        f'_y(x, y) = \frac{2yx^4}{(x^2 + y^2)^2}
+    \]
+
+    Теперь, вторая производная по $xy$ в нормальных точках:
+    \begin{align*}
+        f''_{xy} &=
+        \frac{2x\br{ 4y^3(x^2 + y^2)^2 - 2(x^2 + y^2)(2y)y^4 }}{(x^2 + y^2)^4} =\\[8pt]&=
+        \frac{2y^4\br{ 4y^3(x^2 + y^2) - 4y^5 }}{(x^2 + y^2)^3} =
+        \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3}
+    \end{align*}
+
+    и в $(0, 0)$:
+    \[
+        \lim_{x \to 0} \left. \frac{\frac{2xy^4}{(x^2 + y^2)^2}}{x} \right|_{y=0} =
+        \lim_{x \to 0} 0 = 0
+    \]
+
+    симметрично по $yx$:
+    \[
+        f''_{yx}(0, 0) = 0
+    \]\[
+        f''_{yx}(x, y) = \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3}
+    \]
+
+    Получается, что в $(0, 0)$ производные равны.
+
+    Теперь,
+    \[
+        \lim_{\substack{x \to 0 \\ y = 0}} \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3} = 0
+    \]
+    \[
+        \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0 \\ x = y}} \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3} = 1
+    \]
+
+    Получаем, что предела нет и обе производные не непрерывны в $(0, 0)$
+
+\dmquestion{9}
+
+    \[
+        \fractial{u}{x} = \fractial{}{x} \frac{1}{r} = -\frac{r'_x}{r^2} =
+        \frac{x - a}{r^3}
+    \]
+    \[
+        \fractial{}{x} \frac{x - a}{r^3} = \frac{r^3 - 3r^2 r' (x - a)}{r^6} =
+        \frac{r^3 - 3r^2\frac{(x - a)^2}{r}}{r^6} =
+        \frac{r^2 - 3(x - a)^2}{r^5}
+    \]
+
+    Аналогично,
+    \[
+        \fractial{^2u}{y^2} = \frac{r^2 - 3(y - b)^2}{r^5}
+    \]\[
+        \fractial{^2u}{z^2} = \frac{r^2 - 3(z - c)^2}{r^5}
+    \]
+
+    и в сумме они равны
+    \begin{align*}
+        &\frac{r^2 - 3(x - a)^2}{r^5} +
+        \frac{r^2 - 3(y - b)^2}{r^5} +
+        \frac{r^2 - 3(z - c)^2}{r^5} =\\
+     = &\frac{3r^2 - 3\left((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2)\right)}{r^5} =\\
+     = &\frac{3r^2 - 3r^2}{r^5} = 0
+    \end{align*}
+    \qed
+
+\end{document}
diff --git a/calc/sol0518.tex b/calc/sol0518.tex
new file mode 100644
index 0000000..994d81f
--- /dev/null
+++ b/calc/sol0518.tex
@@ -0,0 +1,113 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{../intro}
+
+\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
+\rhead{\color{gray} \small \textit{матан-0518}}
+\title{Матанализ 0518 (на 25 мая)}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+\maketitle
+\drawcat{50pt}
+\clearpage
+
+\dmquestion{1}
+
+    \[
+        F = \begin{cases}
+            x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 - 5 = 0\\
+            x_1 - x_2 + y_1^3 - y_2^3 + y_3^3 - 1 = 0\\
+            x_1^3 + 2x_2^3 + y_2y_3 - 4 = 0
+        \end{cases}
+    \]
+
+    \begin{itemize}[leftmargin=0.5in,rightmargin=0.5in]
+        \item[1.] $F(1, 1, 1, 1, 1) = 0$ -- верно
+        \item[2.] Каждая функция - многочлен,
+                    поэтому дифференцируема бесконечно много раз в любой точке
+        \item[3.]
+        \[% x_1, x_2, y_1
+            \mathrm{Jac}\ (y_2, y_3) \to (x_1, x_2, y_1) = \begin{vmatrix}
+                2x_1 & 2x_2 & 2y_1\\
+                1 & -1 & 3y_1^2\\
+                3x_1^2 & 6x_2^2 & 0
+            \end{vmatrix}_{\substack{x_1 = 1 \\ x_2 = 1 \\ y_1 = 1}} =
+            \begin{vmatrix}
+                2 & 2 & 2\\
+                1 & -1 & 3\\
+                3 & 6 & 0
+            \end{vmatrix} = 0
+        \]
+    \end{itemize}
+
+    Третье условие невыполнено.
+    \vspace{0.3in}
+
+    Для второго отображения первые два условия такие же, поэтому они выполнены.
+    Осталось проверить третье:
+
+    \[% y_1, y_2, y_3
+        \mathrm{Jac}\ (x_1, x_2) \to (y_1, y_2, y_3) = \begin{vmatrix}
+            2y_1 & 2y_2 & 2y_3\\
+            3y_1^2 & -3y_2^3 & 3y_3^2\\
+            0 & y_3 & y_2
+        \end{vmatrix}_{\substack{y_1 = 1 \\ y_2 = 1 \\ y_3 = 1}} =
+        \begin{vmatrix}
+            2 & 2 & 2\\
+            3 & -3 & 3\\
+            0 & 1 & 1
+        \end{vmatrix} = -12
+    \]
+
+    Третье условие выполнено $\Rightarrow$ отображение существует.
+
+\dmquestion{4}
+
+    \[
+        z(1 + x^2) = y(1 + z^4)
+    \]
+
+    возьмем производную от обеих частей уравнения по обеим переменным (по очереди, конечно):
+
+    \begin{align*}
+        z'_x(1 + x^2) + 2zx &= y'_x(1 + z^4) + y \cdot 4z^3 z'_x\\
+        2zx &= z'_x(4yz^3 - x^2 - 1)\\
+        z'_x &= \frac{2zx}{4yz^3 - x^2 - 1}
+    \end{align*}
+
+    \begin{align*}
+        z'_y(1 + x^2) &= y'_y(1 + z^4) + y \cdot 4z^3 z'_y\\
+        z'_y(1 + x^2 - 4yz^3) &= 1 + z^4\\
+        z'_y &= \frac{1 + z^4}{1 + x^2 - 4yz^3}
+    \end{align*}
+
+    Используем полученное:
+    \begin{align*}
+        \dif z &= z'_x \dif x + z'_y \dif y =\\
+        &=\frac{2zx}{4yz^3 - x^2 - 1} \dif x + \frac{1 + z^4}{1 + x^2 - 4yz^3} \dif y
+    \end{align*}
+
+\dmquestion{8}
+
+    \[
+        F = \begin{cases}
+            u^3 + 2xv - 1 = 0\\
+            v^3 - xu + 1 = 0
+        \end{cases}
+    \]
+
+    \begin{itemize}
+        \item[1.] $F(x = 0, u = 1, v = -1)$ -- условие выполнено
+        \item[2.] функции - многочлены, поэтому бесконечно дифференцируемы
+        \item[3.]
+        \[
+            \begin{vmatrix}
+                3u^2 & 2x\\
+                -x & 3v^2
+            \end{vmatrix}_{\substack{x = 0 \\ u = 1 \\ v = -1}} =
+            9
+        \] условие выполнено.
+    \end{itemize}
+
+
+\end{document}