1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
|
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}
\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-3}}
\title{Алгебра 3}
% -- Here bet dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{50pt}
\clearpage
\dmquestion{1}
Различных базисов в $B$ всего два: $(\pm a, \ldots, \pm a)$,
а так как в базисе всего один элемент, то он сразу согласован с $\ \ u_1 = |a|, \ \ e_1 = (\pm 1, \ldots \pm 1)$.
В $\mathbb{Z}^n$ для элемента $(\pm 1, \ldots, \pm 1)$ мы можем выбрать еще элементов до базиса:
\begin{align*}
&(1, 0, \ldots, 0)\\
&(0, 1, \ldots, 0)\\
&\quad \quad \ \ \vdots\\
&(0, \ldots, 1, 0)
\end{align*}
Понятно, что это базис и понятно, как получить все остальные - домножить на обратимую над $\mathbb{Z}$ матрицу.
Мы не могли брать в качестве базисного элемент $(b, \dots b)$, где $b$ - какой-то делитель $a$,
потому что если бы он был в базисе $\mathbb{Z}^n$, то матрица перехода к нему от стандартного базиса была бы необратимой над $\mathbb{Z}$, а значит это не был бы базис.
\dmquestion{2}
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
5 & 5 & 2\\
11 & 8 & 5\\
17 & 5 & 8
\end{bmatrix} \simeq
\begin{bmatrix}
1 & 5 & 2\\
1 & 8 & 5\\
1 & 5 & 8
\end{bmatrix} \simeq
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 3 & 3\\
1 & 0 & 6
\end{bmatrix} \simeq
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 3\\
0 & 0 & 6
\end{bmatrix} \simeq
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 6
\end{bmatrix} \simeq
\end{align*}
Тогда
\[
A/B \simeq
\mathbb{Z}_1 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_6 =
\{0\} \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_6 \simeq
\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_6
\]
\dmquestion{3}
Рассмотрим группу строго убывающих по модулю последовательностей целых чисел с операцией покоординатного сложения (считаем, что координат бесконечное число).
Такое множество счетно, потому что последовательностей, начинающихся с определенного числа конечное число, целые числа счетны, а счетное обьединение конечных или счетных множеств счетно. Ну и это группа с нейтральным элементом $\{0\}$. Так как количество координат бесконечно, а каждый элемент имеет только конечное количество ненулевых координат, то и конечной порождающей системы нет.
\end{document}
|
