Third task

1 files changed, 103 insertions, 13 deletions

diff --git a/hw3.tex b/hw3.tex
index 2ec8de5..e064c25 100644
--- a/hw3.tex
+++ b/hw3.tex
@@ -117,18 +117,108 @@
         \rangle
     $
 
-%\dmquestion{4}
-%    Найдем хар. многочлен $\varphi$:
-%    \[
-%        \mathrm{det} (\varphi - \lambda E)
-%        \overset{\texttt{four.py}}=
-%        \lambda^4 - \lambda^3 + \lambda^2 =
-%        \lambda^2(\lambda - 1)^2
-%    \]
-%
-%    $
-%        V^1 = \ker ((\varphi - E)^2)
-%    $, так как у каждого собственного значения степень 2
-%    \input{figures/fig_four_fsr_A_T}
+\dmquestion{4}
+    Найдем хар. многочлен $\varphi$:
+    \[
+        \mathrm{det} (\varphi - \lambda E)
+        \overset{\texttt{four.py}}=
+        \lambda^4 - \lambda^3 + \lambda^2 =
+        \lambda^2(\lambda - 1)^2
+    \]
+
+    $
+        V^1 = \ker ((\varphi - E)^2)
+    $, так как у каждого собственного значения степень 2
+    \input{figures/fig_four_V_1}
+
+    ФСР:
+    \[
+        v_{11} = (1, 3, 0, 0), \quad v_{12} = (1, 0, 3, 3)
+    \]
+
+    $
+        V^0 = \ker(\varphi^2)
+    $
+    \input{figures/fig_four_V_0}
+
+    ФСР:
+    \[
+        v_{01} = (-1, -3, 1, 0), \quad v_{02} = (12, 10, 0, 3)
+    \]
+
+    Дополним $v_{11}$ и $v_{12}$ до базиса $\mathbb{R}^4$:
+
+    \[
+        \begin{bmatrix}
+            1 & 3 & 0 & 0\\
+            1 & 0 & 3 & 3
+        \end{bmatrix}
+        \simeq
+        \begin{bmatrix}
+            1 & 3 & 0 & 0\\
+            0 & -3 & 3 & 3
+        \end{bmatrix}
+        \simeq
+        \begin{bmatrix}
+            1 & 3 & 0 & 0\\
+            0 & 1 & -1 & -1
+        \end{bmatrix}
+    \]
+
+    Дополним стандартными векторами $e_3$ и $e_4$
+
+    Мы хотим, чтобы $\Image \psi = V^0, \quad \ker \psi = V^1$.
+    Для этого, отправим $v_{11}$ и $v_{12}$ в $0$, а $e_3$ и $e_4$ в $v_{01}$ и $v_{02}$. Тогда у нас будет однозначно определенный оператор, надо будет лишь перейти обратно к стандартному базису. Пусть $\psi'$ - матрица $\psi$ в базисе $(v_{11}, v_{12}, e_3, e_4)$.
+
+    \[
+        \begin{cases}
+            \psi'v_{11} = 0\\
+            \psi'v_{12} = 0\\
+            \psi'e_3 = v_{01}\\
+            \psi'e_4 = v_{02}\\
+        \end{cases}
+    \]
+
+    \input{figures/fig_four_sys_orig}
+
+    \input{figures/fig_four_psi}
+
+    Теперь надо перевести $\psi'$ в стандартный базис:
+    \[
+        \begin{cases}
+            e_1 = v_{12} - 3e_3 - 3e_4\\
+            e_2 = \frac{1}{3}v_{11} - \frac{1}{3}v_{12} - e_3 - e_4\\
+            e_3 = e_3\\
+            e_4 = e_4
+        \end{cases}
+    \]
+
+    Выпишем разложение в столбцы матрицы перехода:
+    \[
+        C = (v_{11}, v_{12}, e_3, e_4) \to e =
+        \begin{bmatrix}
+             0 &  \frac{1}{3} & 0 & 0\\ 
+             1 & -\frac{1}{3} & 0 & 0\\
+            -3 & -1           & 1 & 0\\
+            -3 & -1           & 0 & 1
+        \end{bmatrix}
+    \]
+
+    и найдем обратную:
+    \input{figures/fig_four_inverse}
+
+    \[
+        C^{-1} =
+        \begin{bmatrix}
+            1 & 1 & 0 & 0\\
+            3 & 0 & 0 & 0\\
+            6 & 3 & 1 & 0\\
+            6 & 3 & 0 & 1
+        \end{bmatrix}
+    \]
+
+    Тогда
+    \input{figures/fig_four_inverse_mul}
+
 
 \end{document}