path: root/phw2.tex

\documentclass[11pt]{article}
%\usepackage[T2A]{fontenc}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage[russian]{babel}

\usepackage{datetime2}

\input{intro}

\lhead{\color{gray} Линейная алгебра}
\rhead{\color{gray} ИДЗ-2}

\makeatletter
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
  \hskip -\arraycolsep
  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
  \array{#1}}
\makeatother


\DeclareMathOperator{\chr}{char}

\title{ИДЗ-2 по линейной алгебре}
\author{Шарафатдинов Камиль БПМИ-192}
\date{\DTMnow}

% -- Here bet  dragons --
\begin{document}

\maketitle
\begin{center}
\url{https://git.fcked.net/alg2}
\end{center}
%\section*{Abstract}

\clearpage

\question{1}{
    \[
        \sigma(2\ 8\ 5\ 7\ 3\ 6\ 4)\sigma = \left(
            \begin{pmatrix}
                1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
                3 & 7 & 2 & 4 & 6 & 8 & 5 & 1
            \end{pmatrix}^{-1}
            \begin{pmatrix}
                1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
                4 & 6 & 8 & 7 & 3 & 1 & 2 & 5
            \end{pmatrix}^{15}
        \right)^{180}
    \]
}

    \begin{gather*}
        \begin{pmatrix}
            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
            3 & 7 & 2 & 4 & 6 & 8 & 5 & 1
        \end{pmatrix}^{-1} =
        \begin{pmatrix}
            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
            8 & 3 & 1 & 4 & 7 & 5 & 2 & 6
        \end{pmatrix} = (1\ 8\ 6\ 5\ 7\ 2\ 3)(4)\\
        \begin{pmatrix}
            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
            4 & 6 & 8 & 7 & 3 & 1 & 2 & 5
        \end{pmatrix}^{15} = (1\ 4\ 7\ 2\ 6)(3\ 8\ 5)^{15} = id_8\\\\
        ((1\ 8\ 6\ 5\ 7\ 2\ 3)(4))^{180} =
        ((1\ 8\ 6\ 5\ 7\ 2\ 3)(4))^5 =
        (1\ 2\ 5\ 8\ 3\ 7\ 6)(4)
    \end{gather*}

    Теперь просто переберем (\texttt{1.py}) все перестановки и выпишем подходящие:
    \begin{gather*}
        \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\3 & 6 & 7 & 5 & 8 & 2 & 4 & 1\end{pmatrix},
        \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\3 & 6 & 8 & 5 & 7 & 2 & 4 & 1\end{pmatrix}\\
        \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\4 & 2 & 7 & 1 & 8 & 6 & 3 & 5\end{pmatrix},
        \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\4 & 2 & 8 & 1 & 7 & 6 & 3 & 5\end{pmatrix}\\
        \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\5 & 1 & 7 & 3 & 8 & 4 & 2 & 6\end{pmatrix},
        \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\5 & 1 & 8 & 3 & 7 & 4 & 2 & 6\end{pmatrix}\\
        \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\6 & 3 & 7 & 2 & 8 & 5 & 1 & 4\end{pmatrix},
        \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\6 & 3 & 8 & 2 & 7 & 5 & 1 & 4\end{pmatrix}\\
    \end{gather*}

\question{2}{
\[
    \begin{pmatrix}
        -1 & 1 & 2 & 3\\
        3 & -3 & -2 & -3\\
        -2 & -3 & 2 & 2\\
        1 & -1 & -3 & -3
    \end{pmatrix}
    \braced{
        X + 
        \begin{pmatrix}
            -10 & 8 & -5 & 1\\
            8 & -1 & -1 & 6\\
            4 & -5 & 4 & -5\\
            10 & -9 & 8 & 3
        \end{pmatrix}
    }^{-1}
    \begin{pmatrix}
        2 & -3 & -1 & -2\\
        -3 & 2 & -2 & 3\\
        -1 & 2 & 3 & 3\\
        3 & -3 & -2 & -3
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
        1 & 1 & -1 & 1\\
        -1 & -2 & 2 & -2\\
        1 & 2 & -1 & 3\\
        -1 & -2 & 1 & -2
    \end{pmatrix}
\]
}

    Обозначим как-нибудь матрицы:
    \[
        A (X + B)^{-1} C = D
    \]

    Предположим, что $A$ и $D$ обратимы ($D^{-1}$ мне все равно придется найти, а $\Delta A = -30$). Тогда
    \begin{align*}
        A (X + B)^{-1} C &= D\\
        (X + B)^{-1} C &= A^{-1} D\\
        C &= (X + B) A^{-1} D\\
        C D^{-1} &= (X + B) A^{-1}\\
        C D^{-1} A &= X + B\\
        X &= C D^{-1} A - B
    \end{align*}

    Найдем $D^{-1}$. Запишем матрицу $(D|E)$ и будем элементарными преобразованиями приводить ее к $(E|D^{-1})$.
    \[
        \begin{pmatrix}[cccc|cccc]
            1 & 1 & -1 & 1      &    1 & 0 & 0 & 0\\
            -1 & -2 & 2 & -2    &    0 & 1 & 0 & 0\\
            1 & 2 & -1 & 3      &    0 & 0 & 1 & 0\\
            -1 & -2 & 1 & -2    &    0 & 0 & 0 & 1
        \end{pmatrix} \overset{\texttt{2.py}}\sim % TODO
        \begin{pmatrix}[cccc|cccc]
            1 & 0 & 0 & 0    &    2 & 1 & 0 & 0\\
            0 & 1 & 0 & 0    &    -1 & 0 & -1 & -2\\
            0 & 0 & 1 & 0    &    0 & 1 & 0 & -1\\
            0 & 0 & 0 & 1    &    0 & 0 & 1 & 1
        \end{pmatrix}
    \]

    Осталось просто перемножить $CD^{-1}A$ и вычесть $B$
    \[
        X = CD^{-1}A - B =
        \begin{pmatrix}
            -1 &  -4 &  -1 & 5\\
            -8 &  3  & -7 & -10\\
            4  & -9  & 2 & -4\\
            -1 &  1  & 1 & 9
        \end{pmatrix} - B =
        \begin{pmatrix}
            9   &  -12 & 4  & 4\\
            -16 &  4   & -6 & -16\\
            0   & -4   & -2 & 1\\
            -11 & 10   & -7 & 6
        \end{pmatrix}
    \]

\question{3}{
    \[
        A = 
        \begin{pmatrix}
            -4 & 3 & -2 & 1\\
            -5 & 5 & -4 & 1\\
            2 & -2 & 1 & -2\\
            0 & 0 & 2 & 2
        \end{pmatrix}
    \]
    Найти характеристический многочлен $A$ и определитель $(A^2 - 3A + 1)^{-2}$
}

    \[
        \det\braced{A - \lambda E} =
        \begin{vmatrix}
            -4 -\lambda & 3 & -2 & 1\\
            -5 & 5 -\lambda & -4 & 1\\
            2 & -2 & 1 -\lambda & -2\\
            0 & 0 & 2 & 2 -\lambda
        \end{vmatrix}
    \]

    Разложим по последней строке
    \begin{align*}
       &\begin{vmatrix}
            -4 -\lambda & 3 & -2 & 1\\
            -5 & 5 -\lambda & -4 & 1\\
            2 & -2 & 1 -\lambda & -2\\
            0 & 0 & 2 & 2 -\lambda
        \end{vmatrix} =
        -2 \begin{vmatrix}
            -4 -\lambda & 3          & 1\\
            -5          & 5 -\lambda & 1\\
            2           & -2         & -2\\
        \end{vmatrix} + (2 - \lambda)
        \begin{vmatrix}
            -4 -\lambda & 3 & -2\\
            -5 & 5 -\lambda & -4\\
            2 & -2 & 1 -\lambda\\
        \end{vmatrix} =\\\\
     = &(-2)(-2\lambda^2 + 2\lambda + 8) + (2 - \lambda)(-\lambda^3 + 2\lambda^2 + 8\lambda + 3) =
        \lambda^4 - 4\lambda^3 + 9\lambda - 10
    \end{align*}

    Посмотрим внимательно на $(A^2 - 3A + 2)^{-2}$. Пусть $B = A^2 - 3A + 2 = (A - 1)(A - 2)$.
    \[
        \det(B^{-2}) =
        \det(B^{-1})^2 =
        \braced{ \frac{1}{\det(B)} }^2 =
        \braced{ \frac{1}{\det(A - 1)\det(A - 2)} }^2
    \]

    Осталось посчитать $\det(A - 1)$ и $\det(A - 2)$
    \[
        \det(A - 1) =
        \begin{vmatrix}
            -5 & 3 & -2 & 1\\
            -5 & 4 & -4 & 1\\
            2 & -2 & 0 & -2\\
            0 & 0 & 2 & 1
        \end{vmatrix} =
        -2
        \begin{vmatrix}
            -5 & 3 & 1\\
            -5 & 4 & 1\\
            2 & -2 & -2
        \end{vmatrix} +
        \begin{vmatrix}
            -5 & 3 & -2\\
            -5 & 4 & -4\\
            2 & -2 & 0
        \end{vmatrix} = -4
    \]

    \[
        \det(A - 2) =
        \begin{vmatrix}
            -6 & 3 & -2 & 1\\
            -5 & 3 & -4 & 1\\
            2 & -2 & -1 & -2\\
            0 & 0 & 2 & 0
        \end{vmatrix} =
        -2
        \begin{vmatrix}
            -6 & 3 & 1\\
            -5 & 3 & 1\\
            2 & -2 & -2
        \end{vmatrix} = -8
    \]

    \[
        \det\braced{A^2 - 3A + 2}^{-2} = \braced{ \frac{1}{32} }^2 = \frac{1}{1024}
    \]


\question{4}{
    Найти коэффициент при $x^5$ в
    \[
        \begin{vmatrix}
             x  &  4  & -5  &  5  & -7  &  8  &  1\\
             1  &  5  &  8  & -8  & -5  &  x  &  5\\
            -4  &  7  &  x  & -6  & -1  & -2  &  1\\
            -8  &  4  &  7  &  7  &  6  &  x  &  8\\
            -9  & -6  &  8  & -5  & -5  &  8  &  x\\
            -2  &  7  &  1  &  4  &  x  &  3  &  4\\
             2  &  x  &  6  &  x  &  9  & -2  &  3\\
        \end{vmatrix}
    \]
}

    Сделаем пару преобразований, чтобы сократить количество иксов:
    \begin{align*}
       &\begin{vmatrix}
             x  &  4  & -5  &  5  & -7  &  8  &  1\\
             1  &  5  &  8  & -8  & -5  &  x  &  5\\
            -4  &  7  &  x  & -6  & -1  & -2  &  1\\
            -8  &  4  &  7  &  7  &  6  &  x  &  8\\
            -9  & -6  &  8  & -5  & -5  &  8  &  x\\
            -2  &  7  &  1  &  4  &  x  &  3  &  4\\
             2  &  x  &  6  &  x  &  9  & -2  &  3\\
        \end{vmatrix} \overset{\text{2 строка -= 4 строка}}=
        \begin{vmatrix}
             x  &  4  & -5  &   5 &  -7 &  8  &  1\\
             9  &  1  &  1  & -15 & -11 &  0  & -3\\
            -4  &  7  &  x  &  -6 &  -1 & -2  &  1\\
            -8  &  4  &  7  &   7 &   6 &  x  &  8\\
            -9  & -6  &  8  &  -5 &  -5 &  8  &  x\\
            -2  &  7  &  1  &   4 &   x &  3  &  4\\
             2  &  x  &  6  &   x &   9 & -2  &  3\\
        \end{vmatrix} =\\\\
     \overset{\text{2 столбец -= 4 столбец}}= &\begin{vmatrix}
             x & -1 &  -5  &   5  & -7  &  8  &  1\\
             9 & 16 &   1  & -15  &-11  &  0  & -3\\
            -4 & 13 &   x  &  -6  & -1  & -2  &  1\\
            -8 & -3 &   7  &   7  &  6  &  x  &  8\\
            -9 & -1 &   8  &  -5  & -5  &  8  &  x\\
            -2 &  3 &   1  &   4  &  x  &  3  &  4\\
             2 &  0 &   6  &   x  &  9  & -2  &  3\\
        \end{vmatrix}
    \end{align*}

    Заметим, что иксов осталось 6 - по одному в каждом стобце и строке кроме одного.
    $x^5$ возникает в сумме членов определителя, когда вместо одного из иксов мы берем другое число из строки.
    Соотвестственно, надо выписать все перестановки, в которых остается 5 иксов, или, что равносильно, в которых
    отсутствует ровно один икс. таких перестановок 6, так как без каждого икса есть ровно две перестановки, но одна
    из них содержит шестой икс, поэтому нам подходит только вторая.

    Итак, перестановки, содержащие 5 иксов:
    \begin{align*}
       &\begin{pmatrix}
            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
            2 & 1 & 3 & 6 & 7 & 5 & 4
        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
       &\begin{pmatrix}
            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
            1 & 3 & 2 & 6 & 7 & 5 & 4
        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
       &\begin{pmatrix}
            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
            1 & 6 & 3 & 2 & 7 & 5 & 4
        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
       &\begin{pmatrix}
            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
            1 & 7 & 3 & 6 & 2 & 5 & 4
        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
       &\begin{pmatrix}
            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
            1 & 5 & 3 & 6 & 7 & 2 & 4
        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
       &\begin{pmatrix}
            1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
            1 & 4 & 3 & 6 & 7 & 5 & 2
        \end{pmatrix} \quad \text{знак} = 1\\
    \end{align*}

    Осталось просто просуммировать произведения константных коэффициентов:
    \[
        -9 + 13 + 0 + 3 - 33 + 0 = -26
    \]

    Это и будет коэффициентом при $x^5$

\question{5}{
    \[
        A = \begin{pmatrix}
            -4 & 4\\
            1  & -1\\
            3  & -3\\
            2  & -2\\
            4  & -4
        \end{pmatrix},
        B = \begin{pmatrix}
            3 & -1 & 1 & -2 & 2\\
            1 & 3 & -2 & 2 & -1
        \end{pmatrix},
        \qquad \text{Найти: } \rchi_{AB}(\lambda)
    \]
}

    Перемножим $AB$ (это несложно, в каждой ячейке всего 2 множителя):
    \[
        AB = \begin{pmatrix}
            -8 & 16 & -12 & 16 & -12\\
            2 & -4 & 3 & -4 & 3\\
            6 & 12 & 9 & -12 & 9\\
            4 & -8 & 6 & -8 & 6\\
            8 & -16 & 12 & -16 & 12
        \end{pmatrix}
    \]

    Нам нужно посчитать определитель $AB - \lambda E$, поэтому мы можем умножать оба слагаемых на $S_{ij}(k)$ и определитель не изменится
    \begin{align*}
        \begin{pmatrix}[ccccc|ccccc]
            -8 & 16 & -12 & 16 & -12  &  \lambda & 0 & 0 & 0 & 0\\
            2 & -4 & 3 & -4 & 3       &  0 & \lambda & 0 & 0 & 0\\
            6 & 12 & 9 & -12 & 9      &  0 & 0 & \lambda & 0 & 0\\
            4 & -8 & 6 & -8 & 6       &  0 & 0 & 0 & \lambda & 0\\
            8 & -16 & 12 & -16 & 12   &  0 & 0 & 0 & 0 & \lambda
        \end{pmatrix}\\\\
        \text{Прибавим вторую строку к остальным с коэффициентом}\\\\
        \begin{pmatrix}[ccccc|ccccc]
            0 & 0 & 0 & 0 & 0         &  \lambda & 4\lambda & 0 & 0 & 0\\
            2 & -4 & 3 & -4 & 3       &  0 & \lambda & 0 & 0 & 0\\
            0 & 0 & 0 & 0 & 0         &  0 & -3\lambda & \lambda & 0 & 0\\
            0 & 0 & 0 & 0 & 0         &  0 & -2\lambda & 0 & \lambda & 0\\
            0 & 0 & 0 & 0 & 0         &  0 & -4\lambda & 0 & 0 & \lambda
        \end{pmatrix}\\
    \end{align*}

    Теперь можно сложить и просто привести к треугольному виду,
    пользуясь полилинейностью по строкам и столбцам

    \begin{align*}
       &\begin{vmatrix}
            -\lambda & -4\lambda & 0 & 0 & 0\\
            2 & -4 -\lambda & 3 & -4 & 3\\
            0 & 3\lambda & -\lambda & 0 & 0\\
            0 & 2\lambda & 0 & -\lambda & 0\\
            0 & 4\lambda & 0 & 0 & -\lambda
        \end{vmatrix} = 
        \lambda^4 \begin{vmatrix}
            -1 & -4 & 0 & 0 & 0\\
            2 & -4 -\lambda & 3 & -4 & 3\\
            0 & 3 & -1 & 0 & 0\\
            0 & 2 & 0 & -1 & 0\\
            0 & 4 & 0 & 0 & -1
        \end{vmatrix} =
        \lambda^4 \begin{vmatrix}
            -1 & -4 & 0 & 0 & 0\\
            2 & 9 -\lambda & 0 & 0 & 0\\
            0 & 3 & -1 & 0 & 0\\
            0 & 2 & 0 & -1 & 0\\
            0 & 4 & 0 & 0 & -1
        \end{vmatrix} =\\
       &\lambda^4 \begin{vmatrix}
            -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
            2 & 1 -\lambda & 0 & 0 & 0\\
            0 & 3 & -1 & 0 & 0\\
            0 & 2 & 0 & -1 & 0\\
            0 & 4 & 0 & 0 & -1
        \end{vmatrix} =
        \lambda^4 (1 - \lambda) = -\lambda^5 + \lambda^4
    \end{align*}

\end{document}