1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
|
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}
\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-1}}
\title{Алгебра 1}
% -- Here bet dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{50pt}
\clearpage
\dmquestion{1}
Докажем, что если $\ord(g) = m$, то
\[
n \divby m \Leftrightarrow g^n = e
\]
\begin{itemize}[leftmargin=1in]
\item [$\Rightarrow$] \leavevmode \\
\[
g^n = \br{g^m}^{\frac n m} = e^{\frac n m} = e
\]
\item [$\Leftarrow$] \leavevmode \\
Пусть это не так и $\exists\ n \ : \ g^n = e$, но $n$ не делится на $m$. Тогда
\[
n = mq + r, \ \ 0 \leqslant r < m
\]
\[
e = g^n = g^{mq + r} = g^{mq} g^r = e^q g^r = g^r
\]
Но так как $r < m$, значит, $\ord(g) = r < m$. Противоречие.
\end{itemize}
Тогда понятно, что $\ord(g^k) = \frac{\text{НОК}(m, k)}{k}$
\dmquestion{2}
Пусть $G = \cycle{g}$ и надо доказать, что подгруппа $H \subseteq G$ - циклическая.
Неформально, я хочу показать, что $H$ порождается $g^{\gcd(\{d \ | \ g^d \in H\})}$.
Введем новую операцию для удобства
\[
\deg(x) \coloneqq \min \{d \ | \ x = g^d, d \geqslant 0\}
\]
Возьмем какой-то элемент $h_0 \in H$ так, что $h_0 \neq e$.
Построим последовательность $\{h_i\}$ хитрым образом, докажем, что она конечна и последний ее элемент $h_n$ порождает $H$.
Пусть $\cycle{h_i} \neq H$ (иначе $H = \cycle{h_i}$ и все доказано), тогда возьмем какой-нибудь элемент $h$ из $H$, но не из $\cycle{h_i}$.
Так как уравнение
\[
x \deg(h) + y \deg(h_i) = \gcd(\deg(h), \deg(h_i))
\]
всегда имеет решение $(x, y)$ в целых числах, то $g^{\gcd(\deg(h),\ \deg(h_i))}$ обязан лежать в $H$.
Тогда пусть по построению $h_{i + 1} = g^{\gcd(\deg(h),\ \deg(h_i))}$. Заметим, что $\cycle{h_{i + 1}} \in H$, поскольку $H$ - группа.
Очевидно, что $\gcd(\deg(h), \ \deg(h_i)) \leqslant \deg(h_i)$. Но так как $h \notin \cycle{h_i}$, то $\deg(h)\ \nodivby \deg(h_i)$, а значит $\gcd(\deg(h), \ \deg(h_i)) < \deg(h_i)$.
Значит, $h_i > h_{i + 1}$, поэтому $|\{h_n\}| < \infty$. Значит, в какой-то момент перестанет выполняться предположение о том, что $\cycle{h_i} \neq H$, что и требовалось.
\dmquestion{4}
\end{document}
|
