diff options
Diffstat (limited to 'calc')
| -rw-r--r-- | calc/sol0427.tex | 122 | ||||
| -rw-r--r-- | calc/sol0518.tex | 113 |
2 files changed, 235 insertions, 0 deletions
diff --git a/calc/sol0427.tex b/calc/sol0427.tex new file mode 100644 index 0000000..3fa191c --- /dev/null +++ b/calc/sol0427.tex @@ -0,0 +1,122 @@ +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage{../intro} + +\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}} +\rhead{\color{gray} \small \textit{матан-0427}} +\title{Матанализ 0427 (на 13 мая)} + +% -- Here bet dragons -- +\begin{document} +\maketitle +\drawcat{50pt} +\clearpage + +\dmquestion{5}{\[ + \text{Найти } f^{(m + n)}_{x^m y^n}(0, 0), \ \ f(x, y) = e^x \sin y +\]} + + \[ + f^{(m)}_{x^m} = e^x \sin y + \] + \[ + \br{ f^{(m)}_{x^m} }^{(n)}_{y^n} = e^x \sin\br{y + \frac{n\pi}{2}} + \] + + В точке $(0, 0)$ производная равна $\sin \brac{n\pi}{2}$. + +\dmquestion{6}{\[ + f(x, y) = + \begin{cases} + \frac{x^2y^2}{x^2 + y^2}, & \quad x^2 + y^2 > 0\\ + 0, & \quad x^2 + y^2 = 0 + \end{cases} +\]} + + В точке $(0, 0)$ производная по $x$ равна + \[ + f'_x(0, 0) = + \lim_{x \to 0} + \left. \frac{\frac{x^2y^2}{x^2 + y^2}}{x} \right|_{y = 0} = + \lim_{x \to 0} 0 = 0 + \] + + В остальных точках есть окрестность, не включающая $(0, 0)$, + а значит производная равна + \[ + f'_x = + y^2\brac{x^2}{x^2 + y^2}' = + y^2\brac{2x(x^2 + y^2) - 2x^3}{(x^2 + y^2)^2} = + y^2\brac{2xy^2}{(x^2 + y^2)^2} = + \frac{2xy^4}{(x^2 + y^2)^2} + \] + + Симметрично, + \[ + f'_y(0, 0) = 0 + \]\[ + f'_y(x, y) = \frac{2yx^4}{(x^2 + y^2)^2} + \] + + Теперь, вторая производная по $xy$ в нормальных точках: + \begin{align*} + f''_{xy} &= + \frac{2x\br{ 4y^3(x^2 + y^2)^2 - 2(x^2 + y^2)(2y)y^4 }}{(x^2 + y^2)^4} =\\[8pt]&= + \frac{2y^4\br{ 4y^3(x^2 + y^2) - 4y^5 }}{(x^2 + y^2)^3} = + \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3} + \end{align*} + + и в $(0, 0)$: + \[ + \lim_{x \to 0} \left. \frac{\frac{2xy^4}{(x^2 + y^2)^2}}{x} \right|_{y=0} = + \lim_{x \to 0} 0 = 0 + \] + + симметрично по $yx$: + \[ + f''_{yx}(0, 0) = 0 + \]\[ + f''_{yx}(x, y) = \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3} + \] + + Получается, что в $(0, 0)$ производные равны. + + Теперь, + \[ + \lim_{\substack{x \to 0 \\ y = 0}} \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3} = 0 + \] + \[ + \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0 \\ x = y}} \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3} = 1 + \] + + Получаем, что предела нет и обе производные не непрерывны в $(0, 0)$ + +\dmquestion{9} + + \[ + \fractial{u}{x} = \fractial{}{x} \frac{1}{r} = -\frac{r'_x}{r^2} = + \frac{x - a}{r^3} + \] + \[ + \fractial{}{x} \frac{x - a}{r^3} = \frac{r^3 - 3r^2 r' (x - a)}{r^6} = + \frac{r^3 - 3r^2\frac{(x - a)^2}{r}}{r^6} = + \frac{r^2 - 3(x - a)^2}{r^5} + \] + + Аналогично, + \[ + \fractial{^2u}{y^2} = \frac{r^2 - 3(y - b)^2}{r^5} + \]\[ + \fractial{^2u}{z^2} = \frac{r^2 - 3(z - c)^2}{r^5} + \] + + и в сумме они равны + \begin{align*} + &\frac{r^2 - 3(x - a)^2}{r^5} + + \frac{r^2 - 3(y - b)^2}{r^5} + + \frac{r^2 - 3(z - c)^2}{r^5} =\\ + = &\frac{3r^2 - 3\left((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2)\right)}{r^5} =\\ + = &\frac{3r^2 - 3r^2}{r^5} = 0 + \end{align*} + \qed + +\end{document} diff --git a/calc/sol0518.tex b/calc/sol0518.tex new file mode 100644 index 0000000..994d81f --- /dev/null +++ b/calc/sol0518.tex @@ -0,0 +1,113 @@ +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage{../intro} + +\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}} +\rhead{\color{gray} \small \textit{матан-0518}} +\title{Матанализ 0518 (на 25 мая)} + +% -- Here bet dragons -- +\begin{document} +\maketitle +\drawcat{50pt} +\clearpage + +\dmquestion{1} + + \[ + F = \begin{cases} + x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 - 5 = 0\\ + x_1 - x_2 + y_1^3 - y_2^3 + y_3^3 - 1 = 0\\ + x_1^3 + 2x_2^3 + y_2y_3 - 4 = 0 + \end{cases} + \] + + \begin{itemize}[leftmargin=0.5in,rightmargin=0.5in] + \item[1.] $F(1, 1, 1, 1, 1) = 0$ -- верно + \item[2.] Каждая функция - многочлен, + поэтому дифференцируема бесконечно много раз в любой точке + \item[3.] + \[% x_1, x_2, y_1 + \mathrm{Jac}\ (y_2, y_3) \to (x_1, x_2, y_1) = \begin{vmatrix} + 2x_1 & 2x_2 & 2y_1\\ + 1 & -1 & 3y_1^2\\ + 3x_1^2 & 6x_2^2 & 0 + \end{vmatrix}_{\substack{x_1 = 1 \\ x_2 = 1 \\ y_1 = 1}} = + \begin{vmatrix} + 2 & 2 & 2\\ + 1 & -1 & 3\\ + 3 & 6 & 0 + \end{vmatrix} = 0 + \] + \end{itemize} + + Третье условие невыполнено. + \vspace{0.3in} + + Для второго отображения первые два условия такие же, поэтому они выполнены. + Осталось проверить третье: + + \[% y_1, y_2, y_3 + \mathrm{Jac}\ (x_1, x_2) \to (y_1, y_2, y_3) = \begin{vmatrix} + 2y_1 & 2y_2 & 2y_3\\ + 3y_1^2 & -3y_2^3 & 3y_3^2\\ + 0 & y_3 & y_2 + \end{vmatrix}_{\substack{y_1 = 1 \\ y_2 = 1 \\ y_3 = 1}} = + \begin{vmatrix} + 2 & 2 & 2\\ + 3 & -3 & 3\\ + 0 & 1 & 1 + \end{vmatrix} = -12 + \] + + Третье условие выполнено $\Rightarrow$ отображение существует. + +\dmquestion{4} + + \[ + z(1 + x^2) = y(1 + z^4) + \] + + возьмем производную от обеих частей уравнения по обеим переменным (по очереди, конечно): + + \begin{align*} + z'_x(1 + x^2) + 2zx &= y'_x(1 + z^4) + y \cdot 4z^3 z'_x\\ + 2zx &= z'_x(4yz^3 - x^2 - 1)\\ + z'_x &= \frac{2zx}{4yz^3 - x^2 - 1} + \end{align*} + + \begin{align*} + z'_y(1 + x^2) &= y'_y(1 + z^4) + y \cdot 4z^3 z'_y\\ + z'_y(1 + x^2 - 4yz^3) &= 1 + z^4\\ + z'_y &= \frac{1 + z^4}{1 + x^2 - 4yz^3} + \end{align*} + + Используем полученное: + \begin{align*} + \dif z &= z'_x \dif x + z'_y \dif y =\\ + &=\frac{2zx}{4yz^3 - x^2 - 1} \dif x + \frac{1 + z^4}{1 + x^2 - 4yz^3} \dif y + \end{align*} + +\dmquestion{8} + + \[ + F = \begin{cases} + u^3 + 2xv - 1 = 0\\ + v^3 - xu + 1 = 0 + \end{cases} + \] + + \begin{itemize} + \item[1.] $F(x = 0, u = 1, v = -1)$ -- условие выполнено + \item[2.] функции - многочлены, поэтому бесконечно дифференцируемы + \item[3.] + \[ + \begin{vmatrix} + 3u^2 & 2x\\ + -x & 3v^2 + \end{vmatrix}_{\substack{x = 0 \\ u = 1 \\ v = -1}} = + 9 + \] условие выполнено. + \end{itemize} + + +\end{document} |