1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
|
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[x11names, svgnames, rgb]{xcolor}
%\usepackage{tikz}
%\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usepackage{scrextend}
\input{intro}
\lhead{\color{gray} Шарафатдинов Камиль 192}
\rhead{\color{gray} дм-17 (\texttt{cw17\_plus})}
\title{Дискретная математика 17}
\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ192}
\date{билд: \today}
% -- Here bet dragons --
\begin{document}
\maketitle
\twocolumn
\dmquestion{1}
С семинара:
\[
(FG)' = F'G + G'F, \qquad \brac{1}{F}' = -\frac{F'}{F^{2}}
\]
Тогда:
\[
\brac{F}{G}' =
\br{ F \cdot \frac{1}{G} }' =
\frac{F'}{G} - \frac{G'F}{G^2} =
\frac{F'G - G'F}{G^2}
\]
\dmquestion{2}
Пусть $F = f_1 x + f_2 x^2 + \ldots$
Аналогично, $G = g_1 x + g_2 x^2 + \dots$
Тогда
\[
F(G(x)) = f_1 G(x) + f_2 G(x)^2 + \ldots
\]
Будем строить $G$ по коэффициэнтам:
\begin{align*}
f_1 g_1 &&&&= 1\\
f_1 g_2 &+ f_2 g_1 &&&= 0\\
f_1 g_3 &&+ f_3 g_1 &&= 0\\
f_1 g_4 &+ f_2 g_2 &&+ f_4 g_1 &= 0
\end{align*}
Тогда для каждого уравнения есть новый (ещё не определённый) коэффициент из первого члена ($f_1G(x)$), то есть если $f_1 \neq 0$, то мы всегда сможем продолжать строить функцию $G$ таким образом.
Если $f_1 = 0$, то:
\begin{enumerate}
\item $F \equiv 0$, тогда $\forall G: F(G(x)) \equiv 0$
\item $F \neq 0 $, тогда минимальная степень $x$ в выражении не меньше $2$,
для любой $G$.
\end{enumerate}
Поэтому $F$ ``обратима'' (т.е. $\exists G : F(G(x)) = x$)
тогда и только тогда, когда $f_1 \neq 0$.
\newpage
\dmquestion{4}
\begin{align*}
F &= (1, 1, 1, 1, 1, \ldots)\\
F' &= (0, 1, 2, 3, 4, \ldots)\\
F'' &= (0, 0, 2 \cdot 1, 3 \cdot 2, 4 \cdot 3, \ldots)\\
\end{align*}
Мы знаем, что $F = \frac{1}{1 - x}$.
Тогда $F' = \frac{1}{\br{ 1 - x }^2}$
и $F'' = 2\frac{1 - x}{(1 - x)^4} = 2\frac{1}{(1 - x)^3}$.
Также мы знаем, что если умножить функцию $G$ на $S = (1 + x + x^2 + \ldots)$,
то мы получим функцию, у которой $i$-тый коэффициент равен сумме первых $i$ коэффициентов $G$
\[
K = \frac{F''}{1 - x} = \frac{2}{(1 - x)^4}
\]
\[
K^{(n)} = 2\br{ 4 \cdot 5 \cdot \ldots (n + 3)
\frac{(1 - x)^{n + 2}}{(1 - x)^{2(n + 3)}} } = \frac{2n!}{(1 - x)^{n + 4}}
\]
\[
\frac{K^{(n)}}{n!} = \frac{2(n + 3)!}{3!n!} = \frac{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}{6}
\]
Это не совсем то, что мы хотели, потому что в $F''$ были два лишних нуля. Поэтому правильная формула выглядит так:
\[
\frac{(n - 1)n(n + 2)}{6} = \frac{n(n^2 - 1)}{6}
\]
\end{document}
|
