summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/phw2.tex
diff options
context:
space:
mode:
authortanyaionova <isaqtm@gmail.com>2019-11-16 21:35:30 +0300
committertanyaionova <isaqtm@gmail.com>2019-11-16 21:35:30 +0300
commit7360c0ae23653ff0fddec16f91f5eaed88529dfb (patch)
treed7b497075673a37c73a49caef381efc763d31b2c /phw2.tex
downloadalg2-7360c0ae23653ff0fddec16f91f5eaed88529dfb.tar.gz
First bunch
Diffstat (limited to 'phw2.tex')
-rw-r--r--phw2.tex379
1 files changed, 379 insertions, 0 deletions
diff --git a/phw2.tex b/phw2.tex
new file mode 100644
index 0000000..1138761
--- /dev/null
+++ b/phw2.tex
@@ -0,0 +1,379 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+%\usepackage[T2A]{fontenc}
+%\usepackage[utf8]{inputenc}
+%\usepackage[russian]{babel}
+
+
+\input{intro}
+
+\lhead{\color{gray} Линейная алгебра}
+\rhead{\color{gray} ИДЗ-2}
+
+\makeatletter
+\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
+ \hskip -\arraycolsep
+ \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
+ \array{#1}}
+\makeatother
+
+
+\DeclareMathOperator{\chr}{char}
+
+\title{ИДЗ-2 по линейной алгебре}
+\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ-192}
+\date{\today}
+
+% -- Here bet dragons --
+\begin{document}
+\maketitle
+%\section*{Abstract}
+
+\clearpage
+
+\question{2}{
+\[
+ \begin{pmatrix}
+ -1 & 1 & 2 & 3\\
+ 3 & -3 & -2 & -3\\
+ -2 & -3 & 2 & 2\\
+ 1 & -1 & -3 & -3
+ \end{pmatrix}
+ \braced{
+ X +
+ \begin{pmatrix}
+ -10 & 8 & -5 & 1\\
+ 8 & -1 & -1 & 6\\
+ 4 & -5 & 4 & -5\\
+ 10 & -9 & 8 & 3
+ \end{pmatrix}
+ }^{-1}
+ \begin{pmatrix}
+ 2 & -3 & -1 & -2\\
+ -3 & 2 & -2 & 3\\
+ -1 & 2 & 3 & 3\\
+ 3 & -3 & -2 & -3
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 1 & 1 & -1 & 1\\
+ -1 & -2 & 2 & -2\\
+ 1 & 2 & -1 & 3\\
+ -1 & -2 & 1 & -2
+ \end{pmatrix}
+\]
+}
+
+ Обозначим как-нибудь матрицы:
+ \[
+ A (X + B)^{-1} C = D
+ \]
+
+ Предположим, что $A$ и $D$ обратимы ($D^{-1}$ мне все равно придется найти, а $\Delta A = -30$). Тогда
+ \begin{align*}
+ A (X + B)^{-1} C &= D\\
+ (X + B)^{-1} C &= A^{-1} D\\
+ C &= (X + B) A^{-1} D\\
+ C D^{-1} &= (X + B) A^{-1}\\
+ C D^{-1} A &= X + B\\
+ X &= C D^{-1} A - B
+ \end{align*}
+
+ Найдем $D^{-1}$. Запишем матрицу $(D|E)$ и будем элементарными преобразованиями приводить ее к $(E|D^{-1})$.
+ \[
+ \begin{pmatrix}[cccc|cccc]
+ 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
+ -1 & -2 & 2 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
+ 1 & 2 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0\\
+ -1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1
+ \end{pmatrix} \overset{\texttt{main2.py}}\sim % TODO
+ \begin{pmatrix}[cccc|cccc]
+ 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\
+ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -2\\
+ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\
+ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ Осталось просто перемножить $CD^{-1}A$ и вычесть $B$
+ \[
+ X = CD^{-1}A - B =
+ \begin{pmatrix}
+ -1 & -4 & -1 & 5\\
+ -8 & 3 & -7 & -10\\
+ 4 & -9 & 2 & -4\\
+ -1 & 1 & 1 & 9
+ \end{pmatrix} - B =
+ \begin{pmatrix}
+ 9 & -12 & 4 & 4\\
+ -16 & 4 & -6 & -16\\
+ 0 & -4 & -2 & 1\\
+ -11 & 10 & -7 & 6
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+\question{3}{
+ \[
+ A =
+ \begin{pmatrix}
+ -4 & 3 & -2 & 1\\
+ -5 & 5 & -4 & 1\\
+ 2 & -2 & 1 & -2\\
+ 0 & 0 & 2 & 2
+ \end{pmatrix}
+ \]
+ Найти характеристический многочлен $A$ и определитель $(A^2 - 3A + 1)^{-2}$
+}
+
+ \[
+ \det\braced{A - \lambda E} =
+ \begin{vmatrix}
+ -4 -\lambda & 3 & -2 & 1\\
+ -5 & 5 -\lambda & -4 & 1\\
+ 2 & -2 & 1 -\lambda & -2\\
+ 0 & 0 & 2 & 2 -\lambda
+ \end{vmatrix}
+ \]
+
+ Разложим по последней строке
+ \begin{align*}
+ &\begin{vmatrix}
+ -4 -\lambda & 3 & -2 & 1\\
+ -5 & 5 -\lambda & -4 & 1\\
+ 2 & -2 & 1 -\lambda & -2\\
+ 0 & 0 & 2 & 2 -\lambda
+ \end{vmatrix} =
+ -2 \begin{vmatrix}
+ -4 -\lambda & 3 & 1\\
+ -5 & 5 -\lambda & 1\\
+ 2 & -2 & -2\\
+ \end{vmatrix} + (2 - \lambda)
+ \begin{vmatrix}
+ -4 -\lambda & 3 & -2\\
+ -5 & 5 -\lambda & -4\\
+ 2 & -2 & 1 -\lambda\\
+ \end{vmatrix} =\\\\
+ = &(-2)(-2\lambda^2 + 2\lambda + 8) + (2 - \lambda)(-\lambda^3 + 2\lambda^2 + 8\lambda + 3) =
+ \lambda^4 - 4\lambda^3 + 9\lambda - 10
+ \end{align*}
+
+ Посмотрим внимательно на $(A^2 - 3A + 2)^{-2}$. Пусть $B = A^2 - 3A + 2 = (A - 1)(A - 2)$.
+ \[
+ \det(B^{-2}) =
+ \det(B^{-1})^2 =
+ \braced{ \frac{1}{\det(B)} }^2 =
+ \braced{ \frac{1}{\det(A - 1)\det(A - 2)} }^2
+ \]
+
+ Осталось посчитать $\det(A - 1)$ и $\det(A - 2)$
+ \[
+ \det(A - 1) =
+ \begin{vmatrix}
+ -5 & 3 & -2 & 1\\
+ -5 & 4 & -4 & 1\\
+ 2 & -2 & 0 & -2\\
+ 0 & 0 & 2 & 1
+ \end{vmatrix} =
+ -2
+ \begin{vmatrix}
+ -5 & 3 & 1\\
+ -5 & 4 & 1\\
+ 2 & -2 & -2
+ \end{vmatrix} +
+ \begin{vmatrix}
+ -5 & 3 & -2\\
+ -5 & 4 & -4\\
+ 2 & -2 & 0
+ \end{vmatrix} = -4
+ \]
+
+ \[
+ \det(A - 2) =
+ \begin{vmatrix}
+ -6 & 3 & -2 & 1\\
+ -5 & 3 & -4 & 1\\
+ 2 & -2 & -1 & -2\\
+ 0 & 0 & 2 & 0
+ \end{vmatrix} =
+ -2
+ \begin{vmatrix}
+ -6 & 3 & 1\\
+ -5 & 3 & 1\\
+ 2 & -2 & -2
+ \end{vmatrix} = -8
+ \]
+
+ \[
+ \det\braced{A^2 - 3A + 2}^{-2} = \braced{ \frac{1}{32} }^2 = \frac{1}{1024}
+ \]
+
+
+\question{4}{
+ Найти коэффициент при $x^5$ в
+ \[
+ \begin{vmatrix}
+ x & 4 & -5 & 5 & -7 & 8 & 1\\
+ 1 & 5 & 8 & -8 & -5 & x & 5\\
+ -4 & 7 & x & -6 & -1 & -2 & 1\\
+ -8 & 4 & 7 & 7 & 6 & x & 8\\
+ -9 & -6 & 8 & -5 & -5 & 8 & x\\
+ -2 & 7 & 1 & 4 & x & 3 & 4\\
+ 2 & x & 6 & x & 9 & -2 & 3\\
+ \end{vmatrix}
+ \]
+}
+
+ Сделаем пару преобразований, чтобы сократить количество иксов:
+ \begin{align*}
+ &\begin{vmatrix}
+ x & 4 & -5 & 5 & -7 & 8 & 1\\
+ 1 & 5 & 8 & -8 & -5 & x & 5\\
+ -4 & 7 & x & -6 & -1 & -2 & 1\\
+ -8 & 4 & 7 & 7 & 6 & x & 8\\
+ -9 & -6 & 8 & -5 & -5 & 8 & x\\
+ -2 & 7 & 1 & 4 & x & 3 & 4\\
+ 2 & x & 6 & x & 9 & -2 & 3\\
+ \end{vmatrix} \overset{\text{2 строка -= 4 строка}}=
+ \begin{vmatrix}
+ x & 4 & -5 & 5 & -7 & 8 & 1\\
+ 9 & 1 & 1 & -15 & -11 & 0 & -3\\
+ -4 & 7 & x & -6 & -1 & -2 & 1\\
+ -8 & 4 & 7 & 7 & 6 & x & 8\\
+ -9 & -6 & 8 & -5 & -5 & 8 & x\\
+ -2 & 7 & 1 & 4 & x & 3 & 4\\
+ 2 & x & 6 & x & 9 & -2 & 3\\
+ \end{vmatrix} =\\\\
+ \overset{\text{2 столбец -= 4 столбец}}= &\begin{vmatrix}
+ x & -1 & -5 & 5 & -7 & 8 & 1\\
+ 9 & 16 & 1 & -15 &-11 & 0 & -3\\
+ -4 & 13 & x & -6 & -1 & -2 & 1\\
+ -8 & -3 & 7 & 7 & 6 & x & 8\\
+ -9 & -1 & 8 & -5 & -5 & 8 & x\\
+ -2 & 3 & 1 & 4 & x & 3 & 4\\
+ 2 & 0 & 6 & x & 9 & -2 & 3\\
+ \end{vmatrix}
+ \end{align*}
+
+ Заметим, что иксов осталось 6 - по одному в каждом стобце и строке кроме одного.
+ $x^5$ возникает в сумме членов определителя, когда вместо одного из иксов мы берем другое число из строки.
+ Соотвестственно, надо выписать все перестановки, в которых остается 5 иксов, или, что равносильно, в которых
+ отсутствует ровно один икс. таких перестановок 6, так как без каждого икса есть ровно две перестановки, но одна
+ из них содержит шестой икс, поэтому нам подходит только вторая.
+
+ Итак, перестановки, содержащие 5 иксов:
+ \begin{align*}
+ &\begin{pmatrix}
+ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+ 2 & 1 & 3 & 6 & 7 & 5 & 4
+ \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+ &\begin{pmatrix}
+ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+ 1 & 3 & 2 & 6 & 7 & 5 & 4
+ \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+ &\begin{pmatrix}
+ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+ 1 & 6 & 3 & 2 & 7 & 5 & 4
+ \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+ &\begin{pmatrix}
+ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+ 1 & 7 & 3 & 6 & 2 & 5 & 4
+ \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+ &\begin{pmatrix}
+ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+ 1 & 5 & 3 & 6 & 7 & 2 & 4
+ \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+ &\begin{pmatrix}
+ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
+ 1 & 4 & 3 & 6 & 7 & 5 & 2
+ \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
+ \end{align*}
+
+ Осталось просто просуммировать произведения константных коэффициентов:
+ \[
+ -9 + 13 + 0 + 3 - 33 + 0 = -26
+ \]
+
+ Это и будет коэффициентом при $x^5$
+
+\question{5}{
+ \[
+ A = \begin{pmatrix}
+ -4 & 4\\
+ 1 & -1\\
+ 3 & -3\\
+ 2 & -2\\
+ 4 & -4
+ \end{pmatrix},
+ B = \begin{pmatrix}
+ 3 & -1 & 1 & -2 & 2\\
+ 1 & 3 & -2 & 2 & -1
+ \end{pmatrix},
+ \qquad \text{Найти: } \rchi_{AB}(\lambda)
+ \]
+}
+
+ Перемножим $AB$ (это несложно, в каждой ячейке всего 2 множителя):
+ \[
+ AB = \begin{pmatrix}
+ -8 & 16 & -12 & 16 & -12\\
+ 2 & -4 & 3 & -4 & 3\\
+ 6 & 12 & 9 & -12 & 9\\
+ 4 & -8 & 6 & -8 & 6\\
+ 8 & -16 & 12 & -16 & 12
+ \end{pmatrix}
+ \]
+
+ Нам нужно посчитать определитель $AB - \lambda E$, поэтому мы можем умножать оба слагаемых на $S_{ij}(k)$ и определитель не изменится
+ \begin{align*}
+ \begin{pmatrix}[ccccc|ccccc]
+ -8 & 16 & -12 & 16 & -12 & \lambda & 0 & 0 & 0 & 0\\
+ 2 & -4 & 3 & -4 & 3 & 0 & \lambda & 0 & 0 & 0\\
+ 6 & 12 & 9 & -12 & 9 & 0 & 0 & \lambda & 0 & 0\\
+ 4 & -8 & 6 & -8 & 6 & 0 & 0 & 0 & \lambda & 0\\
+ 8 & -16 & 12 & -16 & 12 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda
+ \end{pmatrix}\\\\
+ \text{Прибавим вторую строку к остальным с коэффициентом}\\\\
+ \begin{pmatrix}[ccccc|ccccc]
+ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda & 4\lambda & 0 & 0 & 0\\
+ 2 & -4 & 3 & -4 & 3 & 0 & \lambda & 0 & 0 & 0\\
+ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3\lambda & \lambda & 0 & 0\\
+ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2\lambda & 0 & \lambda & 0\\
+ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4\lambda & 0 & 0 & \lambda
+ \end{pmatrix}\\
+ \end{align*}
+
+ Теперь можно сложить и просто привести к треугольному виду,
+ пользуясь полилинейностью по строкам и столбцам
+
+ \begin{align*}
+ &\begin{vmatrix}
+ -\lambda & -4\lambda & 0 & 0 & 0\\
+ 2 & -4 -\lambda & 3 & -4 & 3\\
+ 0 & 3\lambda & -\lambda & 0 & 0\\
+ 0 & 2\lambda & 0 & -\lambda & 0\\
+ 0 & 4\lambda & 0 & 0 & -\lambda
+ \end{vmatrix} =
+ \lambda^4 \begin{vmatrix}
+ -1 & -4 & 0 & 0 & 0\\
+ 2 & -4 -\lambda & 3 & -4 & 3\\
+ 0 & 3 & -1 & 0 & 0\\
+ 0 & 2 & 0 & -1 & 0\\
+ 0 & 4 & 0 & 0 & -1
+ \end{vmatrix} =
+ \lambda^4 \begin{vmatrix}
+ -1 & -4 & 0 & 0 & 0\\
+ 2 & 9 -\lambda & 0 & 0 & 0\\
+ 0 & 3 & -1 & 0 & 0\\
+ 0 & 2 & 0 & -1 & 0\\
+ 0 & 4 & 0 & 0 & -1
+ \end{vmatrix} =\\
+ &\lambda^4 \begin{vmatrix}
+ -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+ 2 & 1 -\lambda & 0 & 0 & 0\\
+ 0 & 3 & -1 & 0 & 0\\
+ 0 & 2 & 0 & -1 & 0\\
+ 0 & 4 & 0 & 0 & -1
+ \end{vmatrix} =
+ \lambda^4 (1 - \lambda) = -\lambda^5 + \lambda^4
+ \end{align*}
+
+\end{document}