1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
|
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}
\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{матан-0427}}
\title{Матанализ 0427 (на 13 мая)}
% -- Here bet dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{50pt}
\clearpage
\dmquestion{5}{\[
\text{Найти } f^{(m + n)}_{x^m y^n}(0, 0), \ \ f(x, y) = e^x \sin y
\]}
\[
f^{(m)}_{x^m} = e^x \sin y
\]
\[
\br{ f^{(m)}_{x^m} }^{(n)}_{y^n} = e^x \sin\br{y + \frac{n\pi}{2}}
\]
В точке $(0, 0)$ производная равна $\sin \brac{n\pi}{2}$.
\dmquestion{6}{\[
f(x, y) =
\begin{cases}
\frac{x^2y^2}{x^2 + y^2}, & \quad x^2 + y^2 > 0\\
0, & \quad x^2 + y^2 = 0
\end{cases}
\]}
В точке $(0, 0)$ производная по $x$ равна
\[
f'_x(0, 0) =
\lim_{x \to 0}
\left. \frac{\frac{x^2y^2}{x^2 + y^2}}{x} \right|_{y = 0} =
\lim_{x \to 0} 0 = 0
\]
В остальных точках есть окрестность, не включающая $(0, 0)$,
а значит производная равна
\[
f'_x =
y^2\brac{x^2}{x^2 + y^2}' =
y^2\brac{2x(x^2 + y^2) - 2x^3}{(x^2 + y^2)^2} =
y^2\brac{2xy^2}{(x^2 + y^2)^2} =
\frac{2xy^4}{(x^2 + y^2)^2}
\]
Симметрично,
\[
f'_y(0, 0) = 0
\]\[
f'_y(x, y) = \frac{2yx^4}{(x^2 + y^2)^2}
\]
Теперь, вторая производная по $xy$ в нормальных точках:
\begin{align*}
f''_{xy} &=
\frac{2x\br{ 4y^3(x^2 + y^2)^2 - 2(x^2 + y^2)(2y)y^4 }}{(x^2 + y^2)^4} =\\[8pt]&=
\frac{2y^4\br{ 4y^3(x^2 + y^2) - 4y^5 }}{(x^2 + y^2)^3} =
\frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3}
\end{align*}
и в $(0, 0)$:
\[
\lim_{x \to 0} \left. \frac{\frac{2xy^4}{(x^2 + y^2)^2}}{x} \right|_{y=0} =
\lim_{x \to 0} 0 = 0
\]
симметрично по $yx$:
\[
f''_{yx}(0, 0) = 0
\]\[
f''_{yx}(x, y) = \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3}
\]
Получается, что в $(0, 0)$ производные равны.
Теперь,
\[
\lim_{\substack{x \to 0 \\ y = 0}} \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3} = 0
\]
\[
\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0 \\ x = y}} \frac{8y^3x^3}{(x^2 + y^2)^3} = 1
\]
Получаем, что предела нет и обе производные не непрерывны в $(0, 0)$
\dmquestion{9}
\[
\fractial{u}{x} = \fractial{}{x} \frac{1}{r} = -\frac{r'_x}{r^2} =
\frac{x - a}{r^3}
\]
\[
\fractial{}{x} \frac{x - a}{r^3} = \frac{r^3 - 3r^2 r' (x - a)}{r^6} =
\frac{r^3 - 3r^2\frac{(x - a)^2}{r}}{r^6} =
\frac{r^2 - 3(x - a)^2}{r^5}
\]
Аналогично,
\[
\fractial{^2u}{y^2} = \frac{r^2 - 3(y - b)^2}{r^5}
\]\[
\fractial{^2u}{z^2} = \frac{r^2 - 3(z - c)^2}{r^5}
\]
и в сумме они равны
\begin{align*}
&\frac{r^2 - 3(x - a)^2}{r^5} +
\frac{r^2 - 3(y - b)^2}{r^5} +
\frac{r^2 - 3(z - c)^2}{r^5} =\\
= &\frac{3r^2 - 3\left((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2)\right)}{r^5} =\\
= &\frac{3r^2 - 3r^2}{r^5} = 0
\end{align*}
\qed
\end{document}
|
