1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
|
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}
\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-5}}
\title{Алгебра 5}
% -- Here bet dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{30pt}
\clearpage
\dmquestion{1}
Такое действие - просто умножение на три разных ненулевых коэффициента координат данного вектора. Поэтому орбита какого-то вектора - все векторы, у которых в тех же местах стоят ненулевые координаты (получается, всего $8$ орбит).
По тем же соображениям, стабилизатор элемента $(x_1, x_2, x_3)$ -- матрицы вида $\mathrm{diag}(a_1, a_2, a_3) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ со следующим условием: если $x_i \neq 0$, то $a_i = 1$.
Простая проверка показывает, что любая такая матрица лежит в стабилизаторе;
любая другая не оставляет вектор на месте,
потому что не оставляет соответствующую координату на месте.
\dmquestion{2}
Ядро неэффективности такого действия - это такие $g$, что
\[
\forall h \in G : ghg^{-1} = h
\]
Умножая на $g$ справа получаем
\[
\forall h \in G : gh = hg
\]
а это в точности определение элемента из центра. \qed
\dmquestion{3}
Упорядочим $G = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ лексикографически.
Тогда посмотрим на действие $G$ на себя левыми сдвигами
и для каждого элемента найдем соответствующую перестановку:
\begin{align*}
&(0, 0): \begin{bmatrix}
(0, 0) \mapsto (0, 0)\\
(0, 1) \mapsto (0, 1)\\
(1, 0) \mapsto (1, 0)\\
(1, 1) \mapsto (1, 1)\\
\end{bmatrix} = \mathrm{id}\\
&(0, 1): \begin{bmatrix}
(0, 0) \mapsto (0, 1)\\
(0, 1) \mapsto (0, 0)\\
(1, 0) \mapsto (1, 1)\\
(1, 1) \mapsto (1, 0)\\
\end{bmatrix} = (1\ 2)(3\ 4)\\
&(1, 0): \begin{bmatrix}
(0, 0) \mapsto (1, 0)\\
(0, 1) \mapsto (1, 1)\\
(1, 0) \mapsto (0, 0)\\
(1, 1) \mapsto (0, 1)\\
\end{bmatrix} = (1\ 3)(2\ 4)\\
&(1, 1): \begin{bmatrix}
(0, 0) \mapsto (1, 1)\\
(0, 1) \mapsto (1, 0)\\
(1, 0) \mapsto (0, 1)\\
(1, 1) \mapsto (0, 0)\\
\end{bmatrix} = (1\ 4)(2\ 3)\\
\end{align*}
Это и есть подгруппа $S_n$, изоморфная $G$
\dmquestion{4}
Пусть $\tau = (1\ 2\ 3\ \ldots\ n)$.
Тогда нам надо найти все такие $\sigma \in S_n$, что
\[
\sigma \tau \sigma^{-1} = \tau \Leftrightarrow \sigma \tau = \tau \sigma
\]
Понятно, что $\tau$ коммутирует со всеми своими степенями.
Пусть единица при $\sigma$ переходит в $k$.
Тогда, чтобы не терять коммутативность, $2$ переходит в $k + 1$.
Чтобы теперь не противоречить коммутативности нового перехода для $2$,
$3$ должна переходить в $k + 2$ и так далее$^\dagger$. Тогда каждый элемент переходит на $k$ позиций вправо, а это и есть $k$-ая степень $\tau$. \qed
$^\dagger$ $k + 1, k + 2$ берутся по модулю $n$, с прибавлением единички, если надо, чтобы не выходить из $[1..n]$
\end{document}
|
